الجبر التربيعي

في الرياضيات ، الجبر التربيعي هو جبر فوق حلقة يقوم الجبر بتمديد الحلقة بعنصر جديد يحقق متعددة حدود تربيعية أحادية ذات معاملات في الحلقة.

توجد جبريات تربيعية حرة ومتدرجة.

بفرض وجود حلقة تبديلية R ، وحلقة كثيرات الحدود R [X]، يمكن تعريف الجبر التربيعي الحر على أنه حلقة خارج القسمة بواسطة مثالي كثير الحدود : " الجبر R على الصورة R [ X ]/(X² ^- aX - b ) حيث X² ^- ​​aX - b هو كثير حدود تربيعي أحادي في R [ X ] و(X² ^- aX - b ) هو المثالي الذي يولده، هو جبر تربيعي حر على R." ^{[ 1 ]}

بدلاً من ذلك، فإن الامتداد التربيعي الحر لـ R هو S = R ⊕ Rx مع xx = ax + b لبعض a و b في R. ^{[ 2 ]} نرمز له بـ S = ( R, a, b ).

ثم ( R, a, b ) ≅ ( R, c, d ) إذا وفقط إذا كان هناك عنصر وحدة α وعنصر β من R بحيث ^{[ 2 ]}

ج = α ( أ − 2 β ) و

د = α ² ( β أ + ب − β ² ).

إذا اعتبرنا R هي الحلقة Z للأعداد الصحيحة ، فإن الجبر التربيعي${\displaystyle \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+1)}$تُسمى هذه الأعداد بالأعداد الصحيحة الغاوسية .

إذا اعتبرنا R حقل الأعداد الحقيقية ، فإن هناك ثلاث فئات من التشاكل لـ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}-aX-b)}$: ^{[ 1 ] : 8}

• إذا كان ^a² + 4b = 0، فإن الأعداد الثنائية
• إذا كان ^a² + 4b > 0، فإن الأعداد المركبة المنقسمة
• إذا كان a ² + 4 b < 0، فإن الأعداد المركبة .

لنفترض أن الجبر التربيعي S له أساس {1، z } و${\displaystyle z^{2}=az+b.}$ثم يُعطى الانعكاس σ على S بالعلاقة التالية${\displaystyle \sigma (z)=az,}$وإذا${\displaystyle x=\lambda +\mu z,}$ثم${\displaystyle \sigma (x)=\lambda +\mu a-\mu z.}$

ثم يتم تعريف الأثر والمعيار باستخدام الانعكاس: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle tr(x)=x+\sigma (x)=2\lambda +\mu a\in R,}$

${\displaystyle n(x)=x\sigma (x)=\lambda ^{2}-\lambda \mu a-\mu ^{2}b\in R.}$

يتم تحديد الجبر التربيعي المتدرج A بواسطة فضاء متجهي للمولدات V = A ₁ وفضاء جزئي للعلاقات التربيعية ^{المتجانسة} S ⊂ V ⊗ V. ^{[ 4} ] وبالتالي

${\displaystyle A=T(V)/\langle S\rangle }$

ويرث تصنيفه من جبر الموتر T ( V ).

إذا سُمح للفضاء الفرعي للعلاقات بدلاً من ذلك أن يحتوي أيضًا على عناصر غير متجانسة من الدرجة 2، أي S ⊂ k ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V )، فإن هذا البناء ينتج عنه جبر تربيعي مُصفّى .

الجبر التربيعي المتدرج A كما هو مذكور أعلاه يقبل ثنائيًا تربيعيًا : الجبر التربيعي الناتج عن V ^* ومع العلاقات التربيعية التي تشكل المكمل المتعامد لـ S في V ^* ⊗ V ^* .

قد يكون الجبر التربيعي جبرًا مُرشَّحًا مُوَلَّدًا بعناصر من الدرجة الأولى، مع علاقات تعريفية من الدرجة الثانية. وقد أشار يوري مانين إلى أن هذه الجبر تلعب دورًا هامًا في نظرية الزمر الكمومية . وتُعد جبر كوزول أهم فئة من الجبر التربيعي المُدرَّج .

الجبر التربيعي الخطي هو جبر على حقل، يتميز بعرض تكون فيه جميع العلاقات عبارة عن مجاميع أحادية الحد من الدرجة الأولى أو الثانية في المولدات. وقد قدمه بوليتشوك وبوسيتسلسكي ( 2005 ، ص 101) . ومن الأمثلة عليه الجبر الشامل لجبر لي ، حيث تكون المولدات أساسًا لجبر لي، والعلاقات من الشكل XY – YX – [ X , Y ] = 0.         

• إن جبر الموترات ، والجبر المتناظر ، والجبر الخارجي لفضاء متجهي محدود الأبعاد هي جبر تربيعي متدرج (في الواقع، جبر كوزول).
• الجبر الشامل المغلف لجبر لي ذي الأبعاد المحدودة هو جبر تربيعي مُرشَّح.
• إن جبر كليفورد لفضاء متجهي محدود الأبعاد مزود بصيغة تربيعية هو جبر تربيعي مُرشَّح.
• إن جبر ويل لفضاء متجهي تماثلي محدود الأبعاد هو جبر تربيعي مُرشَّح.

• عنصر جبري
• التمديد الجبري
• جبر كوزول
• نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت

• مازورشوك، فولوديمير؛ أوفسينكو، سيرج؛ ستروبل ، كاثرينا (2009) ، “الثنائيات التربيعية ، ووظائف كوسزول المزدوجة ، والتطبيقات” ، ترانس. عامر. الرياضيات. شركة نفط الجنوب. ، 361 (3): 1129-1172 ، أرخايف : math.RT/0603475 ، دوى : 10.1090/S0002-9947-08-04539-X
• بارثا سيراثي تشاكرابورتي وساتياجيت غوين (2015) حساب التفاضل والتكامل غير التبادلي على الجبر التربيعي ، المجلة الهندية للرياضيات البحتة والتطبيقية 46: 495 إلى 515.