زيادة معدل العينة

في معالجة الإشارات الرقمية ، تُستخدم مصطلحات مثل رفع معدل أخذ العينات ، والتوسيع ، والاستيفاء، لوصف عملية إعادة أخذ العينات في نظام معالجة الإشارات الرقمية متعدد المعدلات . قد يكون رفع معدل أخذ العينات مرادفًا للتوسيع ، أو قد يصف عملية كاملة من التوسيع والترشيح ( الاستيفاء ). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} عند تطبيق رفع معدل أخذ العينات على سلسلة من عينات إشارة أو دالة متصلة أخرى، فإنه يُنتج تقريبًا للسلسلة التي كان من الممكن الحصول عليها بأخذ عينات من الإشارة بمعدل أعلى (أو كثافة أعلى ، كما في حالة الصورة الفوتوغرافية). على سبيل المثال، إذا تم رفع معدل أخذ عينات صوتية من قرص مضغوط بمعدل 44100 عينة/ثانية بمعامل 5/4، فإن معدل أخذ العينات الناتج هو 55125.

زيادة المعدل بمعامل صحيح${\displaystyle L}$يمكن شرح ذلك على أنه عملية من خطوتين، مع تنفيذ مكافئ أكثر كفاءة : ^{[ 4 ]}

1. التوسيع : إنشاء تسلسل،${\displaystyle x_{L}[n],}$والتي تشمل العينات الأصلية،${\displaystyle x[n],}$يفصل بينهما${\displaystyle L-1}$الأصفار. يُرمز لهذه العملية بالرمز التالي : ${\displaystyle x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.}$
2. الاستيفاء : تنعيم الانقطاعات باستخدام مرشح تمرير منخفض ، والذي يحل محل الأصفار.

في هذا التطبيق، يُطلق على المرشح اسم مرشح الاستيفاء ، وسيتم شرح تصميمه أدناه. عندما يكون مرشح الاستيفاء من نوع FIR ، يمكن تحسين كفاءته، لأن الأصفار لا تُساهم في حسابات الضرب النقطي . من السهل حذفها من كلٍّ من تدفق البيانات والحسابات. الحساب الذي يُجريه مرشح FIR متعدد المعدلات للاستيفاء لكل عينة خرج هو الضرب النقطي : ^{[ أ ]}

حيث${\displaystyle h}$يمثل التسلسل استجابة النبضة لمرشح الاستيفاء، و${\displaystyle K}$هي القيمة الأكبر لـ${\displaystyle k}$والتي${\displaystyle h[j+kL]}$ليس صفراً.

في هذه الحالة${\displaystyle L=2,}$ وظيفة${\displaystyle h}$يمكن تصميمها كمرشح نصف نطاق ، حيث يكون ما يقرب من نصف المعاملات صفرًا ولا يلزم تضمينها في الضرب النقطي. معاملات استجابة النبضة مأخوذة على فترات من${\displaystyle L}$تشكل متتالية فرعية، وهناك${\displaystyle L}$يتم تجميع هذه التسلسلات الفرعية (التي تسمى المراحل ) معًا. كل منها${\displaystyle L}$تقوم مراحل استجابة النبضة بتصفية نفس القيم المتسلسلة لـ${\displaystyle x}$تدفق البيانات وإنتاج أحد${\displaystyle L}$قيم الإخراج المتسلسلة. في بعض بنى المعالجات المتعددة، يتم تنفيذ عمليات الضرب النقطي هذه في وقت واحد، وفي هذه الحالة يُطلق عليها اسم مرشح متعدد الأطوار .

ولإتمام الصورة، نذكر الآن أن أحد التطبيقات الممكنة، وإن كانت غير مرجحة، لكل مرحلة هو استبدال معاملات المراحل الأخرى بأصفار في نسخة من${\displaystyle h}$المصفوفة، ومعالجتها${\displaystyle x_{L}[n]}$ التسلسل عند${\displaystyle L}$أسرع بعدة مرات من معدل الإدخال الأصلي. ثم${\displaystyle L-1}$من كل${\displaystyle L}$الناتج يساوي صفرًا. المطلوب${\displaystyle y}$التسلسل هو مجموع المراحل، حيث${\displaystyle L-1}$جميع حدود كل مجموع تساوي صفرًا. الحساب${\displaystyle L-1}$إن إضافة أصفار بين المخرجات المفيدة لمرحلة ما إلى مجموعها يُعدّ في الواقع عملية تقليل عدد العناصر. وهي النتيجة نفسها كما لو لم يتم حسابها على الإطلاق. تُعرف هذه المكافئة باسم متطابقة نوبل الثانية . ^{[ 5 ]} وتُستخدم أحيانًا في اشتقاقات طريقة متعددة المراحل.

يترك${\displaystyle X(f)}$ليكن تحويل فورييه لأي دالة،${\displaystyle x(t),}$التي يتم أخذ عينات منها على فترات زمنية معينة،${\displaystyle T,}$يساوي${\displaystyle x[n]}$ثم يتم إجراء تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) لـ${\displaystyle x[n]}$المتتالية هي تمثيل متسلسلة فورييه لمجموع دوري لـ${\displaystyle X(f):}$^{[ ب ]}

متى${\displaystyle T}$وحداتها هي الثواني،${\displaystyle f}$وحداتها هي الهرتز (Hz) . أخذ العينات${\displaystyle L}$أسرع مرات (على فترات زمنية)${\displaystyle T/L}$) يزيد من الدورية بمعامل${\displaystyle L:}$^{[ ج ]}

وهي أيضاً النتيجة المرجوة من الاستيفاء. ويُظهر الرسمان البيانيان الأول والثالث من الشكل 2 مثالاً على كلا التوزيعين. ^{[ 6 ]} 

عند إدخال أصفار في العينات الإضافية، فإنها تقلل من فاصل أخذ العينات إلى${\displaystyle T/L.}$ وبحذف الحدود ذات القيمة الصفرية في متسلسلة فورييه، يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},}$

وهو ما يعادل المعادلة 2، بغض النظر عن قيمة${\displaystyle L.}$ يُوضح الرسم البياني الثاني في الشكل 2 هذا التكافؤ. والفرق الوحيد هو أن عرض النطاق الترددي الرقمي المتاح قد تم توسيعه إلى${\displaystyle L/T}$مما يزيد من عدد الصور الطيفية الدورية ضمن النطاق الترددي الجديد. ويصف بعض المؤلفين ذلك بأنه مكونات ترددية جديدة. ^{[ 7 ]}  كما يوضح الرسم البياني الثاني مرشح تمرير منخفض و${\displaystyle L=3,}$مما ينتج عنه التوزيع الطيفي المطلوب (الرسم البياني الثالث). عرض نطاق المرشح هو تردد نايكويست للإشارة الأصلية${\displaystyle x[n]}$التسلسل. ^{[ أ ]}  بوحدات هرتز، تكون هذه القيمة${\displaystyle {\tfrac {0.5}{T}},}$ لكن تطبيقات تصميم المرشحات تتطلب عادةً وحدات موحدة . (انظر الشكل 2، الجدول)

لنفترض أن L / M يمثل عامل إعادة التشكيل، حيث L  > M. 

1. زيادة معدل العينة بمعامل L
2. تقليل معدل العينة بمعامل M

تتطلب عملية رفع معدل العينة استخدام مرشح تمرير منخفض بعد زيادة معدل البيانات، بينما تتطلب عملية خفض معدل العينة استخدام مرشح تمرير منخفض قبل عملية تقليل معدل العينة. لذلك، يمكن إنجاز العمليتين باستخدام مرشح واحد بتردد القطع الأدنى من بين الترددين. في حالة L  > M ، يكون تردد قطع مرشح الاستيفاء، ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}}$عدد الدورات لكل عينة وسيطة هو التردد الأدنى.

• تقليل معدل أخذ العينات
• معالجة الإشارات الرقمية متعددة المعدلات
• مرشح نصف النطاق
• أخذ العينات الزائدة
• وفرة العينات
• أخذ العينات (معالجة الإشارات)
• الإشارة (نظرية المعلومات)
• تحويل البيانات
• الاستيفاء
• صيغة جمع بواسون

• "الصفحة الرئيسية لإعادة تشكيل الصوت الرقمي" .(يناقش تقنية الاستيفاء المحدود النطاق)
• "مثال باستخدام برنامج Matlab لاستخدام مرشحات متعددة الأطوار للاستيفاء" .