دالة انتشار النقطة

تصف دالة انتشار النقطة ( PSF ) استجابة نظام التصوير البصري المركز لمصدر ضوئي نقطي مثالي . بعبارة أخرى، بالنسبة لكاميرا معينة، فهي الصورة الضبابية الملتقطة عند توجيه تلك الكاميرا نحو نقطة ضوئية واحدة.

بصورة أدق، تُعدّ دالة انتشار النقطة (PSF) شكلاً من أشكال دالة استجابة النبضة (IRF) لنظام تصوير بصري مركّز، وذلك من منظور مكاني (مقارنةً بالمنظور الزمني). ومن الناحية الوظيفية، فهي النسخة المكانية (أي التحويل العكسي لفورييه) لدالة النقل البصري (OTF) لنظام التصوير. ويُعدّ هذا المفهوم مفيدًا في بصريات فورييه ، والتصوير الفلكي ، والتصوير الطبي ، والمجهر الإلكتروني ، وتقنيات تصوير أخرى مثل المجهر ثلاثي الأبعاد (كما في مجهر المسح الليزري متحد البؤر ) ومجهر التألق .

تُعدّ درجة التشتت (الضبابية) في صورة جسم نقطي لنظام تصوير مقياسًا لجودة هذا النظام. في أنظمة التصوير غير المتماسكة ، كالمجاهر الفلورية والتلسكوبات والمجاهر الضوئية، تكون عملية تكوين الصورة خطية بالنسبة لشدة الصورة ، وتُوصَف بنظرية الأنظمة الخطية . هذا يعني أنه عند تصوير جسمين A وB في آنٍ واحد بواسطة نظام تصوير غير متماسك، فإن الصورة الناتجة تساوي مجموع صور الجسمين المصوّرين بشكل مستقل. بعبارة أخرى: لا تتأثر صورة A بتصوير B والعكس صحيح ، نظرًا لخاصية عدم تفاعل الفوتونات. في الأنظمة الثابتة مكانيًا، أي تلك التي تكون فيها دالة انتشار النقطة (PSF) متطابقة في جميع أنحاء فضاء التصوير، فإن صورة جسم معقد تكون عبارة عن التفاف ذلك الجسم مع دالة انتشار النقطة. ويمكن اشتقاق دالة انتشار النقطة من تكاملات الحيود. ^{[ 1 ]}

بفضل خاصية الخطية لأنظمة التصوير البصري غير المتماسك ، أي

صورة ( الكائن ₁ + الكائن ₂ ) = صورة ( الكائن ₁ ) + صورة ( الكائن ₂ )

يمكن حساب صورة جسم ما في المجهر أو التلسكوب، كنظام تصوير غير متماسك، من خلال التعبير عن مجال مستوى الجسم كمجموع مرجح لدوال نبضية ثنائية الأبعاد، ثم التعبير عن مجال مستوى الصورة كمجموع مرجح لصور هذه الدوال النبضية. يُعرف هذا بمبدأ التراكب ، وهو صالح للأنظمة الخطية . تُسمى صور دوال النبض الفردية لمستوى الجسم بدوال انتشار النقطة (PSF)، مما يعكس حقيقة أن نقطة الضوء الرياضية في مستوى الجسم تنتشر لتشكل مساحة محدودة في مستوى الصورة. في بعض فروع الرياضيات والفيزياء، قد يُشار إليها بدوال غرين أو دوال استجابة النبضة . تُعتبر دوال انتشار النقطة دوال استجابة النبضة لأنظمة التصوير.

عند تقسيم الجسم إلى نقاط منفصلة ذات شدة إضاءة متفاوتة، تُحسب الصورة كمجموع دالة انتشار النقطة (PSF) لكل نقطة. وبما أن دالة انتشار النقطة تُحدد عادةً بواسطة نظام التصوير (أي المجهر أو التلسكوب)، فإنه يمكن وصف الصورة كاملةً بمعرفة الخصائص البصرية للنظام. تُصاغ عملية التصوير هذه عادةً بمعادلة التفاف . في معالجة صور المجهر وعلم الفلك ، تُعد معرفة دالة انتشار النقطة لجهاز القياس بالغة الأهمية لاستعادة الجسم (الأصلي) باستخدام عملية فك الالتفاف . في حالة أشعة الليزر، يمكن نمذجة دالة انتشار النقطة رياضيًا باستخدام مفاهيم الحزم الغاوسية . ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، يؤدي فك الالتفاف بين دالة انتشار النقطة المُنمذجة رياضيًا والصورة إلى تحسين وضوح المعالم وإزالة تشويش الصورة. ^{[ 2 ]}

قد تكون دالة انتشار النقطة مستقلة عن الموضع في مستوى الجسم، وفي هذه الحالة تُسمى ثابتة الإزاحة . بالإضافة إلى ذلك، إذا لم يكن هناك تشوه في النظام، فإن إحداثيات مستوى الصورة ترتبط خطيًا بإحداثيات مستوى الجسم عبر التكبير M كما يلي:

${\displaystyle (x_{i},y_{i})=(Mx_{o},My_{o})}$.

إذا أنتج نظام التصوير صورة مقلوبة، فيمكننا ببساطة اعتبار محاور إحداثيات مستوى الصورة معكوسة عن محاور مستوى الجسم. وبافتراض هذين الأمرين، أي أن دالة انتشار النقطة (PSF) ثابتة بغض النظر عن الإزاحة، وأنه لا يوجد تشويه، فإن حساب تكامل الالتفاف لمستوى الصورة يصبح عملية مباشرة.

رياضياً، يمكننا تمثيل حقل مستوى الجسم على النحو التالي:

${\displaystyle O(x_{o},y_{o})=\iint O(u,v)~\delta (x_{o}-u,y_{o}-v)~du\,dv}$

أي، كمجموع لدوال النبض الموزونة، مع العلم أن هذا في الواقع مجرد بيان لخاصية التصفية لدوال دلتا ثنائية الأبعاد (والتي سيتم مناقشتها لاحقًا). إن إعادة كتابة دالة نفاذية الجسم بالشكل المذكور أعلاه يسمح لنا بحساب مجال مستوى الصورة كتراكب لصور كل دالة من دوال النبض الفردية، أي كتراكب لدوال انتشار النقطة الموزونة في مستوى الصورة باستخدام دالة الترجيح نفسها المستخدمة في مستوى الجسم.${\displaystyle O(x_{o},y_{o})}$رياضياً، تُعبّر الصورة على النحو التالي:

${\displaystyle I(x_{i},y_{i})=\iint O(u,v)~\mathrm {PSF} (x_{i}/Mu,y_{i}/Mv)\,du\,dv}$

في أي${\textstyle {\mbox{PSF}}(x_{i}/Mu,y_{i}/Mv)}$هي صورة دالة النبضة${\displaystyle \delta (x_{o}-u,y_{o}-v)}$.

يمكن اعتبار دالة النبض ثنائية الأبعاد بمثابة النهاية (عندما يؤول البعد الجانبي w إلى الصفر) لدالة "العمود المربع"، الموضحة في الشكل أدناه.

نتخيل مستوى الجسم مُقسَّمًا إلى مناطق مربعة كهذه، ولكل منها دالة مربعة خاصة بها. إذا ثُبِّت ارتفاع العمود ، h ، عند 1/ ^w² ، فعندما يؤول بُعد الضلع w إلى الصفر، يؤول الارتفاع، h ، إلى اللانهاية بحيث يبقى الحجم (التكامل) ثابتًا عند 1. وهذا يُعطي الدفعة ثنائية الأبعاد خاصية التصفية (المُضمَّنة في المعادلة أعلاه)، والتي تنص على أنه عند تكامل دالة الدفعة ثنائية الأبعاد، δ( x  - u , y - v )، مع أي دالة متصلة أخرى ، f ( u , v ) ، فإنها "تصفّي" قيمة f عند موضع الدفعة، أي عند النقطة ( x , y ) .   

يُعدّ مفهوم المصدر النقطي المثالي أساسيًا لفكرة دالة الانتشار النقطي (PSF). مع ذلك، لا يوجد في الطبيعة ما يُسمى بمصدر نقطي رياضي مثالي؛ فالمفهوم غير فيزيائي تمامًا، وإنما هو بناء رياضي يُستخدم لنمذجة وفهم أنظمة التصوير البصري. تكمن فائدة مفهوم المصدر النقطي في حقيقة أن المصدر النقطي في مستوى الجسم ثنائي الأبعاد لا يُمكنه إلا أن يُشعّ موجة كروية مثالية ذات سعة منتظمة - موجة ذات جبهات طور كروية مثالية تنتشر للخارج بكثافة منتظمة في جميع أنحاء الكرات (انظر مبدأ هيغنز-فرينل ). يظهر هذا المصدر من الموجات الكروية المنتظمة في الشكل أدناه. نلاحظ أيضًا أن المصدر النقطي المثالي لا يُشعّ طيفًا منتظمًا من الموجات المستوية المنتشرة فحسب، بل يُشعّ أيضًا طيفًا منتظمًا من الموجات المتلاشية أُسّيًا، وهذه الموجات هي المسؤولة عن الدقة الأعلى من طول موجة واحدة (انظر بصريات فورييه ) . وينتج هذا عن تعبير تحويل فورييه التالي لدالة نبضية ثنائية الأبعاد.

${\displaystyle \delta (x,y)\propto \iint e^{j(k_{x}x+k_{y}y)}\,dk_{x}\,dk_{y}}$

تعترض العدسة التربيعية جزءًا من هذه الموجة الكروية، وتعيد تركيزها على نقطة ضبابية في مستوى الصورة. بالنسبة لعدسة واحدة ، يُنتج مصدر نقطي على المحور في مستوى الجسم دالة انتشار نقطية (PSF) على شكل قرص آيري في مستوى الصورة. يمكن إثبات (انظر بصريات فورييه ، مبدأ هيغنز-فرينل ، حيود فراونهوفر ) أن المجال المُشع من جسم مستوٍ (أو، بالتبادل، المجال المتقارب على صورة مستوية) يرتبط بتوزيع مستوى المصدر (أو الصورة) المقابل له عبر علاقة تحويل فورييه . بالإضافة إلى ذلك، تتوافق دالة منتظمة على مساحة دائرية (في أحد نطاقات تحويل فورييه) مع _J₁ ( x ) / x في نطاق تحويل فورييه الآخر، حيث J₁ ( x ) هي دالة بيسل من النوع الأول من الرتبة الأولى. أي أن فتحة دائرية مضاءة بشكل منتظم تمر بها موجة كروية منتظمة متقاربة تُنتج صورة _قرص آيري في المستوى البؤري. يظهر في الشكل المجاور رسم بياني لقرص إيري نموذجي.

لذا، تُنتج الموجة الكروية المتقاربة ( الجزئية ) الموضحة في الشكل أعلاه قرصًا آيري في مستوى الصورة. يُعدّ وسيط الدالة J ₁ ( x )/ x مهمًا، لأنه يُحدد مقياس قرص آيري (أي حجم القرص في مستوى الصورة). إذا كانت Θ _max هي الزاوية القصوى التي تصنعها الموجات المتقاربة مع محور العدسة، و r هي المسافة القطرية في مستوى الصورة، والعدد الموجي k  =  2π/λ حيث λ  =  الطول الموجي، فإن وسيط الدالة هو: kr tan(Θ _max ) . إذا كانت Θ _max صغيرة (أي أن جزءًا صغيرًا فقط من الموجة الكروية المتقاربة مُتاح لتكوين الصورة)، فيجب أن تكون المسافة القطرية r كبيرة جدًا قبل أن يتحرك الوسيط الكلي للدالة بعيدًا عن النقطة المركزية. بمعنى آخر، إذا كانت قيمة Θ _max صغيرة، فإن قرص آيري يكون كبيرًا (وهذا مجرد تأكيد آخر لمبدأ هايزنبرغ للشك في أزواج تحويل فورييه، أي أن الامتداد الصغير في مجال ما يقابله امتداد واسع في المجال الآخر، ويرتبط الاثنان عبر حاصل ضرب عرض النطاق المكاني ). وبناءً على ذلك، فإن أنظمة التكبير العالي، التي عادةً ما تكون لها قيم صغيرة لـ Θ _max (وفقًا لشرط جيب آبي )، يمكن أن تُظهر ضبابية أكبر في الصورة، نظرًا لاتساع دالة انتشار النقطة (PSF). يتناسب حجم دالة انتشار النقطة طرديًا مع التكبير ، لذا فإن الضبابية ليست أسوأ نسبيًا، ولكنها بالتأكيد أسوأ مطلقًا.

يوضح الشكل أعلاه اقتطاع الموجة الكروية الساقطة بواسطة العدسة. لقياس دالة انتشار النقطة - أو دالة استجابة النبضة - للعدسة، لا نحتاج إلى مصدر نقطي مثالي يشع موجة كروية مثالية في جميع اتجاهات الفضاء. ذلك لأن للعدسة نطاقًا تردديًا (زاويًا) محدودًا، أو زاوية اعتراض محدودة. وبالتالي، فإن أي نطاق ترددي زاوي موجود في المصدر، والذي يمتد إلى ما بعد زاوية حافة العدسة (أي يقع خارج نطاق تردد النظام)، يُعد في جوهره نطاقًا تردديًا مهدرًا لأن العدسة لا تستطيع اعتراضه لمعالجته. ونتيجة لذلك، لا يلزم وجود مصدر نقطي مثالي لقياس دالة انتشار نقطة مثالية. كل ما نحتاجه هو مصدر ضوئي ذو نطاق ترددي زاوي لا يقل عن نطاق ترددي العدسة قيد الاختبار (وبالطبع، يكون منتظمًا على ذلك القطاع الزاوي). بمعنى آخر، نحن نحتاج فقط إلى مصدر نقطي يتم إنتاجه بواسطة موجة كروية متقاربة (منتظمة) نصف زاويتها أكبر من زاوية حافة العدسة.

نظراً للدقة المحدودة المتأصلة في أنظمة التصوير، فإن دوال انتشار النقطة (PSF) المقاسة لا تخلو من عدم اليقين. ^{[ 4 ]} في التصوير، يُفضّل كبح الفصوص الجانبية لشعاع التصوير باستخدام تقنيات التظليل . في حالة أنظمة التصوير الإرسالي ذات توزيع شعاع غاوسي، يتم نمذجة دالة انتشار النقطة بالمعادلة التالية: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathrm {PSF} (f,z)=I_{r}(0,z,f)\exp \left[-z\alpha (f)-{\dfrac {2\rho ^{2}}{0.36{\frac {cka}{{\text{NA}}f}}{\sqrt {{1+\left({\frac {2\ln 2}{c\pi }}\left({\frac {\text{NA}}{0.56k}}\right)^{2}fz\right)}^{2}}}}}\right],}$

حيث يعتمد عامل k على نسبة القطع ومستوى الإشعاع ، و NA هي الفتحة العددية، وc هي سرعة الضوء ، وf هو تردد الفوتون لشعاع التصوير، و _Ir هي شدة شعاع المرجع، وa هو عامل ضبط.${\displaystyle \rho }$يمثل الموضع القطري من مركز الشعاع على المستوى z المقابل .

درس آيري نظرية حيود دوال انتشار النقطة لأول مرة في القرن التاسع عشر. وقد طور صيغةً لسعة وشدة دالة انتشار النقطة لجهاز مثالي خالٍ من الانحرافات (ما يُعرف بقرص آيري ). وفي ثلاثينيات وأربعينيات القرن العشرين، درس زيرنيكه ونيجبوير نظرية دوال انتشار النقطة المنحرفة بالقرب من المستوى البؤري الأمثل . وتلعب كثيرات حدود زيرنيكه الدائرية دورًا محوريًا في تحليلهما ، إذ تُتيح تمثيلًا فعالًا لانحرافات أي نظام بصري ذي تناظر دوراني. وقد مكّنت النتائج التحليلية الحديثة من توسيع نطاق منهج نيجبوير وزيرنيكه لتقييم دالة انتشار النقطة ليشمل حجمًا كبيرًا حول النقطة البؤرية المثلى. وتتيح نظرية نيجبوير-زيرنيكه الموسعة (ENZ) دراسة التصوير غير الكامل للأجسام ثلاثية الأبعاد في المجهر متحد البؤر أو علم الفلك في ظل ظروف تصوير غير مثالية. وقد تم تطبيق نظرية ENZ أيضًا على توصيف الأدوات البصرية فيما يتعلق بانحرافها عن طريق قياس توزيع شدة التركيز وحل مشكلة عكسية مناسبة .

• قرص هوائي
• دائرة الارتباك ، للموضوع ذي الصلة الوثيقة في التصوير الفوتوغرافي بشكل عام.
• فك التشفير
• طاقة محاطة
• دالة استجابة النبضة
• مجهر
• الكريات المجهرية
• مختبر PSF

• هاجاي كيرشنر؛ فرانسوا أغويه؛ دانيال سيج؛ مايكل أونزر (2013). "ملاءمة دالة الانتشار النقطي ثلاثية الأبعاد للمجهر الفلوري: التطبيق والتحديد الموضعي" ( ملف PDF) . مجلة المجهر . 249 (يناير 2013): 13-25 . doi : 10.1111/j.1365-2818.2012.03675.x . PMID 23126323. S2CID 5318333 .  
• رايتشل نوك؛ كاليب كنورنشيلد؛ جاستن ميغاز؛ تايهيون كيم؛ بيتر ماونز؛ ترو ميريل؛ هارلي هايدن؛ سي إس باي؛ جونغسانغ كيم (2010). "بصريات متعددة المقاييس لتحسين تجميع الضوء من مصدر نقطي" (ملف PDF) . رسائل البصريات . 35 (يونيو 2010): 2460-2462 . arXiv : 1006.2188 . Bibcode : 2010OptL...35.2460N . doi : 10.1364/OL.35.002460 . hdl : 10161/4222 . PMID : 20634863. S2CID : 6838852 .