إشارة تحليلية

منذ${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$إن استعادة مكونات التردد السالبة مسألة بسيطة تتمثل في التخلص منها.${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$وهو ما قد يبدو غير بديهي. المرافق المركب${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$يتألف فقط من مكونات التردد السالب. ولذلك${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$يعيد هذا الجزء مكونات التردد الموجبة المكبوتة. وهناك وجهة نظر أخرى مفادها أن المكون التخيلي في كلتا الحالتين هو مصطلح يطرح مكونات التردد من${\displaystyle s(t).}$ال${\displaystyle \operatorname {Re} }$يقوم العامل بإزالة عملية الطرح، مما يعطي انطباعًا بإضافة مكونات جديدة.

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$ أين ${\displaystyle \omega >0.}$

ثم:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}}$

المساواة الأخيرة هي صيغة أويلر ، والتي من نتائجها ما يلي:${\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}$بشكل عام، يُمكن الحصول على التمثيل التحليلي لموجة جيبية بسيطة من خلال التعبير عنها بدلالة الدوال الأسية المركبة، مع إهمال مُركّبة التردد السالبة ، ومضاعفة مُركّبة التردد الموجب. أما التمثيل التحليلي لمجموع موجات جيبية فهو مجموع التمثيلات التحليلية للموجات الجيبية الفردية.

هنا نستخدم صيغة أويلر لتحديد التردد السالب واستبعاده.

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)}$

ثم:

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

هذا مثال آخر على استخدام طريقة تحويل هيلبرت لإزالة مكونات التردد السالب. لا شيء يمنعنا من إجراء الحسابات.${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$لقيمة مركبة${\displaystyle s(t)}$لكن قد لا يكون هذا تمثيلاً قابلاً للعكس، لأن الطيف الأصلي ليس متناظراً بشكل عام. لذا، باستثناء هذا المثال، يفترض النقاش العام أن القيم حقيقية.${\displaystyle s(t)}$.

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$، أين${\displaystyle \omega >0}$.

ثم:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}}$

يمكن أيضًا التعبير عن الإشارة التحليلية باستخدام الإحداثيات القطبية :

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

حيث يتم إدخال الكميات المتغيرة مع الزمن التالية:

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|}$يُطلق عليه السعة اللحظية أو الغلاف ؛
• ${\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$يُطلق عليه الطور اللحظي أو زاوية الطور .

في الرسم التوضيحي المرفق، يمثل المنحنى الأزرق${\displaystyle s(t)}$والمنحنى الأحمر يوضح المقابل${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$.

المشتق الزمني للطور اللحظي غير الملفوف له وحدات راديان/ثانية ، ويسمى التردد الزاوي اللحظي :

${\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

وبالتالي فإن التردد اللحظي ( بالهرتز ) هو:

${\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$ ^{[ 3 ]}

تُستخدم السعة اللحظية، والطور والتردد اللحظيان في بعض التطبيقات لقياس وكشف الخصائص المحلية للإشارة. ويرتبط تطبيق آخر للتمثيل التحليلي للإشارة بإزالة التضمين من الإشارات المُضمّنة . تُسهّل الإحداثيات القطبية فصل تأثيرات تضمين السعة وتضمين الطور (أو التردد)، وتُزيل التضمين بكفاءة لأنواع معينة من الإشارات.

غالباً ما يتم تحويل الإشارات التحليلية في التردد (تحويلها إلى تردد أقل) باتجاه 0  هرتز، مما قد يؤدي إلى إنشاء مكونات تردد سالبة [غير متماثلة]: $${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$$ أين${\displaystyle \omega _{0}}$^{[ 2 ]} هو تردد زاوي مرجعي اعتباطي.

تُعرف هذه الوظيفة بأسماء مختلفة، مثل الغلاف المركب والنطاق الأساسي المركب . الغلاف المركب ليس فريدًا؛ بل يتم تحديده من خلال اختيار${\displaystyle \omega _{0}}$يُستخدم هذا المفهوم غالبًا عند التعامل مع إشارات نطاق التمرير . إذا${\displaystyle s(t)}$هي إشارة معدلة،${\displaystyle \omega _{0}}$قد يتم معادلتها بترددها الحامل .

وفي حالات أخرى،${\displaystyle \omega _{0}}$يُختار التردد بحيث يكون في منتصف نطاق التمرير المطلوب. بعد ذلك، يمكن استخدام مرشح تمرير منخفض بسيط بمعاملات حقيقية لاستبعاد الجزء المطلوب. دافع آخر هو تقليل أعلى تردد، مما يقلل من الحد الأدنى لمعدل أخذ العينات الخالي من التداخل. لا يؤثر تغيير التردد على سهولة التعامل الرياضي مع تمثيل الإشارة المعقدة. لذا، من هذا المنطلق، تظل الإشارة المحولة إلى تردد أقل تحليلية . مع ذلك، لم يعد استعادة التمثيل ذي القيم الحقيقية مجرد مسألة استخراج المكون الحقيقي. قد يكون التحويل إلى تردد أعلى ضروريًا، وإذا تم أخذ عينات من الإشارة (زمن منفصل)، فقد يكون الاستيفاء ( زيادة معدل أخذ العينات ) ضروريًا أيضًا لتجنب التداخل .

لو${\displaystyle \omega _{0}}$يتم اختيارها أكبر من أعلى تردد لـ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),}$ثم${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}$لا يحتوي على ترددات موجبة. في هذه الحالة، يؤدي استخراج المكون الحقيقي إلى استعادة الترددات الموجبة، ولكن بترتيب عكسي؛ حيث تصبح مكونات التردد المنخفض مكونات عالية والعكس صحيح. يمكن استخدام هذه الطريقة لفك تشفير نوع من إشارات النطاق الجانبي الأحادي يُسمى النطاق الجانبي السفلي أو النطاق الجانبي المعكوس .

تُؤخذ في الاعتبار أحيانًا خيارات أخرى للتردد المرجعي:

• أحيانا${\displaystyle \omega _{0}}$يتم اختيارها لتقليل$${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$$
• أو بدلاً من ذلك، ^{[ 4 ]}${\displaystyle \omega _{0}}$يمكن اختيارها لتقليل متوسط ​​مربع الخطأ في التقريب الخطي للطور اللحظي غير الملفوف${\displaystyle \phi (t)}$:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$$
• أو بديل آخر (للحصول على حل أمثل)${\displaystyle \theta }$):$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$$

في مجال معالجة الإشارات الزمنية والترددية، تبين أن الإشارة التحليلية ضرورية في تعريف توزيع ويغنر-فيل حتى تتمكن الطريقة من امتلاك الخصائص المرغوبة اللازمة للتطبيقات العملية. ^{[ 5 ]}

أحيانًا يُعطى مصطلح "الغلاف المركب" المعنى الأبسط المتمثل في السعة المركبة لمتجه طوري (ثابت التردد)؛ ^{[ أ ] [ ب ]} وفي أحيان أخرى الغلاف المركب${\displaystyle s_{m}(t)}$كما هو مُعرَّف أعلاه، يُفسَّر على أنه تعميم زمني للسعة المركبة. ^{[ ج ]} العلاقة بينهما لا تختلف كثيراً عن تلك الموجودة في حالة القيم الحقيقية: غلاف متغير يُعمِّم سعة ثابتة .

يمكن تعميم الإشارة التحليلية بشكل مباشر لإشارة متعددة الأبعاد بمجرد تحديد المقصود بالترددات السالبة في هذه الحالة. ويمكن القيام بذلك عن طريق إدخال متجه وحدة.${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$في مجال فورييه، قم بتسمية أي متجه تردد${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$سلبي إذا${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0}$ثم تُنتَج الإشارة التحليلية بإزالة جميع الترددات السالبة وضرب الناتج في 2، وفقًا للإجراء الموصوف لحالة الإشارات ذات المتغير الواحد. ومع ذلك، لا يوجد اتجاه محدد لـ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$والذي يجب اختياره ما لم تكن هناك قيود إضافية. لذلك، فإن اختيار${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$مخصص، أو خاص بالتطبيق.

يتوافق الجزءان الحقيقي والخيالي للإشارة التحليلية مع عنصري الإشارة أحادية التولد ذات القيم المتجهة ، كما هو مُعرَّف للإشارات ذات المتغير الواحد. مع ذلك، يمكن توسيع الإشارة أحادية التولد لتشمل أي عدد من المتغيرات بطريقة مباشرة، مما ينتج عنه دالة متجهة ذات أبعاد ( n + 1) في حالة الإشارات ذات n متغير.

• تعديل النطاق الجانبي الأحادي
• مرشح تربيعي
• مرشح سببي