ممتص الصدمات

في الأنظمة الفيزيائية ، يُعرف التخميد بأنه فقدان طاقة النظام المتذبذب نتيجةً للتبديد . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ويُعرَّف التخميد بأنه تأثير داخل النظام المتذبذب أو عليه، ويؤدي إلى تقليل تذبذبه أو منعه. ^{[ 3 ]} ومن أمثلة التخميد: التخميد اللزج في السوائل (انظر: السحب اللزج )، والاحتكاك السطحي ، والإشعاع ، ^{[ 1 ]} والمقاومة في المذبذبات الإلكترونية ، وامتصاص الضوء وتشتيته في المذبذبات الضوئية . ويمكن أن يكون التخميد غير القائم على فقدان الطاقة مهمًا في أنظمة متذبذبة أخرى ، مثل تلك الموجودة في الأنظمة البيولوجية والدراجات ^{[ 4 ]} (مثال: نظام التعليق (الميكانيكا) ). ويجب عدم الخلط بين التخميد والاحتكاك ، الذي يُعد نوعًا من القوى المبددة للطاقة المؤثرة على النظام. ويمكن أن يُسبب الاحتكاك التخميد أو يكون أحد عوامله.

تُظهر العديد من الأنظمة سلوكًا تذبذبيًا عند إزاحتها عن وضع اتزانها الساكن . فعلى سبيل المثال، قد ترتد كتلة معلقة بنابض، عند سحبها ثم تركها، صعودًا وهبوطًا. وفي كل ارتداد، يميل النظام إلى العودة إلى وضع اتزانه، ولكنه يتجاوزه. وفي بعض الأحيان، تُخمد بعض العوامل (مثل الاحتكاك) النظام، مما قد يؤدي إلى انخفاض سعة التذبذبات تدريجيًا حتى تقترب من الصفر أو تضعف .

نسبة التخميد هي مقياس لا بعدي ، من بين مقاييس أخرى، يصف مدى تخميد النظام. ويرمز لها بـ ζ (" زيتا ") وتتراوح من غير مخمد ( ζ = 0 )، إلى مخمد بشكل ناقص ( ζ < 1 ) مروراً بالتخميد الحرج ( ζ = 1 ) وصولاً إلى التخميد الزائد ( ζ > 1 ).

يُعدّ سلوك الأنظمة المتذبذبة ذا أهمية بالغة في العديد من التخصصات، بما في ذلك هندسة التحكم ، والهندسة الكيميائية ، والهندسة الميكانيكية ، والهندسة الإنشائية ، والهندسة الكهربائية . وتختلف الكمية الفيزيائية المتذبذبة اختلافًا كبيرًا، فقد تكون تأرجح مبنى شاهق بفعل الرياح، أو سرعة محرك كهربائي ، إلا أن اتباع نهج معياري أو غير بُعدي قد يكون مناسبًا لوصف الجوانب المشتركة للسلوك.

اعتمادًا على مقدار التخميد الموجود، يُظهر النظام سلوكيات وسرعات تذبذبية مختلفة.

• في حالة عدم وجود فقد للطاقة في نظام الكتلة والنابض، ستتذبذب الكتلة إلى ما لا نهاية، مع كل ارتداد بنفس ارتفاع الارتداد السابق. تُسمى هذه الحالة الافتراضية بالحالة غير المخمدة .
• إذا احتوى النظام على خسائر عالية، على سبيل المثال إذا أُجريت تجربة الكتلة والنابض في سائل لزج ، فقد تعود الكتلة ببطء إلى موضع سكونها دون تجاوزه. تُسمى هذه الحالة بالتخميد الزائد .
• في العادة، تميل الكتلة إلى تجاوز موضعها الابتدائي، ثم تعود، لتتجاوزه مرة أخرى. مع كل تجاوز، يتبدد جزء من طاقة النظام، وتتلاشى التذبذبات تدريجياً حتى تقترب من الصفر. تُسمى هذه الحالة بالتخميد الناقص.
• بين حالتي التخميد الزائد والتخميد الناقص، يوجد مستوى معين من التخميد لا يتجاوز عنده النظام قيمة معينة ولا يُحدث أي تذبذب. تُسمى هذه الحالة بالتخميد الحرج . والفرق الرئيسي بين التخميد الحرج والتخميد الزائد هو أن النظام في حالة التخميد الحرج يعود إلى حالة التوازن في أقل وقت ممكن. ^{[ 5 ]}

الموجة الجيبية المخمدة هي دالة جيبية تقترب سعتها من الصفر مع مرور الوقت. وهي تُقابل حالة التخميد الناقص في الأنظمة المخمدة من الرتبة الثانية، أو المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية ذات التخميد الناقص. [6] تُستخدم الموجات الجيبية المخمدة بكثرة في العلوم والهندسة ^{، حيث يفقد} المذبذب التوافقي الطاقة بمعدل أسرع من معدل تزويده بها. تبدأ الموجة الجيبية الحقيقية عند الزمن = 0 من نقطة الأصل (السعة = 0). أما موجة جيب التمام فتبدأ من قيمتها القصوى نظرًا لاختلاف طورها عن الموجة الجيبية. قد يكون لشكل الموجة الجيبية طور وسيط، أي أنه يحتوي على مركبتي الجيب وجيب التمام. يُستخدم مصطلح "الموجة الجيبية المخمدة" لوصف جميع أشكال الموجات المخمدة، بغض النظر عن طورها الابتدائي.

الشكل الأكثر شيوعًا للتخميد، والذي يُفترض عادةً، هو الشكل الموجود في الأنظمة الخطية. هذا الشكل هو التخميد الأسي، حيث يكون الغلاف الخارجي للقمم المتتالية منحنى اضمحلال أسي. أي أنه عند توصيل النقاط القصوى لكل منحنى متتالي، تشبه النتيجة دالة اضمحلال أسي. يمكن تمثيل المعادلة العامة لموجة جيبية مخمدة أسيًا كما يلي: $${\displaystyle y(t)=Ae^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi )}$$ أين:

• ${\displaystyle y(t)}$هي السعة اللحظية عند الزمن t ؛
• ${\displaystyle A}$هي السعة الأولية للغلاف؛
• ${\displaystyle \lambda }$معدل التحلل، في مقلوب وحدات الزمن للمتغير المستقل t ؛
• ${\displaystyle \varphi }$هي زاوية الطور عند t = 0 ؛
• ${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي .

وتشمل المعايير المهمة الأخرى ما يلي:

• تكرار :${\displaystyle f=\أوميغا /(2\pi )}$، وهو عدد الدورات لكل وحدة زمنية. ويُعبَّر عنه بوحدات زمنية عكسية.${\displaystyle t^{-1}}$أو هرتز .
• ثابت الزمن :${\displaystyle \tau =1/\lambda }$، الوقت اللازم لانخفاض السعة بمعامل e .
• نصف العمر هو الوقت اللازم لانخفاض غلاف السعة الأسية بمقدار النصف. وهو يساوي${\displaystyle \ln(2)/\لامدا }$وهو ما يقارب${\displaystyle 0.693/\لامدا }$.
• نسبة التخميد:${\displaystyle \zeta }$هو وصف غير بُعدي لمعدل الاضمحلال بالنسبة للتردد، تقريبًا${\displaystyle \zeta =\lambda /\omega }$أو بالضبط${\displaystyle \zeta =\lambda /{\sqrt {\lambda ^{2}+\omega ^{2}}<1}$.
• عامل الجودة (Q) :${\displaystyle Q=1/(2\zeta )}$يُعدّ Q توصيفًا آخر غير بُعدي لمقدار التخميد؛ يشير Q العالي إلى تخميد بطيء بالنسبة للتذبذب.

نسبة التخميد هي مُعامل لا بُعدي، يُرمز له عادةً بالرمز ζ (الحرف اليوناني زيتا)، ^{[ 7 ]} وهو يُحدد مدى التخميد في معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية . وهي ذات أهمية خاصة في دراسة نظرية التحكم ، كما أنها مهمة في المذبذب التوافقي . كلما زادت نسبة التخميد، زاد تخميد النظام.

• تتمتع الأنظمة غير المخمدة بنسبة تخميد تساوي صفرًا.
• تتمتع الأنظمة ذات التخميد المنخفض بقيمة أقل من واحد.
• تتمتع الأنظمة ذات التخميد الحرج بنسبة تخميد تبلغ 1.
• تتميز الأنظمة ذات التخميد الزائد بنسبة تخميد أكبر من 1.

تعبر نسبة التخميد عن مستوى التخميد في النظام بالنسبة للتخميد الحرج، ويمكن تعريفها باستخدام معامل التخميد:

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}}={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},}$

نسبة التخميد لا أبعاد لها، فهي نسبة معاملين لهما نفس الوحدات.

لنأخذ مثالاً بسيطاً لنموذج كتلة-نابض-مخمد بكتلة m ومعامل تخميد c وثابت نابض k ، حيث${\displaystyle x}$يمثل درجة الحرية ، ومعادلة حركة النظام معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$[ ^{8 ]​}

معامل التخميد الحرج المقابل هو:${\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}$

والتردد الطبيعي للنظام هو:${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

باستخدام هذه التعريفات، يمكن التعبير عن معادلة الحركة على النحو التالي:

${\displaystyle {\ddot {x}}+2\zeta \omega _{n}{\dot {x}}+\omega _{n}^{2}x=0.}$

هذه المعادلة أعمّ من مجرد نظام الكتلة والنابض والمخمد، وهي تنطبق على الدوائر الكهربائية ومجالات أخرى. ويمكن حلها باستخدام هذا النهج.

${\displaystyle x(t)=Ce^{st},}$

حيث C و s كلاهما ثوابت مركبة ، مع s التي تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right).}$

يمكن دمج حلين من هذا القبيل، لقيمتي s اللتين تحققان المعادلة، لتكوين الحلول الحقيقية العامة، ذات الخصائص التذبذبية والمتناقصة في عدة أنظمة:

غير مخمد

هل هذا هو الحال حيث${\displaystyle \zeta =0}$يتوافق ذلك مع المذبذب التوافقي البسيط غير المخمد، وفي هذه الحالة يبدو الحل كما يلي${\displaystyle \exp(i\omega _{n}t)}$كما هو متوقع. هذه الحالة نادرة للغاية في العالم الطبيعي، وأقرب الأمثلة عليها هي الحالات التي تم فيها تقليل الاحتكاك عمداً إلى أدنى حد ممكن.

مخمد

إذا كان s زوجًا من القيم المركبة، فإن كل حد من حدود الحل المركب يكون دالة أسية متناقصة مقترنة بجزء متذبذب يبدو كالتالي:${\textstyle \exp \left(i\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}t\right)}$تحدث هذه الحالة لـ${\displaystyle \ 0\leq \zeta <1}$, and is referred to as underdamped (e.g., bungee cable).

Overdamped

If s is a pair of real values, then the solution is simply a sum of two decaying exponentials with no oscillation. This case occurs for ${\displaystyle \zeta >1}$, and is referred to as overdamped. Situations where overdamping is practical tend to have tragic outcomes if overshooting occurs, usually electrical rather than mechanical. For example, landing a plane in autopilot: if the system overshoots and releases landing gear too late, the outcome would be a disaster.

Critically damped

The case where ${\displaystyle \zeta =1}$ is the border between the overdamped and underdamped cases, and is referred to as critically damped. This turns out to be a desirable outcome in many cases where engineering design of a damped oscillator is required (e.g., a door closing mechanism).

The Q factor, damping ratio ζ, and exponential decay rate α are related such that^[9]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}.}$

When a second-order system has ${\displaystyle \zeta <1}$ (that is, when the system is underdamped), it has two complex conjugate poles that each have a real part of ${\displaystyle -\alpha }$; that is, the decay rate parameter represents the rate of exponential decay of the oscillations. A lower damping ratio implies a lower decay rate, and so very underdamped systems oscillate for long times.^[10] For example, a high quality tuning fork, which has a very low damping ratio, has an oscillation that lasts a long time, decaying very slowly after being struck by a hammer.

For underdamped vibrations, the damping ratio is also related to the logarithmic decrement${\displaystyle \delta }$. The damping ratio can be found for any two peaks, even if they are not adjacent.^[11] For adjacent peaks:^[12]

${\displaystyle \zeta ={\frac {\delta }{\sqrt {\delta ^{2}+\left(2\pi \right)^{2}}}}}$ where ${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{0}}{x_{1}}}}$

where x₀ and x₁ are amplitudes of any two successive peaks.

As shown in the right figure:

${\displaystyle \delta =\ln {\frac {x_{1}}{x_{3}}}=\ln {\frac {x_{2}}{x_{4}}}=\ln {\frac {x_{1}-x_{2}}{x_{3}-x_{4}}}}$

where ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{3}}$ are amplitudes of two successive positive peaks and ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle x_{4}}$ are amplitudes of two successive negative peaks.

In control theory, overshoot refers to an output exceeding its final, steady-state value.^[13] For a step input, the percentage overshoot (PO) is the maximum value minus the step value divided by the step value. In the case of the unit step, the overshoot is just the maximum value of the step response minus one.

The percentage overshoot (PO) is related to damping ratio (ζ) by:

${\displaystyle \mathrm {PO} =100\exp \left({-{\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}\right)}$

Conversely, the damping ratio (ζ) that yields a given percentage overshoot is given by:

${\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {\rm {PO}}{100}}\right)}}}}$