الطور

ضرب الطور${\displaystyle Ae^{i\theta }e^{i\omega t}}$بواسطة ثابت مركب،${\displaystyle Be^{i\phi }}$ينتج عنه متجه طوري آخر. وهذا يعني أن تأثيره الوحيد هو تغيير سعة وطور الموجة الجيبية الأساسية: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left(\left(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi }\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\left(ABe^{i(\theta +\phi )}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&AB\cos(\omega t+(\theta +\phi )).\end{aligned}}}$$

في مجال الإلكترونيات،${\displaystyle Be^{i\phi }}$يمثل الرمز φ المعاوقة ، وهي مستقلة عن الزمن. وبالتحديد، لا يُعدّ هذا الرمز اختصارًا لرمز طوري آخر. ينتج عن ضرب تيار طوري في معاوقة جهد طوري. لكن حاصل ضرب رمزين طوريين (أو تربيع رمز طوري) يمثل حاصل ضرب موجتين جيبيتين، وهي عملية غير خطية تُنتج مكونات ترددية جديدة. لا يمكن لرمز الطور تمثيل سوى الأنظمة ذات التردد الواحد، مثل النظام الخطي المُحفَّز بموجة جيبية.

ينتج عن مجموع عدة متجهات طورية متجه طوري آخر. وذلك لأن مجموع الموجات الجيبية ذات التردد نفسه هو أيضاً موجة جيبية بنفس التردد. $${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{1}\cos(\omega t+\theta _{1})+A_{2}\cos(\omega t+\theta _{2})\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}\right)+\operatorname {Re} \left(A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname {Re} \left(A_{1}e^{i\theta _{1}}e^{i\omega t}+A_{2}e^{i\theta _{2}}e^{i\omega t}\right)\\[3pt]={}&\operatorname Re((A₁eᵢθ₁ + A₂eᵢθ₂)eᵢωt) = Re((A₃eᵢθ₃)eᵢωt) = A₃cos(ωt + θ₃).$$ أين: $${\displaystyle A_{3}^{2}=(A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2})^{2},}$$

وإذا أخذنا${\textstyle \theta _{3}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]}$، ثم${\displaystyle \theta _{3}}$يكون:

• ${\textstyle \operatorname {sgn}(A_{1}\sin(\theta _{1})+A_{2}\sin(\theta _{2}))\cdot {\frac {\pi }{2}},}$لو${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}=0,}$مع${\displaystyle \operatorname {sgn} }$دالة الإشارة ؛
• ${\displaystyle \arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$لو${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}>0}$؛
• ${\displaystyle \pi +\arctan \left({\frac {A_{1}\sin \theta _{1}+A_{2}\sin \theta _{2}}{A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}}}\right),}$لو${\displaystyle A_{1}\cos \theta _{1}+A_{2}\cos \theta _{2}<0}$.

أو، عبر قانون جيب التمام على المستوى المركب (أو المتطابقة المثلثية لفروق الزوايا ): $${\displaystyle A_{3}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}-2A_{1}A_{2}\cos(180^{\circ }-\Delta \theta )=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2A_{1}A_{2}\cos(\Delta \theta ),}$$ أين${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{1}-\theta _{2}.}$

تكمن النقطة الأساسية في أن A³ و θ³ لا تعتمدان على ω أو t _{، وهذا ما يجعل استخدام} الترميز الطوري ممكنًا. يمكن حذف الاعتماد على الزمن والتردد وإعادة إدخاله في الناتج طالما أن العمليات المستخدمة بينهما هي فقط تلك التي تُنتج طورًا آخر. في الترميز الزاوي ، تُكتب العملية الموضحة أعلاه كما يلي: $${\displaystyle A_{1}\angle \theta _{1}+A_{2}\angle \theta _{2}=A_{3}\angle \theta _{3}.}$$

هناك طريقة أخرى للنظر إلى عملية الجمع وهي أن متجهين بإحداثيات [ A 1 _cos ( ωt + θ ₁ ), A ₁ sin( ωt + θ ₁ )] و [ A ₂ cos( ωt + θ ₂ ), A ₂ sin( ωt + θ ₂ )] يتم جمعهما بشكل متجهي لإنتاج متجه محصل بإحداثيات [ A ₃ cos( ωt + θ ₃ ), A ₃ sin( ωt + θ ₃ )] (انظر الرسوم المتحركة).

في الفيزياء، يحدث هذا النوع من الجمع عندما تتداخل الموجات الجيبية مع بعضها البعض، تداخلاً بناءً أو هداماً. يوفر مفهوم المتجه الساكن فهمًا مفيدًا لأسئلة مثل: "ما هو فرق الطور المطلوب بين ثلاث موجات جيبية متطابقة لإلغاء تام؟" في هذه الحالة، تخيل ببساطة أخذ ثلاثة متجهات متساوية الطول ووضعها رأسًا على عقب بحيث يتطابق الرأس الأخير مع الذيل الأول. من الواضح أن الشكل الذي يحقق هذه الشروط هو مثلث متساوي الأضلاع ، لذا فإن الزاوية بين كل متجه طوري والمتجه الذي يليه هي 120 درجة ( 2π / 3  راديان)، أو ثلث الطول الموجي λ / 3 . وبالتالي ، يجب أن يكون فرق الطور بين كل موجة 120 درجة أيضًا، كما هو الحال في الطاقة ثلاثية الأطوار .

بمعنى آخر، ما يوضحه هذا هو: $${\displaystyle \cos(\omega t)+\cos \left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)+\cos \left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)=0.}$$

في مثال الموجات الثلاث، كان فرق الطور بين الموجة الأولى والأخيرة ٢٤٠ درجة، بينما يحدث التداخل الهدام عند ١٨٠ درجة في حالة موجتين. في حالة وجود العديد من الموجات، يجب أن تشكل المتجهات الطورية دائرة لحدوث التداخل الهدام، بحيث يكون المتجه الطوري الأول موازيًا تقريبًا للمتجه الطوري الأخير. هذا يعني أنه بالنسبة للعديد من المصادر، يحدث التداخل الهدام عندما يختلف الطور بين الموجة الأولى والأخيرة بمقدار ٣٦٠ درجة، أي طول موجة كامل.${\displaystyle \lambda }$ولهذا السبب في حيود الشق الأحادي ، تحدث القيم الدنيا عندما يقطع الضوء القادم من الحافة البعيدة مسافة طول موجي كامل أبعد من الضوء القادم من الحافة القريبة.

عندما يدور المتجه المفرد عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن طرفه عند النقطة A يدور دورة كاملة مقدارها 360° أو 2π راديان  ، ما يمثل دورة كاملة. إذا نُقل طول طرفه المتحرك على فترات زمنية زاوية مختلفة إلى رسم بياني كما هو موضح أعلاه، فسيتم رسم شكل موجي جيبي يبدأ من اليسار عند الزمن صفر. يشير كل موضع على المحور الأفقي إلى الزمن المنقضي منذ الزمن صفر، t = 0. عندما يكون المتجه أفقيًا، يمثل طرفه الزوايا عند 0° و180° و360°.

وبالمثل، عندما يكون رأس المتجه عموديًا، فإنه يمثل القيمة القصوى الموجبة ( _{+A max) عند 90° أو π/2، والقيمة القصوى السالبة (-A max} ) عند ₂₇₀ ° أو 3π / 2 . ويمثل محور الزمن في شكل الموجة الزاوية التي تحركها المتجه الطوري ، سواء بالدرجات أو الراديان. لذا، يمكننا القول إن المتجه الطوري يمثل قيمة جهد أو تيار مُقاسة لمتجه دوار "مُجمد" عند نقطة زمنية معينة ( t )، وفي مثالنا السابق، عند زاوية 30°.

أحيانًا، عند تحليل الموجات المتناوبة، قد نحتاج إلى معرفة موضع المتجه الطوري الذي يمثل الكمية المتناوبة في لحظة زمنية محددة، خاصةً عند مقارنة موجتين مختلفتين على المحور نفسه، مثل الجهد والتيار. في الموجة الموضحة أعلاه، افترضنا أنها تبدأ عند الزمن t = 0 بزاوية طور مقابلة، إما بالدرجات أو بالراديان.

لكن إذا بدأت موجة ثانية على يسار أو يمين نقطة الصفر هذه، أو إذا أردنا تمثيل العلاقة بين الموجتين باستخدام ترميز الطور، فسنحتاج إلى مراعاة فرق الطور هذا، Φ ، للموجة. انظر إلى الرسم البياني أدناه من الدرس السابق حول فرق الطور.

ينتج عن المشتق الزمني أو التكامل لمتجه طوري متجه طوري آخر. ^{[ ب ]} على سبيل المثال: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\right)\\={}&\operatorname {Re} \left(\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\right)\\={}&\omega A\cdot \cos \left(\omega t+\theta +{\frac {\pi }{2}}\right).\end{aligned}}}$$

لذلك، في تمثيل الطور، يصبح المشتق الزمني للدالة الجيبية مجرد ضرب في ثابت${\textstyle i\omega =e^{i\pi /2}\cdot \omega }$.

وبالمثل، فإن تكامل الطور يقابل الضرب في${\textstyle {\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.}$العامل المعتمد على الزمن،${\displaystyle e^{i\omega t},}$لم يتأثر.

عندما نحل معادلة تفاضلية خطية باستخدام حساب الطور، فإننا ببساطة نقوم بتحليلها إلى عوامل.${\displaystyle e^{i\omega t}}$من بين جميع حدود المعادلة، وإعادة إدخالها في الإجابة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية التالية للجهد عبر المكثف في دائرة RC : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,v_{\text{C}}(t)}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{RC}}v_{\text{C}}(t)={\frac {1}{RC}}v_{\text{S}}(t).}$$

عندما يكون مصدر الجهد في هذه الدائرة جيبيًا: $${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=V_{\text{P}}\cdot \cos(\omega t+\theta ),}$$

قد نستبدل${\displaystyle v_{\text{S}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

$${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right),}$$ حيث الطور${\displaystyle V_{\text{s}}=V_{\text{P}}e^{i\theta },}$والطور${\displaystyle V_{\text{c}}}$هي الكمية المجهولة المطلوب تحديدها.

في تدوين الاختصار الطوري، تُختزل المعادلة التفاضلية إلى: $${\displaystyle i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.}$$

الاشتقاق

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} (V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t})={\frac {1}{RC}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right)}$

المعادلة 1

بما أن هذا يجب أن ينطبق على الجميع${\displaystyle t}$، خاصة:${\textstyle t-{\frac {\pi }{2\omega }},}$ويترتب على ذلك ما يلي:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)+{\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{RC}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\right).}$

المعادلة 2

ويتضح أيضاً بسهولة ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Re} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {Im} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)&=\operatorname {Im} \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathord {\left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)}}\right)=\operatorname {Im} \left(i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right).\end{aligned}}}$$

بإدخال هذه القيم في المعادلتين 1 و 2 ، وضرب المعادلة 2 في${\displaystyle i,}$وبجمع المعادلتين نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}i\omega V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\cdot e^{i\omega t}\\\left(i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}\right)\!\cdot e^{i\omega t}&=\left({\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}\right)\cdot e^{i\omega t}\\i\omega V_{\text{c}}+{\frac {1}{RC}}V_{\text{c}}&={\frac {1}{RC}}V_{\text{s}}.\end{aligned}}}$$

وبحل المعادلة لإيجاد جهد مكثف الطور، نحصل على: $${\displaystyle V_{\text{c}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot V_{\text{s}}={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot V_{\text{P}}e^{i\theta }.}$$

كما رأينا، فإن العامل المضاعف${\displaystyle V_{\text{s}}}$يمثل هذا اختلافات في سعة وطور${\displaystyle v_{\text{C}}(t)}$بالنسبة إلى${\displaystyle V_{\text{P}}}$و${\displaystyle \theta .}$

في صيغة الإحداثيات القطبية، يكون الحد الأول من التعبير الأخير كما يلي: $${\displaystyle {\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},}$$ أين${\displaystyle \phi (\omega )=\arctan(\omega RC)}$.

لذلك: $${\displaystyle v_{\text{C}}(t)=\operatorname {Re} \left(V_{\text{c}}\cdot e^{i\omega t}\right)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{\text{P}}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega )).}$$

الكمية التي تسمى المعاوقة المركبة هي نسبة اثنين من المتجهات الطورية، وهي ليست متجهًا طوريًا، لأنها لا تتوافق مع دالة متغيرة جيبية.

باستخدام المتجهات الطورية، يمكن تطبيق تقنيات حل دوائر التيار المستمر لحل دوائر التيار المتردد الخطية. ^{[ أ ]}

قانون أوم للمقاومات

لا يوجد تأخير زمني في المقاوم ، وبالتالي لا يغير طور الإشارة، لذلك تظل المعادلة V = IR صحيحة.

قانون أوم للمقاومات والمحاثات والمكثفات

V = IZ حيث Z هي المعاوقة المركبة .

قوانين كيرشوف الدائرية

التعامل مع الفولتية والتيار كمتجهات طورية معقدة.

في دائرة التيار المتردد، لدينا القدرة الحقيقية ( P ) التي تمثل متوسط ​​القدرة الداخلة إلى الدائرة، والقدرة التفاعلية ( Q ) التي تشير إلى القدرة المتدفقة ذهابًا وإيابًا. يمكننا أيضًا تعريف القدرة المركبة S = P + jQ والقدرة الظاهرية التي تمثل مقدار S. وبالتالي، فإن قانون القدرة لدائرة التيار المتردد، معبرًا عنه بالمتجهات الطورية، هو S = VI ^* (حيث I ^* هو المرافق المركب للتيار I ، ومقدار متجهي الجهد والتيار V و I هما القيم الفعالة للجهد والتيار، على التوالي).

بناءً على ذلك، يمكننا تطبيق تقنيات تحليل الدوائر المقاومة باستخدام المتجهات الطورية لتحليل دوائر التيار المتردد الخطية أحادية التردد التي تحتوي على مقاومات ومكثفات وملفات حث . ويمكن تحليل دوائر التيار المتردد الخطية متعددة الترددات ودوائر التيار المتردد ذات الأشكال الموجية المختلفة لإيجاد الفولتية والتيارات عن طريق تحويل جميع الأشكال الموجية إلى مكونات موجية جيبية (باستخدام متسلسلة فورييه ) مع تحديد السعة والطور، ثم تحليل كل تردد على حدة، وفقًا لنظرية التراكب . تنطبق طريقة الحل هذه فقط على المدخلات الجيبية وللحلول التي تكون في حالة استقرار، أي بعد تلاشي جميع الظواهر العابرة. ^{[ 16 ]}

يُستخدم هذا المفهوم بشكل متكرر في تمثيل المعاوقة الكهربائية . في هذه الحالة، تمثل زاوية الطور فرق الطور بين الجهد المطبق على المعاوقة والتيار المار عبرها.

في تحليل أنظمة الطاقة الكهربائية ثلاثية الأطوار ، تُعرَّف مجموعة المتجهات الطورية عادةً بأنها الجذور التكعيبية المركبة الثلاثة للوحدة ، وتُمثَّل بيانيًا بقيم مقدارها 1 عند الزوايا 0 و120 و240 درجة. وبمعاملة كميات دوائر التيار المتردد متعددة الأطوار كمتجهات طورية، يُمكن تبسيط الدوائر المتوازنة، بينما تُعامل الدوائر غير المتوازنة كتركيبة جبرية من مكونات متناظرة . يُبسِّط هذا النهج بشكل كبير العمليات الحسابية الكهربائية اللازمة لانخفاض الجهد، وتدفق الطاقة، وتيارات قصر الدائرة. في سياق تحليل أنظمة الطاقة، غالبًا ما تُعطى زاوية الطور بالدرجات ، والمقدار بقيمة الجذر التربيعي المتوسط ​​(RMS) بدلًا من سعة الذروة للموجة الجيبية.

تستخدم تقنية قياس الطور المتزامن أجهزة رقمية لقياس الأطوار التي تمثل جهد نظام النقل في نقاط متباعدة في شبكة النقل. وتشير الاختلافات بين هذه الأطوار إلى تدفق الطاقة واستقرار النظام.

يمكن أن تكون صورة الإطار الدوار باستخدام الطور أداة قوية لفهم التعديلات التناظرية مثل تعديل السعة (ومتغيراته ^{[ 17 ]} ) وتعديل التردد .

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \left(Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{0}t}\right),}$$ حيث يُنظر إلى الحد الموجود بين قوسين على أنه متجه دوار في المستوى المركب.

للمتجه الطوري طول${\displaystyle A}$، يدور عكس اتجاه عقارب الساعة بمعدل${\displaystyle f_{0}}$دورات في الثانية، وفي وقت${\displaystyle t=0}$يشكل زاوية من${\displaystyle \theta }$بالنسبة للمحور الحقيقي الموجب.

شكل الموجة${\displaystyle x(t)}$يمكن بعد ذلك اعتبارها إسقاطًا لهذا المتجه على المحور الحقيقي. يتم تمثيل شكل الموجة المُعدَّلة بواسطة هذا الطور (الحامل) وطورين إضافيين (طورا التعديل). إذا كانت إشارة التعديل عبارة عن نغمة واحدة بالشكل التالي:${\displaystyle Am\cos {2\pi f_{m}t}}$، أين${\displaystyle m}$هو عمق التعديل و${\displaystyle f_{m}}$إذا كان تردد إشارة التضمين هو ، فإن طوري التضمين في حالة تضمين السعة يُعطيان بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}+f_{m})t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi (f_{0}-f_{m})t}.}$$

يتم ضبط طوري التعديل بحيث يكون مجموعهما الاتجاهي متوافقًا دائمًا مع طور الموجة الحاملة. ويمكن تمثيل ذلك أيضًا بطورين يدوران في اتجاهين متعاكسين حول نهاية الموجة الحاملة بمعدل${\displaystyle f_{m}}$بالنسبة إلى متجه الموجة الحاملة. أي،

$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{i2\pi f_{m}t},}$$$${\displaystyle {1 \over 2}Ame^{i\theta }\cdot e^{-i2\pi f_{m}t}.}$$

يُعدّ تعديل التردد تمثيلاً مشابهاً، إلا أن طور التعديل لا يكون متوافقاً في الطور مع الموجة الحاملة. في هذه الحالة، ينزاح المجموع الاتجاهي لأطوار التعديل بمقدار 90 درجة عن طور الموجة الحاملة. من الناحية الدقيقة، يتطلب تمثيل تعديل التردد وجود طور تعديل صغير إضافي عند${\displaystyle 2f_{m},3f_{m}}$إلخ، ولكن بالنسبة لمعظم الأغراض العملية يتم تجاهل هذه الأمور لأن تأثيرها ضئيل للغاية.