رسم بياني شبه لوغاريتمي

📅 آخر تحديث: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة
النوع اللوغاريتمي الخطي من الرسم البياني شبه اللوغاريتمي، والذي يتميز بمقياس لوغاريتمي على المحور الرأسي ( y ) ومقياس خطي على المحور الأفقي ( x ). الخطوط المرسومة هي: y  =  10 x  (أحمر)، y  = x (أخضر)، y = log( x ) (أزرق).     
النوع الخطي-اللوغاريتمي من الرسم البياني شبه اللوغاريتمي، والذي يتميز بمقياس لوغاريتمي على المحور السيني، ومقياس خطي على المحور الصادي. الخطوط المرسومة هي: ص  =  ١٠ س  (أحمر)، ص  = س (أخضر)، ص = لوغاريتم( س ) (أزرق).    

في العلوم والهندسة ، يتميز الرسم البياني شبه اللوغاريتمي بوجود محور على مقياس لوغاريتمي ، والآخر على مقياس خطي . وهو مفيد للبيانات ذات العلاقات الأسية ، حيث يغطي متغير واحد نطاقًا واسعًا من القيم . [ 1 ]

جميع المعادلات من الشكلy=λأγx{\displaystyle y=\lambda a^{\gamma x}}تشكل خطوطًا مستقيمة عند رسمها شبه لوغاريتميًا، لأن أخذ لوغاريتمات كلا الجانبين يعطي

سجلأ⁡y=γx+سجلأ⁡λ.{\displaystyle \log _{a}y=\gamma x+\log _{a}\lambda .}

هذا خط ذو ميلγ{\displaystyle \gamma }وسجلأ⁡λ{\displaystyle \log _{a}\lambda }التقاطع الرأسي. عادةً ما يتم تسمية المقياس اللوغاريتمي بالأساس 10؛ وأحيانًا بالأساس 2:

سجل⁡(y)=(γسجل⁡(أ))x+سجل⁡(λ).{\displaystyle \log(y)=(\gamma \log(a))x+\log(\lambda ).}

يُظهر الرسم البياني اللوغاريتمي الخطي (أو اللوغاريتمي الخطي) مقياسًا لوغاريتميًا على المحور y ، ومقياسًا خطيًا على المحور x ؛ أما الرسم البياني الخطي اللوغاريتمي (أو الخطي اللوغاريتمي) فهو عكس ذلك. ويُسمى هذا النوع من الرسوم البيانية "المخرجات-المدخلات" ( y – x )، وهو ترتيب معاكس للترتيب ( x , y ).

في الرسم البياني شبه اللوغاريتمي، تتناسب المسافة بين عناصر المقياس على المحور الصادي (أو المحور السيني ) مع لوغاريتم العدد، وليس مع العدد نفسه. وهذا يُعادل تحويل قيم ص (أو س ) إلى لوغاريتماتها، ثم رسم البيانات على مقاييس خطية. أما الرسم البياني اللوغاريتمي المزدوج، فيستخدم المقياس اللوغاريتمي لكلا المحورين، ولذلك فهو ليس رسمًا بيانيًا شبه لوغاريتمي.

المعادلات

معادلة الخط على الرسم البياني الخطي اللوغاريتمي، حيث يتم قياس محور السينات لوغاريتميًا (بأساس لوغاريتمي n )، ستكون كالتالي:

F(x)=مسجلن⁡(x)+ب.{\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+b.\,}

ستكون معادلة الخط على الرسم البياني اللوغاريتمي الخطي، مع محور إحداثيات مُقاس لوغاريتميًا (بأساس لوغاريتمي n )، كما يلي:

سجلن⁡(F(x))=مx+ب{\displaystyle \log _{n}(F(x))=mx+b}
F(x)=نمx+ب=(نمx)(نب).{\displaystyle F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).}

إيجاد الدالة من الرسم البياني شبه اللوغاريتمي

رسم بياني خطي-لوغاريتمي

على الرسم البياني الخطي-اللوغاريتمي، اختر نقطة ثابتة (x₀, F₀ ) ، حيث F₀ اختصار لـ F ( x₀ ) ، في أي مكان على الخط المستقيم في الرسم البياني أعلاه، ثم اختر نقطة أخرى اختيارية (x₁, F₁ ) على نفس الرسم البياني . صيغة ميل الرسم البياني هي:

م=F1-F0سجلن⁡(x1/x0){\displaystyle m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}}

مما يؤدي إلى

F1-F0=مسجلن⁡(x1/x0){\displaystyle F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})}

أو

F1=مسجلن⁡(x1/x0)+F0=مسجلن⁡(x1)-مسجلن⁡(x0)+F0{\displaystyle F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0}}

وهذا يعني أن F(x)=مسجلن⁡(x)+جoنsتأنت{\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {constant} }

بمعنى آخر، تتناسب الدالة F طرديًا مع لوغاريتم x مضروبًا في ميل الخط المستقيم في الرسم البياني الخطي-اللوغاريتمي الخاص بها، بالإضافة إلى ثابت. وبالتحديد، فإن الخط المستقيم على الرسم البياني الخطي-اللوغاريتمي الذي يحتوي على النقطتين ( F₀ , x₀ ) و ( F₁ , x₁ ) سيكون له الدالة التالية:  

F(x)=(F1-F0)[سجلن⁡(x/x0)سجلن⁡(x1/x0)]+F0=(F1-F0)سجلx1x0⁡(xx0)+F0{\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}}

رسم بياني لوغاريتمي خطي

على رسم بياني لوغاريتمي خطي (مقياس لوغاريتمي على المحور الصادي)، اختر نقطة ثابتة ( x₀ , F₀ ) ، حيث F₀ اختصار لـ F ( x₀ )، في أي مكان على الخط المستقيم في الرسم البياني أعلاه، ثم اختر نقطة أخرى اختيارية ( x₁ , F₁ ) على نفس الرسم البياني. صيغة ميل الرسم البياني هي:

م=سجلن⁡(F1/F0)x1-x0{\displaystyle m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}

مما يؤدي إلى

سجلن⁡(F1/F0)=م(x1-x0){\displaystyle \log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0})}

لاحظ أن n log n ( F 1 ) = F 1 . لذلك، يمكن عكس اللوغاريتمات لإيجاد:

F1F0=نم(x1-x0){\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}}

أو

F1=F0نم(x1-x0){\displaystyle F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}}

يمكن تعميم هذا على أي نقطة، بدلاً من F1 فقط :

F(x)=F0ن(x-x0x1-x0)سجلن⁡(F1/F0){\displaystyle F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}}

أمثلة من الحياة الواقعية

مخطط طور الماء

في الفيزياء والكيمياء ، يمكن استخدام رسم بياني للوغاريتم الضغط مقابل درجة الحرارة لتوضيح الحالات المختلفة للمادة، كما هو موضح فيما يلي بالنسبة للماء :

مخطط طور الماء اللوغاريتمي الخطي للضغط ودرجة الحرارة . تشير الأرقام الرومانية إلى أطوار الجليد المختلفة .

تطور "إنفلونزا الخنازير" عام 2009

على الرغم من أن الرقم عشرة هو الأساس الأكثر شيوعًا ، إلا أن هناك أوقاتًا تكون فيها الأسس الأخرى أكثر ملاءمة، كما في هذا المثال:

رسم بياني شبه لوغاريتمي لحالات الإصابة والوفيات في تفشي إنفلونزا A (H1N1) عام 2009 .

لاحظ أن المحور الأفقي (الزمن) خطي، والتواريخ موزعة بانتظام، بينما المحور الرأسي (الحالات) لوغاريتمي، والتقسيمات موزعة بانتظام ومُعَلَّمة بقوى متتالية للعدد اثنين. يُسهِّل الرسم البياني شبه اللوغاريتمي تحديد متى توقف انتشار العدوى بأقصى سرعة، أي عندما يكون الخط مستقيمًا في هذا الرسم البياني الأسي، ويبدأ بالانحناء للدلالة على تباطؤ الانتشار. قد يشير هذا إلى نجاح بعض إجراءات التخفيف، مثل التباعد الاجتماعي.

نمو الميكروبات

في علم الأحياء والهندسة الحيوية ، يُستخدم عادةً رسم بياني شبه لوغاريتمي لتوضيح التغير في أعداد الميكروبات نتيجة التكاثر اللاجنسي ونضوب المغذيات. يُمثل الزمن عادةً المحور المستقل، بينما يُمثل لوغاريتم عدد أو كتلة البكتيريا أو الميكروبات الأخرى المتغير التابع. ينتج عن ذلك رسم بياني بأربع مراحل متميزة، كما هو موضح أدناه.

منحنى نمو البكتيريا

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ (1) بورن، م. "الرسوم البيانية على ورق لوغاريتمي وشبه لوغاريتمي" . الرياضيات التفاعلية . www.intmath.com. مؤرشف من الأصل في 6 أغسطس 2021. تم الاطلاع عليه في 26 أكتوبر 2021 .(2) بورن، موراي (25 يناير 2007). "رسم بياني شبه لوغاريتمي مثير للاهتمام - ترتيب حركة مرور يوتيوب" . سكوير سيركلز: مدونة إنت ماث . www.intmath.com. مؤرشف من الأصل في 26 فبراير 2021. تم الاطلاع عليه في 26 أكتوبر 2021 .