دائرة RLC

مرشحات إلكترونية تناظرية خطية
مرشحات توليف الشبكة مرشح باتروورث مرشح تشيبيشيف مرشح إهليلجي (كوير) مرشح بيسل مرشح غاوسي مرشح "L" (أسطورة) الأمثل مرشح لينكويتز-رايلي
مرشحات معاوقة الصورة مرشح ثابت k مرشح مشتق من m مرشحات الصور العامة مرشح شبكة زوبل (R ثابت) مرشح الشبكة (الكل يمر) مُعادل تأخير T مُجسر (تمرير كامل) مرشح الصورة المركبة مرشح من النوع mm'
مرشحات بسيطة مرشح RC مرشح RL مرشح LC مرشح RLC
ف ت هـ

دائرة RLC هي دائرة كهربائية تتكون من مقاوم (R) ومحث (L) ومكثف ( C)، متصلة على التوالي أو بالتوازي. اسم الدائرة مشتق من الحروف المستخدمة للإشارة إلى المكونات المكونة لهذه الدائرة، حيث قد يختلف تسلسل المكونات عن RLC.

تشكل الدائرة مذبذبًا توافقيًا للتيار، وتتردد بطريقة مماثلة لدائرة LC . يؤدي إدخال المقاوم إلى زيادة اضمحلال هذه التذبذبات، وهو ما يُعرف أيضًا بالتخميد . كما تعمل المقاومات على تقليل تردد الرنين الأقصى. لا يمكن تجنب بعض المقاومة حتى إذا لم يتم تضمين المقاوم على وجه التحديد كمكون.

تستخدم دوائر RLC في العديد من التطبيقات كدوائر مذبذبة . تستخدمها أجهزة الاستقبال الراديوية وأجهزة التلفاز لضبط نطاق التردد الضيق من الموجات الراديوية المحيطة. وفي هذا الدور، غالبًا ما يشار إلى الدائرة باسم الدائرة المضبوطة. يمكن استخدام دائرة RLC كمرشح تمرير النطاق أو مرشح إيقاف النطاق أو مرشح تمرير منخفض أو مرشح تمرير مرتفع . على سبيل المثال، يعد تطبيق الضبط مثالاً على ترشيح تمرير النطاق. يوصف مرشح RLC بأنه دائرة من الدرجة الثانية ، مما يعني أنه يمكن وصف أي جهد أو تيار في الدائرة بمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية في تحليل الدائرة.

يمكن دمج عناصر الدائرة الثلاثة، R وL وC، في عدد من الطوبولوجيات المختلفة . تعتبر العناصر الثلاثة على التوالي أو العناصر الثلاثة على التوازي هي الأبسط من حيث المفهوم والأسهل في التحليل. ومع ذلك، هناك ترتيبات أخرى، بعضها له أهمية عملية في الدوائر الحقيقية. إحدى المشكلات التي غالبًا ما يتم مواجهتها هي الحاجة إلى مراعاة مقاومة المحاثات. عادةً ما يتم تصنيع المحاثات من ملفات من الأسلاك، والتي لا تكون مقاومتها مرغوبة عادةً، ولكنها غالبًا ما يكون لها تأثير كبير على الدائرة.

من الخصائص المهمة لهذه الدائرة قدرتها على الرنين عند تردد معين، تردد الرنين ، f _0. يتم قياس الترددات بوحدات هرتز . في هذه المقالة، يتم استخدام التردد الزاوي ، ω ₀ ، لأنه أكثر ملاءمة من الناحية الرياضية. يتم قياسه بالراديان في الثانية. ترتبط ببعضها البعض بنسبة بسيطة،

${\displaystyle \omega _{0}=2\pi f_{0}\,.}$

يحدث الرنين لأن الطاقة في هذا الموقف مخزنة بطريقتين مختلفتين: في مجال كهربائي أثناء شحن المكثف وفي مجال مغناطيسي أثناء تدفق التيار عبر المحث. يمكن نقل الطاقة من أحدهما إلى الآخر داخل الدائرة ويمكن أن يكون ذلك تذبذبيًا. التشبيه الميكانيكي هو وزن معلق على زنبرك سوف يتذبذب لأعلى ولأسفل عند إطلاقه. هذا ليس استعارة عابرة؛ يتم وصف الوزن على زنبرك بنفس معادلة التفاضل من الدرجة الثانية تمامًا مثل دائرة RLC ولكل خصائص النظام الأول سيتم العثور على خاصية مماثلة للآخر. الخاصية الميكانيكية التي تستجيب للمقاومة في الدائرة هي الاحتكاك في نظام الزنبرك والوزن. سيعمل الاحتكاك على إيقاف أي تذبذب ببطء إذا لم تكن هناك قوة خارجية تدفعه. وبالمثل، فإن المقاومة في دائرة RLC ستخفف من التذبذب، مما يقلله بمرور الوقت إذا لم يكن هناك مصدر طاقة تيار متردد دافع في الدائرة.

يتم تعريف التردد الرنيني على أنه التردد الذي تكون عنده معاوقة الدائرة عند الحد الأدنى. وعلى نحو مكافئ، يمكن تعريفه على أنه التردد الذي تكون عنده المعاوقة حقيقية بحتة (أي مقاومة بحتة). يحدث هذا لأن معاوقات المحث والمكثف عند الرنين متساوية ولكن لها إشارة متعاكسة وتلغي بعضها البعض. الدوائر التي تكون فيها L وC متوازيتين بدلاً من متسلسلتين لها في الواقع معاوقة قصوى بدلاً من معاوقة دنيا. لهذا السبب غالبًا ما يتم وصفها بأنها مرنانات مضادة ؛ ومع ذلك، لا يزال من المعتاد تسمية التردد الذي يحدث عنده ذلك بالتردد الرنيني.

يتم تعريف تردد الرنين من حيث المعاوقة المقدمة لمصدر القيادة. لا يزال من الممكن أن تستمر الدائرة في التذبذب (لفترة من الوقت) بعد إزالة مصدر القيادة أو تعرضه لخطوة في الجهد (بما في ذلك خطوة لأسفل إلى الصفر). هذا مشابه للطريقة التي تستمر بها شوكة الرنين في الرنين بعد ضربها، وغالبًا ما يُطلق على التأثير الرنين. هذا التأثير هو تردد الرنين الطبيعي الأقصى للدائرة وبشكل عام ليس هو نفسه تمامًا مثل تردد الرنين المدفوع، على الرغم من أن الاثنين سيكونان قريبين جدًا من بعضهما البعض عادةً. يستخدم مؤلفون مختلفون مصطلحات مختلفة للتمييز بين الاثنين، لكن تردد الرنين غير المؤهل يعني عادةً تردد الرنين المدفوع. يمكن تسمية التردد المدفوع بتردد الرنين غير المخمّد أو التردد الطبيعي غير المخمّد ويمكن تسمية تردد الذروة بتردد الرنين المخمّد أو التردد الطبيعي المخمّد. والسبب وراء هذا المصطلح هو أن تردد الرنين المدفوع في دائرة رنين متسلسلة أو متوازية له القيمة. ^[1]

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.}$

هذا هو نفس تردد الرنين لدائرة LC بدون خسارة - أي دائرة لا تحتوي على مقاوم موجود. تردد الرنين لدائرة RLC مدفوعة هو نفس الدائرة التي لا يوجد فيها تخميد، وبالتالي تردد رنين غير مخمد. من ناحية أخرى، تعتمد سعة ذروة التردد الرنان على قيمة المقاوم ويتم وصفها بأنها تردد الرنين المخمد. ستفشل الدائرة المخمدة للغاية في الرنين على الإطلاق، عندما لا يتم تشغيلها. تسمى الدائرة التي تحتوي على قيمة مقاومة تجعلها على حافة الرنين بالتخميد الحرج . يوصف أي جانب من التخميد الحرج بأنه منخفض التخميد (يحدث الرنين) ومفرط التخميد (يتم قمع الرنين).

الدوائر ذات الطوبولوجيات الأكثر تعقيدًا من التسلسل المباشر أو التوازي (بعض الأمثلة موصوفة لاحقًا في المقالة) لها تردد رنين مدفوع ينحرف عن ، وبالنسبة لتلك الدوائر، يمكن أن يكون تردد الرنين غير المخمّد وتردد الرنين المخمّد وتردد الرنين المدفوع مختلفين. ${\displaystyle \ \omega _{0}=1/{\sqrt {L\,C~}}\ }$

يحدث التخميد بسبب المقاومة في الدائرة. وهو يحدد ما إذا كانت الدائرة ستتردد بشكل طبيعي أم لا (أي بدون مصدر قيادة). وتوصف الدوائر التي ستتردد بهذه الطريقة بأنها منخفضة التخميد وتلك التي لن تفعل ذلك فهي مفرطة التخميد. يتم قياس التوهين الناتج عن التخميد (الرمز α ) بالنيبر في الثانية. ومع ذلك، فإن عامل التخميد بلا وحدات (الرمز ζ ، زيتا) غالبًا ما يكون مقياسًا أكثر فائدة، وهو مرتبط بـ α بواسطة

${\displaystyle \ \zeta ={\frac {\alpha }{\ \omega _{0}\ }}\ .}$

الحالة الخاصة لـ ζ = 1 تسمى التخميد الحرج وتمثل حالة الدائرة التي تقع على حدود التذبذب. وهو الحد الأدنى من التخميد الذي يمكن تطبيقه دون التسبب في التذبذب.

يمكن استخدام تأثير الرنين للتصفية، ويمكن استخدام التغير السريع في المعاوقة بالقرب من الرنين لتمرير أو حجب الإشارات القريبة من تردد الرنين. يمكن إنشاء كل من مرشحات تمرير النطاق وإيقاف النطاق ويتم عرض بعض دوائر المرشح لاحقًا في المقالة. يعد عرض النطاق الترددي أحد المعلمات الرئيسية في تصميم المرشح . يتم قياس عرض النطاق الترددي بين ترددات القطع ، والتي يتم تعريفها غالبًا على أنها الترددات التي انخفضت عندها الطاقة المارة عبر الدائرة إلى نصف القيمة المارة عند الرنين. يوجد اثنان من ترددات نصف القدرة هذه، واحد أعلى، وواحد أسفل تردد الرنين

${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,}$

حيث Δ ω هو عرض النطاق، وω ₁ هو تردد نصف القدرة الأدنى و ω ₂ هو تردد نصف القدرة الأعلى. ويرتبط عرض النطاق بالتوهين بواسطة

${\displaystyle \Delta \omega =2\alpha \,,}$

حيث تكون الوحدات هي الراديان في الثانية والنيبر في الثانية على التوالي. ^{[ بحاجة لمصدر ]} قد تتطلب وحدات أخرى عامل تحويل. مقياس أكثر عمومية للنطاق الترددي هو النطاق الترددي الكسري، والذي يعبر عن النطاق الترددي كجزء من تردد الرنين ويعطى بواسطة

${\displaystyle B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}\,.}$

غالبًا ما يتم ذكر النطاق الترددي الكسري كنسبة مئوية. يتم ضبط التخميد في دوائر المرشح للحصول على النطاق الترددي المطلوب. يتطلب المرشح ذو النطاق الضيق، مثل مرشح الشق ، تخميدًا منخفضًا. يتطلب المرشح ذو النطاق العريض تخميدًا عاليًا.

عامل Q هو مقياس واسع الانتشار يستخدم لتوصيف الرنانات. يتم تعريفه على أنه طاقة الذروة المخزنة في الدائرة مقسومة على متوسط ​​الطاقة المبددة فيها لكل راديان عند الرنين. وبالتالي فإن الدوائر ذات Q المنخفضة تكون مخففة وخاسرة والدوائر ذات Q العالية تكون مخمدة بشكل غير كاف وعرضة لتطرف السعة إذا تم تشغيلها عند التردد الرنان. ^[أ] يرتبط Q بعرض النطاق الترددي؛ الدوائر ذات Q المنخفضة هي ذات نطاق عريض والدوائر ذات Q العالية هي ذات نطاق ضيق. في الواقع، يحدث أن Q هو معكوس عرض النطاق الترددي الكسري

${\displaystyle Q={\frac {1}{\,B_{\mathrm {f} }\,}}={\frac {\omega _{\text{o}}}{\,\operatorname {\Delta } \omega \,}}\;.}$^[2]

عامل Q يتناسب طرديا مع الانتقائية ، حيث أن عامل Q يعتمد عكسيا على النطاق الترددي.

بالنسبة لدائرة الرنين المتسلسلة (كما هو موضح أدناه)، يمكن حساب عامل Q على النحو التالي: ^[2]

${\displaystyle Q={\frac {X}{\,R\;}}={\frac {1}{\,\omega _{\text{o}}R\,C\,}}={\frac {\,\omega _{\text{o}}L\,}{R}}={\frac {1}{\,R\;}}{\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}={\frac {\,Z_{\text{o}}\,}{R\;}}\;,}$^[2]

أين تكون المفاعلة إما لـ أو لـ عند الرنين، و${\displaystyle \,X\,}$${\displaystyle \,L\,}$${\displaystyle \,C\,}$${\displaystyle \,Z_{\text{o}}\equiv {\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}\;.}$

يتم قياس جميع المعلمات ζ و B _f و Q إلى ω _0. وهذا يعني أن الدوائر التي لها معلمات مماثلة تشترك في خصائص مماثلة بغض النظر عما إذا كانت تعمل في نفس نطاق التردد أم لا.

تقدم المقالة التالية تحليلاً لدائرة RLC التسلسلية بالتفصيل. لا يتم وصف التكوينات الأخرى بمثل هذه التفاصيل، ولكن يتم تقديم الاختلافات الرئيسية عن حالة السلسلة. الشكل العام للمعادلات التفاضلية الواردة في قسم الدائرة التسلسلية ينطبق على جميع الدوائر من الدرجة الثانية ويمكن استخدامه لوصف الجهد أو التيار في أي عنصر من كل دائرة.

في هذه الدائرة، تكون المكونات الثلاثة كلها متصلة على التوالي مع مصدر الجهد . يمكن إيجاد معادلة التفاضل الحاكمة عن طريق استبدال المعادلة التأسيسية لكل من العناصر الثلاثة في قانون كيرشوف للجهد (KVL) . من قانون كيرشوف للجهد،

${\displaystyle V_{\mathrm {R} }+V_{\mathrm {L} }+V_{\mathrm {C} }=V(t)\,,}$

حيث V _R و V _L و V _C هي الجهود عبر R و L و C على التوالي، و V ( t ) هو الجهد المتغير بمرور الوقت من المصدر.

يؤدي استبدال و في المعادلة أعلاه إلى: ${\displaystyle V_{R}=R\ I(t)\,,}$ ${\displaystyle \,V_{\mathrm {L} }=L{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}\,}$${\displaystyle \,V_{\mathrm {C} }=V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau \,}$

${\displaystyle RI(t)+L{\frac {\,\mathrm {d} I(t)\,}{\mathrm {d} t}}+V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau =V(t)\;.}$

بالنسبة للحالة التي يكون فيها المصدر عبارة عن جهد ثابت، فإن أخذ المشتق الزمني وقسمته على L يؤدي إلى معادلة التفاضل من الدرجة الثانية التالية:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {R}{\,L\,}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+{\frac {1}{\,L\,C\,}}I(t)=0\;.}$

من الممكن التعبير عن ذلك بشكل مفيد في شكل أكثر قابلية للتطبيق على نطاق أوسع:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\;.}$

α و ω ₀ كلاهما بوحدات التردد الزاوي . α يسمى تردد النيبر ، أو التوهين ، وهو مقياس لمدى سرعة تلاشي الاستجابة العابرة للدائرة بعد إزالة الحافز. يظهر النيبر في الاسم لأنه يمكن أيضًا اعتبار الوحدات نيبر في الثانية، حيث أن النيبر وحدة لوغاريتمية للتوهين. ω ₀ هو تردد الرنين الزاوي. ^[3]

بالنسبة لحالة دائرة RLC المتسلسلة، يتم إعطاء هذين المعاملين بواسطة: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{\,2L\,}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\,{\sqrt {L\,C\,}}\,}}\;.\end{aligned}}}$

المعلمة المفيدة هي عامل التخميد ، ζ ، والذي يتم تعريفه على أنه نسبة هذين الاثنين؛ على الرغم من أنه في بعض الأحيان لا يتم استخدام ζ ، ويشار إلى α كعامل تخميد بدلاً من ذلك؛ وبالتالي يتطلب الأمر تحديدًا دقيقًا لاستخدام هذا المصطلح. ^[5]

${\displaystyle \zeta \equiv {\frac {\alpha }{\,\omega _{0}\,}}\;.}$

في حالة دائرة RLC المتسلسلة، يتم إعطاء عامل التخميد بواسطة

${\displaystyle \zeta ={\frac {\,R\,}{2}}{\sqrt {{\frac {C}{\,L\,}}\,}}={\frac {1}{\ 2Q\ }}~.}$

تحدد قيمة عامل التخميد نوع العابر الذي ستظهره الدائرة. ^[6]

المعادلة التفاضلية لها المعادلة المميزة ^[7]

${\displaystyle s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.}$

جذور المعادلة في المجال s هي، ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)={\frac {-\omega _{0}}{\ \zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\ }}\ }}\ ,\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)\;.\end{aligned}}}$

الحل العام للمعادلة التفاضلية هو حل أسي إما في الجذر أو تراكب خطي لكليهما،

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;.}$

يتم تحديد المعاملات A ₁ و A ₂ من خلال الشروط الحدودية للمشكلة المحددة التي يتم تحليلها. أي يتم ضبطها من خلال قيم التيارات والجهد في الدائرة عند بداية العابر والقيمة المفترضة التي ستستقر عليها بعد وقت لا نهائي. ^[8] يتم حل المعادلة التفاضلية للدائرة بثلاث طرق مختلفة اعتمادًا على قيمة ζ . هذه هي التخميد الزائد ( ζ > 1 ) والتخميد الناقص ( ζ < 1 ) والتخميد الحرج ( ζ = 1 ).

الاستجابة المفرطة التخميد ( ζ > 1 ) هي ^[9]

${\displaystyle I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;.}$

الاستجابة المفرطة التخميد هي اضمحلال للتيار العابر دون تذبذب. ^[10]

الاستجابة غير المخففة ( ζ < 1 ) هي ^[11]

${\displaystyle I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.}$

من خلال تطبيق الهويات المثلثية القياسية ، يمكن التعبير عن الدالتين المثلثيتين كجيب واحد مع تحول الطور، ^[12]

${\displaystyle I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\;.}$

الاستجابة غير المخمَّدة هي تذبذب متناقص عند التردد ω _d . يتناقص التذبذب بمعدل يتم تحديده بواسطة التوهين α . يصف الأسي في α غلاف التذبذب. B ₁ و B ₂ (أو B ₃ وتحول الطور φ في الشكل الثاني) ثوابت عشوائية يتم تحديدها بواسطة الشروط الحدودية. التردد ω _d معطى بواسطة ^[11]

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}\,}}\;.}$

يُطلق على هذا تردد الرنين المخمّد أو التردد الطبيعي المخمّد. وهو التردد الذي ستتذبذب به الدائرة بشكل طبيعي إذا لم يتم تشغيلها بواسطة مصدر خارجي. غالبًا ما يُشار إلى تردد الرنين، ω ₀ ، وهو التردد الذي ستتردد به الدائرة عند تشغيلها بواسطة تذبذب خارجي، باسم تردد الرنين غير المخمّد لتمييزه. ^[13]

الاستجابة المثبطة بشكل حرج ( ζ = 1 ) هي ^[14]

${\displaystyle I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;.}$

تمثل الاستجابة المثبطة بشكل حرج استجابة الدائرة التي تتحلل في أسرع وقت ممكن دون الدخول في تذبذب. هذا الاعتبار مهم في أنظمة التحكم حيث يلزم الوصول إلى الحالة المطلوبة بأسرع ما يمكن دون تجاوز الحد. D ₁ و D ₂ هما ثابتان تعسفيان يتم تحديدهما بواسطة الشروط الحدودية. ^[15]

يمكن تحليل سلسلة RLC لكل من سلوك حالة التيار المتردد العابر والمستقر باستخدام تحويل لابلاس . ^[16] إذا أنتج مصدر الجهد أعلاه شكل موجة مع V ( s ) محولة بواسطة لابلاس (حيث s هو التردد المركب s = σ + jω )، فيمكن تطبيق KVL في مجال لابلاس:

${\displaystyle V(s)=I(s)\left(R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\right)\,,}$

حيث I ( s ) هو التيار المحول بواسطة لابلاس عبر جميع المكونات. حل I ( s ) :

${\displaystyle I(s)={\frac {1}{\,R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\,}}V(s)\;.}$

وإعادة الترتيب، لدينا

${\displaystyle I(s)={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}V(s)\;.}$

حل معادلة لابلاس Y ( s ) :

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}\,.}$

من خلال التبسيط باستخدام المعلمات α و ω ₀ المحددة في القسم السابق، لدينا

${\displaystyle Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)\,}}\;.}$

أصفار Y ( s ) هي تلك القيم لـ s حيث Y ( s ) = 0 :

${\displaystyle s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \;.}$

أقطاب Y ( s ) هي قيم s حيث Y ( s ) → ∞ . وفقًا للصيغة التربيعية ، نجد

${\displaystyle s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}\;.}$

أقطاب Y ( s ) متطابقة مع الجذور s ₁ و s ₂ للحدود المميزة لمعادلة التفاضل في القسم أعلاه.

بالنسبة لـ V ( t ) التعسفي ، الحل الذي تم الحصول عليه عن طريق التحويل العكسي لـ I ( s ) هو:

• في حالة عدم التخميد، ω ₀ > α :

  ${\displaystyle I(t)={\frac {1}{\,L\,}}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cos(\omega _{\mathrm {d} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {d} }\ }}\sin(\omega _{\mathrm {d} }\tau )\right]\,d\tau \,,}$

• في حالة التخميد الحرج، ω ₀ = α :

  ${\displaystyle \ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\ \left[\ 1-\alpha \tau \ \right]\ \mathrm {d} \tau \ ,}$

• في حالة التخميد الزائد، ω ₀ < α :

  ${\displaystyle \ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cosh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {r} }\ }}\sinh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )\right]\,d\tau \ ,}$

حيث ω _r = √ α ² − ω ₀ ² ، و cosh و sinh هما الدوال الزائدية المعتادة .

يتم تمثيل الحالة المستقرة الجيبية بجعل s = jω ، حيث j هي الوحدة التخيلية . بأخذ مقدار المعادلة أعلاه بهذا الاستبدال:

${\displaystyle {\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\,\omega C\,}}\right)^{2}}}\,}}\;.}$

ويمكن إيجاد التيار كدالة لـ ω من

${\displaystyle {\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\bigl |}V(j\omega ){\bigr |}\;.}$

توجد قيمة ذروة لـ | I ( jω ) | . قيمة ω عند هذه الذروة، في هذه الحالة المعينة، تساوي تردد الرنين الطبيعي غير المخفف. ^[17] وهذا يعني أن أقصى جهد عبر المقاوم، وبالتالي أقصى تبديد للحرارة، يحدث عند التردد الطبيعي.

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\,{\sqrt {L\ C\ }}\,}}\;.}$

من استجابة التردد للتيار، يمكن أيضًا تحديد استجابة التردد للجهد عبر عناصر الدائرة المختلفة (انظر الشكل). علاوة على ذلك، يحدث أقصى جهد عبر المكثف عند تردد

${\displaystyle \omega _{C}={\frac {\ {\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}}}\ }{L}}\;,}$

في حين يحدث الحد الأقصى للجهد عبر المحث عند

${\displaystyle \omega _{L}={\frac {1}{\ C{\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}\ }}\ }}\;.}$

يحتوي على: . ${\displaystyle \omega _{C}<\omega _{0}<\omega _{L}}$

يمكن الحصول على خصائص دائرة RLC المتوازية من علاقة الازدواجية للدوائر الكهربائية، واعتبار أن دائرة RLC المتوازية هي المعاوقة المزدوجة لدائرة RLC المتسلسلة. واعتبارًا لهذا، يصبح من الواضح أن المعادلات التفاضلية التي تصف هذه الدائرة متطابقة مع الشكل العام للمعادلات التي تصف دائرة RLC المتسلسلة.

بالنسبة للدائرة الموازية، يتم إعطاء التوهين α بواسطة ^[18]

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}}$

وعامل التخميد هو بالتالي

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.}$

وبالمثل، فإن المعلمات الأخرى ذات المقاييس، النطاق الترددي الكسري و Q هي أيضًا معكوسة لبعضها البعض. وهذا يعني أن الدائرة ذات النطاق العريض و Q المنخفض في أحد الطوبولوجيات ستصبح دائرة ذات نطاق ضيق و Q مرتفع في الطوبولوجيا الأخرى عند بنائها من مكونات ذات قيم متطابقة. يتم إعطاء النطاق الترددي الكسري و Q للدائرة الموازية بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}}$

لاحظ أن الصيغ هنا هي مقلوبات الصيغ الخاصة بالدائرة المتسلسلة، الموضحة أعلاه.

يتم تحديد القبول المعقد لهذه الدائرة عن طريق إضافة قبول المكونات:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}}$

يؤدي التغيير من الترتيب المتسلسل إلى الترتيب المتوازي إلى أن الدائرة لها ذروة في المعاوقة عند الرنين بدلاً من الحد الأدنى، وبالتالي فإن الدائرة عبارة عن مضاد للرنين.

يوضح الرسم البياني المقابل أن هناك حدًا أدنى في استجابة التردد للتيار عند تردد الرنين عندما يتم تشغيل الدائرة بجهد ثابت. من ناحية أخرى، إذا تم تشغيلها بتيار ثابت، فسيكون هناك حد أقصى للجهد والذي يتبع نفس المنحنى مثل التيار في الدائرة المتسلسلة. ${\displaystyle ~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~}$

المقاومة المتسلسلة مع المحث في دائرة LC متوازية كما هو موضح في الشكل 4 هي طوبولوجيا شائعة الاستخدام حيث توجد حاجة إلى مراعاة مقاومة ملف الملف وسعته الذاتية. تُستخدم دوائر LC المتوازية بشكل متكرر لتصفية النطاق الترددي ويتم التحكم في Q إلى حد كبير بواسطة هذه المقاومة. التردد الرنان لهذه الدائرة هو ^[19]

${\displaystyle \ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-\left({\frac {R}{\ L\ }}\right)^{2}~}}\ .}$

هذا هو التردد الرنيني للدائرة والذي يتم تعريفه على أنه التردد الذي يكون عنده الجزء التخيلي للقبول مساويًا للصفر. التردد الذي يظهر في الشكل المعمم للمعادلة المميزة (وهو نفس التردد لهذه الدائرة كما كان في السابق)

${\displaystyle \ s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0\ }$

ليس نفس التردد. في هذه الحالة يكون التردد الرنان الطبيعي غير المخفف : ^[20]

${\displaystyle \ \omega '_{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {LC~}}\ }}\ .}$

التردد ω _max ، الذي تكون عنده قيمة المعاوقة في أقصى حد لها، يُعطى بواسطة ^[21]

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {max} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{L}^{2}\ ~}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{L}^{2}\ }}~}}~}}\ ,}$

حيث Q _L ≡​ω′ ₀ لتر/ر⁠ هو عامل جودة الملف. ويمكن تقريب ذلك جيدًا من خلال ^[21]

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {max} }\approx \omega '_{0}\ {\sqrt {1-{\frac {1}{\ 2Q_{L}^{4}\ }}~}}\ .}$

علاوة على ذلك، يتم تحديد الحد الأقصى الدقيق لحجم المعاوقة بواسطة ^[21]

${\displaystyle \ |Z|_{\mathrm {max} }={\frac {RQ_{L}^{2}}{\ {\sqrt {2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2\ }}-\left(2Q_{L}^{2}+1\right)~}}\ }}={\frac {RQ_{L}}{\ {\sqrt {2{\sqrt {1+2/Q_{L}^{2}\ }}-\left(2+1/Q_{L}^{2}\right)~}}\ }}\ .}$

يمكن تقريب قيم هذا بشكل جيد من خلال ^[21]${\displaystyle \ Q_{L}\gg 1\ ,}$

${\displaystyle \ |Z|_{\mathrm {max} }\approx RQ_{L}^{2}\ .}$

على نفس المنوال، يمكن استخدام المقاوم المتوازي مع المكثف في دائرة LC متسلسلة لتمثيل مكثف مع عازل ضائع. يظهر هذا التكوين في الشكل 5. التردد الرنان (التردد الذي يكون فيه للمقاومة جزء وهمي يساوي صفر) في هذه الحالة يعطى بواسطة ^[22]

${\displaystyle \ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-{\frac {1}{\ (RC)^{2}\ }}\ }}\ ,}$

في حين أن التردد ω _m الذي تكون فيه قيمة المعاوقة في أدنى حد لها يتم إعطاؤه بواسطة

${\displaystyle \ \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{C}^{2}\ }}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{C}^{2}\ }}\ }}\ }}\ ,}$

حيث Q _C = ω′ ₀ RC .

تم اكتشاف أول دليل على أن المكثف يمكن أن ينتج تذبذبات كهربائية في عام 1826 من قبل العالم الفرنسي فيليكس سافاري . ^{[23] [24]} وجد أنه عندما يتم تفريغ جرة ليدن من خلال سلك ملفوف حول إبرة حديدية، تُترك الإبرة أحيانًا ممغنطة في اتجاه واحد وأحيانًا أخرى في الاتجاه المعاكس. استنتج بشكل صحيح أن هذا كان بسبب تيار تفريغ متذبذب مخمد في السلك، مما عكس مغناطيسية الإبرة ذهابًا وإيابًا حتى أصبح صغيرًا جدًا بحيث لا يكون له تأثير، مما يترك الإبرة ممغنطة في اتجاه عشوائي.

كرر الفيزيائي الأمريكي جوزيف هنري تجربة سافاري في عام 1842 وتوصل إلى نفس النتيجة، بشكل مستقل على ما يبدو. ^{[25] [26]} أظهر العالم البريطاني ويليام طومسون (اللورد كلفن) في عام 1853 رياضيًا أن تفريغ جرة ليدن من خلال المحاثة يجب أن يكون متذبذبًا، واستنتج تردده الرنان. ^{[23] [25] [26]}

قام الباحث البريطاني في مجال الراديو أوليفر لودج ، عن طريق تفريغ بطارية كبيرة من جرار ليدن من خلال سلك طويل، بإنشاء دائرة مضبوطة بتردد رنيني في نطاق الصوت، مما أنتج نغمة موسيقية من الشرارة عند تفريغها. ^[25] في عام 1857، قام الفيزيائي الألماني بيرند فيلهلم فيدرسن بتصوير الشرارة التي تنتجها دائرة جرار ليدن الرنانة في مرآة دوارة، مما يوفر دليلاً مرئيًا على التذبذبات. ^{[23] [25] [26]} في عام 1868، قام الفيزيائي الاسكتلندي جيمس كليرك ماكسويل بحساب تأثير تطبيق تيار متناوب على دائرة ذات محاثة وسعة، مما يدل على أن الاستجابة تكون في أقصى حد عند التردد الرنان. ^[23]

تم نشر أول مثال لمنحنى الرنين الكهربائي في عام 1887 بواسطة الفيزيائي الألماني هاينريش هيرتز في ورقته الرائدة حول اكتشاف الموجات الراديوية، والتي أظهرت طول الشرارة التي يمكن الحصول عليها من أجهزة الكشف عن الرنان LC ذات فجوة الشرارة كدالة للتردد. ^[23]

كانت تجربة "الجرار المتناغمة" التي أجراها لودج حوالي عام 1889 واحدة من أولى التجارب التي أثبتت وجود الرنين بين الدوائر المضبوطة ^{[23] [25].} فقد وضع دائرتين رنينيتين بجوار بعضهما البعض، تتكون كل منهما من جرة ليدن متصلة بملف قابل للتعديل ذي دورة واحدة مع فجوة شرارة. وعندما يتم تطبيق جهد عالٍ من ملف تحريض على إحدى الدوائر المضبوطة، مما يؤدي إلى إنشاء شرارات وبالتالي تيارات متذبذبة، فإن الشرارات لا تثار في الدائرة المضبوطة الأخرى إلا عندما يتم ضبط المحاثات على الرنين. وقد فضل لودج وبعض العلماء الإنجليز مصطلح " التناغم " لهذا التأثير، ولكن مصطلح " الرنين " أصبح ثابتًا في النهاية. ^[23]

كان أول استخدام عملي لدوائر RLC في تسعينيات القرن التاسع عشر في أجهزة إرسال الراديو ذات فجوة الشرارة للسماح بضبط جهاز الاستقبال على جهاز الإرسال. تم تقديم أول براءة اختراع لنظام راديو يسمح بالضبط بواسطة لودج في عام 1897، على الرغم من أن أول أنظمة عملية تم اختراعها في عام 1900 بواسطة رائد الراديو الإنجليزي الإيطالي جولييلمو ماركوني . ^[23]

إن الاستخدام المتكرر جدًا لهذه الدوائر هو في دوائر ضبط أجهزة الراديو التناظرية. يتم تحقيق الضبط القابل للتعديل عادةً باستخدام مكثف متغير ذي لوحين متوازيين يسمح بتغيير قيمة C وضبط المحطات على ترددات مختلفة. بالنسبة لمرحلة التردد المتوسط ​​في الراديو حيث يتم ضبط الضبط مسبقًا في المصنع، فإن الحل الأكثر شيوعًا هو قلب قابل للتعديل في المحث لضبط L. في هذا التصميم، يتم تثبيت القلب (المصنوع من مادة عالية النفاذية لها تأثير زيادة المحاثة) بحيث يمكن تثبيته بشكل أكبر أو تثبيته بشكل أكبر خارج لف المحث حسب الحاجة.

في تطبيق الترشيح، يصبح المقاوم هو الحمل الذي يعمل المرشح فيه. يتم اختيار قيمة عامل التخميد بناءً على النطاق الترددي المطلوب للمرشح. للحصول على نطاق ترددي أوسع، يلزم وجود قيمة أكبر لعامل التخميد (والعكس صحيح). تمنح المكونات الثلاثة المصمم ثلاث درجات من الحرية. مطلوب اثنتان منها لتعيين النطاق الترددي والتردد الرنان. لا يزال لدى المصمم درجة واحدة يمكن استخدامها لقياس R و L و C إلى قيم عملية ملائمة. بدلاً من ذلك، يمكن تحديد R مسبقًا بواسطة الدوائر الخارجية التي ستستخدم آخر درجة من الحرية.

يمكن استخدام دائرة RLC كمرشح تمرير منخفض. يظهر تكوين الدائرة في الشكل 6. يتم إعطاء تردد الزاوية، أي تردد النقطة 3 ديسيبل، بواسطة

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

هذا هو أيضًا عرض النطاق الترددي للمرشح. يتم تحديد عامل التخميد بواسطة ^[27]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.}$

يظهر مرشح الترددات العالية في الشكل 7. التردد الزاوي هو نفس التردد الموجود في مرشح الترددات المنخفضة:

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.}$

يحتوي الفلتر على نطاق توقف بهذا العرض. ^[28]

يمكن تكوين مرشح تمرير النطاق باستخدام دائرة RLC إما عن طريق وضع دائرة LC متسلسلة في سلسلة مع مقاومة الحمل أو عن طريق وضع دائرة LC متوازية بالتوازي مع مقاومة الحمل. يتم عرض هذه الترتيبات في الشكلين 8 و9 على التوالي. يتم إعطاء التردد المركزي بواسطة

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,}$

وعرض النطاق الترددي للدائرة المتسلسلة هو ^[29]

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.}$

تم تصميم إصدار التحويلة من الدائرة ليتم تشغيله بواسطة مصدر عالي المقاومة، أي مصدر تيار ثابت. في ظل هذه الظروف، يكون النطاق الترددي ^[29]

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.}$

يوضح الشكل 10 مرشح إيقاف النطاق الذي يتكون من دائرة LC متسلسلة في تحويلة عبر الحمل. الشكل 11 هو مرشح إيقاف النطاق الذي يتكون من دائرة LC موازية في سلسلة مع الحمل. تتطلب الحالة الأولى مصدرًا عالي المقاومة بحيث يتم تحويل التيار إلى الرنان عندما يصبح منخفض المقاومة عند الرنين. تتطلب الحالة الثانية مصدرًا منخفض المقاومة بحيث ينخفض ​​الجهد عبر الرنان المضاد عندما يصبح عالي المقاومة عند الرنين. ^[30]

بالنسبة للتطبيقات في دوائر المذبذب، من المرغوب فيه عمومًا جعل التوهين (أو ما يعادله، عامل التخميد) صغيرًا قدر الإمكان. في الممارسة العملية، يتطلب هذا الهدف جعل مقاومة الدائرة R صغيرة قدر الإمكان ماديًا لدائرة متسلسلة، أو بدلاً من ذلك زيادة R إلى أقصى حد ممكن لدائرة موازية. في كلتا الحالتين، تصبح دائرة RLC تقريبًا جيدًا لدائرة LC مثالية . ومع ذلك، بالنسبة للدوائر ذات التوهين المنخفض جدًا ( عامل Q مرتفع )، يمكن أن تصبح قضايا مثل الخسائر العازلة للملفات والمكثفات مهمة.

في دائرة المذبذب

${\displaystyle \alpha \ll \omega _{0}\,,}$

أو ما يعادله

${\displaystyle \zeta \ll 1\,.}$

نتيجة ل،

${\displaystyle \omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.}$

في دائرة RLC المتسلسلة عند الرنين، يقتصر التيار فقط على مقاومة الدائرة

${\displaystyle I={\frac {V}{R}}\,.}$

إذا كانت R صغيرة، وتتكون فقط من مقاومة ملف المحث، فإن هذا التيار سيكون كبيرًا. وسوف ينخفض ​​الجهد عبر المحث بمقدار

${\displaystyle V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.}$

كما يمكن رؤية جهد متساوي المقدار عبر المكثف ولكن في طور مضاد للمحث. إذا أمكن جعل R صغيرًا بدرجة كافية، فيمكن أن تكون هذه الفولتات أكبر بعدة مرات من جهد الدخل. نسبة الجهد هي في الواقع Q للدائرة،

${\displaystyle {\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.}$

يمكن ملاحظة تأثير مماثل مع التيارات في الدائرة المتوازية. على الرغم من أن الدائرة تبدو وكأنها ذات معاوقة عالية للمصدر الخارجي، إلا أن هناك تيارًا كبيرًا يدور في الحلقة الداخلية للمحث والمكثف المتوازيين.

يمكن استخدام دائرة RLC المتسلسلة المفرطة التخميد كدائرة تفريغ نبضي. غالبًا ما يكون من المفيد معرفة قيم المكونات التي يمكن استخدامها لإنتاج شكل موجة. يتم وصف ذلك بالشكل

${\displaystyle I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.}$

يمكن أن تتكون هذه الدائرة من مكثف لتخزين الطاقة، وحمل على شكل مقاومة، وبعض محاثة الدائرة ومفتاح - كل ذلك على التوالي. الظروف الأولية هي أن المكثف عند الجهد، V ₀ ، ولا يوجد تيار يتدفق في المحث. إذا كانت المحاثة L معروفة، فإن المعلمات المتبقية تُعطى بالمعادلة التالية - السعة:

${\displaystyle C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,}$

المقاومة (مجموع الدائرة والحمل):

${\displaystyle R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,}$

الجهد الطرفي الأولي للمكثف:

${\displaystyle V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

إعادة الترتيب للحالة التي تكون فيها R معروفة – السعة:

${\displaystyle C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,}$

المحاثة (مجموع الدائرة والحمل):

${\displaystyle L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,}$

الجهد الطرفي الأولي للمكثف:

${\displaystyle V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.}$

• دائرة التحكم عن بعد
• دائرة RL
• الدائرة الخطية

• أجراوال، أنانت؛ لانج، جيفري هـ. (2005). أساسيات الدوائر الإلكترونية التناظرية والرقمية . مورجان كوفمان. ISBN 1-55860-735-8.
• Humar, JL (2002). ديناميكيات الهياكل . تايلور وفرانسيس. ISBN 90-5809-245-3.
• إروين، ج. ديفيد (2006). تحليل الدوائر الهندسية الأساسية . وايلي. ISBN 7-302-13021-3.
• كايزر، كينيث إل. (2004). دليل التوافق الكهرومغناطيسي . مطبعة CRC. رقم ISBN 0-8493-2087-9.
• نيلسون، جيمس ويليام؛ ريدل، سوزان أ. (2008). الدوائر الكهربائية . برنتيس هول. ISBN 978-0-13-198925-2.