قانون هوك

لنفترض وجود نابض حلزوني بسيط ، أحد طرفيه متصل بجسم ثابت، بينما يتعرض الطرف الحر لقوة مقدارها F_{_s} . لنفترض أن النابض قد وصل إلى حالة اتزان ، حيث لم يعد طوله يتغير. ليكن x مقدار إزاحة الطرف الحر للنابض عن وضعه "المسترخي" (عندما لا يكون مشدودًا). ​​ينص قانون هوك على أن$${\displaystyle F_{s}=kx}$$أو، على نحو مماثل،$${\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}}$$ حيث k عدد حقيقي موجب، وهو خاصية مميزة للنابض. يمكن ضغط النابض ذي المسافات بين اللفات، وينطبق نفس القانون على الضغط، حيث تكون كل من F _s و x سالبتين في هذه الحالة. ^{[ 4 ]}

وفقًا لهذه الصيغة، سيكون الرسم البياني للقوة المطبقة F _s كدالة للإزاحة x عبارة عن خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل ، وميله k .

ينص قانون هوك للنابض أيضًا على أن F _{_s} هي قوة الإرجاع التي يبذلها النابض على أي شيء يسحب طرفه الحر. في هذه الحالة، تصبح المعادلة$${\displaystyle F_{s}=-kx}$$لأن اتجاه قوة الاستعادة يكون معاكساً لاتجاه الإزاحة.

ينطبق نظير قانون هوك الالتوائي على النوابض الالتوائية . وينص على أن عزم الدوران (τ) اللازم لتدوير جسم ما يتناسب طرديًا مع الإزاحة الزاوية (θ) عن وضع الاتزان. ويصف هذا القانون العلاقة بين عزم الدوران المطبق على الجسم والتشوه الزاوي الناتج عن الالتواء. ويمكن التعبير عنه رياضيًا كما يلي:

${\displaystyle \tau =-k\theta }$

أين:

• τ هو عزم الدوران المقاس بوحدة نيوتن متر أو N·m.
• k هو ثابت الالتواء (يقاس بوحدة نيوتن متر/راديان)، والذي يميز صلابة زنبرك الالتواء أو مقاومة الإزاحة الزاوية.
• θ هي الإزاحة الزاوية (مقاسة بالراديان) من وضع التوازن.

وكما هو الحال في الحالة الخطية، يوضح هذا القانون أن عزم الدوران يتناسب مع الإزاحة الزاوية، وتشير الإشارة السالبة إلى أن عزم الدوران يعمل في اتجاه معاكس للإزاحة الزاوية، مما يوفر قوة استعادة لإعادة النظام إلى حالة التوازن.

ينطبق قانون هوك للزنبرك عادةً على أي جسم مرن، مهما بلغت درجة تعقيده، طالما يمكن التعبير عن كل من التشوه والإجهاد برقم واحد يمكن أن يكون موجبًا وسالبًا.

على سبيل المثال، عندما تتشوه كتلة من المطاط متصلة بلوحين متوازيين عن طريق القص ، بدلاً من التمدد أو الضغط، فإن قوة القص F _s والإزاحة الجانبية للوحين x تخضع لقانون هوك (للتشوهات الصغيرة بما فيه الكفاية).

ينطبق قانون هوك أيضًا عندما ينحني قضيب فولاذي مستقيم أو عارضة خرسانية (مثل تلك المستخدمة في المباني)، مدعومة من كلا الطرفين، بفعل وزن F موضوع عند نقطة وسطية. الإزاحة x في هذه الحالة هي انحراف العارضة، مقاسة في الاتجاه العرضي، بالنسبة إلى شكلها غير المحمل.

في حالة الزنبرك الحلزوني الذي يتعرض للشد أو الانضغاط على طول محوره ، يكون اتجاه القوة المؤثرة (أو قوة الاستعادة) والاستطالة أو الانضغاط الناتج متطابقًا (وهو اتجاه المحور المذكور). لذلك، إذا عُرِّفت F _{_s} و x كمتجهين ، فإن معادلة هوك تظل صحيحة، وتنص على أن متجه القوة هو متجه الاستطالة مضروبًا في قيمة عددية ثابتة .

تتشوه بعض الأجسام المرنة في اتجاه واحد عند تعرضها لقوة ذات اتجاه مختلف. ومن الأمثلة على ذلك عارضة خشبية أفقية ذات مقطع عرضي مستطيل غير مربع، تنحني بفعل حمل عرضي ليس رأسيًا ولا أفقيًا. في مثل هذه الحالات، يتناسب مقدار الإزاحة x طرديًا مع مقدار القوة F_{_s} ، طالما بقي اتجاه القوة ثابتًا (وكانت قيمتها ليست كبيرة جدًا)؛ وبالتالي، ينطبق قانون هوك القياسي F _{_s} = −kx . مع ذلك، لن يكون متجهي القوة والإزاحة مضاعفين قياسيين لبعضهما البعض، نظرًا لاختلاف اتجاهيهما. علاوة على ذلك، تعتمد النسبة k بين مقداريهما على اتجاه المتجه F_{_s} .

مع ذلك، في مثل هذه الحالات، غالبًا ما توجد علاقة خطية ثابتة بين متجهي القوة والتشوه، طالما كانا صغيرين بما يكفي. أي، توجد دالة _κ من متجهات إلى متجهات، بحيث F = κ ( X ) ، و κ ( αX₁ + βX₂ ) = ακ ( X₁ ) + βκ ( X₂ ) لأي عددين حقيقيين α _و β وأي متجهي إزاحة _{X₁ و} X₂ _. تُسمى هذه الدالة موترًا ( من الرتبة الثانية ₎ .

بالنسبة لنظام إحداثيات ديكارتية عشوائي ، يمكن تمثيل متجهي القوة والإزاحة بمصفوفات  من الأعداد الحقيقية بحجم 3 ×  1. وبالتالي، يمكن تمثيل الموتر κ الذي يربط بينهما بمصفوفة κ من المعاملات الحقيقية بحجم 3 × 3 ، والتي عند ضربها في متجه الإزاحة، تعطي متجه القوة.  

$$\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa_{11}&\kappa_{12}&\kappa_{13}\\\kappa_{21}&\kappa_{22}&\kappa_{23}\\\kappa_{31}&\kappa_{32}&\kappa_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol{\kappa}}\mathbf{X}}$$

إنه،$${\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}}$$بالنسبة لـ i = 1، 2، 3. لذلك، يمكن القول أن قانون هوك F = κ X ينطبق أيضًا عندما يكون X و F متجهين باتجاهات متغيرة، باستثناء أن صلابة الجسم هي موتر κ ، بدلاً من عدد حقيقي واحد k .

ترتبط الإجهادات والانفعالات للمادة داخل مادة مرنة مستمرة (مثل كتلة من المطاط، أو جدار غلاية ، أو قضيب فولاذي) بعلاقة خطية تشبه رياضياً قانون هوك للزنبرك، وغالباً ما يشار إليها بهذا الاسم.

مع ذلك، لا يمكن وصف حالة الإجهاد في وسط صلب حول نقطة ما بمتجه واحد. إذ يمكن ضغط نفس كتلة المادة، مهما صغر حجمها، وتمديدها وقصها في آن واحد، على امتداد اتجاهات مختلفة. وبالمثل، يمكن أن تكون الإجهادات في تلك الكتلة إجهادات دفع وسحب وقص في الوقت نفسه.

من أجل استيعاب هذا التعقيد، يجب تمثيل الحالة ذات الصلة للوسط حول نقطة ما بواسطة موترين من الرتبة الثانية، وهما موتر الانفعال ε (بدلاً من الإزاحة X ) وموتر الإجهاد σ (بدلاً من قوة الاستعادة F ). ويكون نظير قانون هوك للزنبرك للأوساط المتصلة كما يلي:$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},}$$حيث c هو موتر من الرتبة الرابعة (أي دالة خطية بين موترات من الرتبة الثانية) ويُسمى عادةً موتر الصلابة أو موتر المرونة . ويمكن كتابته أيضًا على النحو التالي:$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},}$$حيث يمثل الموتر s ، المسمى موتر الامتثال ، معكوس الخريطة الخطية المذكورة.

في نظام الإحداثيات الديكارتية، يمكن تمثيل موترات الإجهاد والانفعال بمصفوفات 3  ×  3.

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _ {31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\سيجما _{23}\\\سيجما _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

بما أن موتر الصلابة c عبارة عن دالة خطية بين الأعداد التسعة σ _ij والأعداد التسعة ε _kl ، فإنه يُمثَّل بمصفوفة من 81 عددًا حقيقيًا c _ijkl بأبعاد 3 × 3 × 3 × 3 = 3. وينص قانون هوك على أن $${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$$ حيث i و j = 1 و 2 و 3 .

تتغير قيم الموترات الثلاثة عمومًا من نقطة إلى أخرى داخل الوسط، وقد تتغير مع الزمن أيضًا. يحدد موتر الانفعال ε إزاحة جزيئات الوسط في جوار النقطة، بينما يحدد موتر الإجهاد σ القوى التي تؤثر بها أجزاء الوسط المتجاورة على بعضها البعض. ولذلك، فهي مستقلة عن تركيب المادة وحالتها الفيزيائية. أما موتر الصلابة c ، فهو خاصية من خواص المادة، وغالبًا ما يعتمد على متغيرات الحالة الفيزيائية مثل درجة الحرارة والضغط والبنية المجهرية .

بسبب التناظرات المتأصلة في σ و ε و c ، فإن 21 معامل مرونة فقط من معاملات c مستقلة. ^{[ 6 ]} ويمكن تقليل هذا العدد أكثر بحسب تناظر المادة: 9 للبلورة المعينية القائمة ، و5 للبنية السداسية ، و3 للتناظر المكعب . ^{[ 7 ]} بالنسبة للأوساط المتجانسة (التي لها نفس الخصائص الفيزيائية في جميع الاتجاهات)، يمكن اختزال c إلى رقمين مستقلين فقط، هما معامل الحجم K ومعامل القص G ، اللذان يحددان مقاومة المادة للتغيرات في الحجم ولتشوهات القص، على التوالي.

يمكن اعتبار قضيب مصنوع من أي مادة مرنة بمثابة نابض خطي . يبلغ طول القضيب L ومساحة مقطعه العرضي A. يتناسب إجهاد الشد σ خطيًا مع نسبة استطالته أو انفعاله ε بواسطة معامل المرونة E.$${\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}$$

يمكن اعتبار معامل المرونة ثابتًا في كثير من الأحيان. وبالتالي، $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$$ (أي التغير النسبي في الطول)، وبما $${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,}$$ ويترتب على ذلك ما يلي:

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.}$$

يمكن التعبير عن التغير في الطول على النحو التالي:

$${\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.}$$

تُعطى طاقة الوضع U _el ( x ) المخزنة في نابض بالعلاقة التالية:$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$$ينتج ذلك عن جمع الطاقة اللازمة لضغط الزنبرك تدريجيًا. أي تكامل القوة على الإزاحة. وبما أن القوة الخارجية لها نفس الاتجاه العام للإزاحة، فإن طاقة الوضع للزنبرك تكون دائمًا غير سالبة. بالتعويض${\displaystyle x=F/k}$أعطِ$${\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.}$$

يمكن تصور طاقة الوضع الكامنة U _{_el} على شكل قطع مكافئ في المستوى Ux بحيث U _{_el} ( x ) = ½ kx² ^. عند شد الزنبرك في الاتجاه الموجب لمحور x ، تزداد طاقة الوضع بشكل مكافئ (يحدث الشيء نفسه عند ضغط الزنبرك). وبما أن تغير طاقة الوضع يتغير بمعدل ثابت: $${\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.}$$ لاحظ أن التغير في التغير في U ثابت حتى عندما تكون الإزاحة والتسارع صفراً.

تُعرَّف ثوابت القوة المُرخاة (معكوس ثوابت الامتثال المُعمَّمة ) تعريفًا فريدًا للأنظمة الجزيئية، على عكس ثوابت القوة "الصلبة" المعتادة، وبالتالي يسمح استخدامها بإجراء ارتباطات ذات دلالة بين مجالات القوة المحسوبة للمتفاعلات ، والحالات الانتقالية ، ونواتج التفاعل الكيميائي . وكما يمكن كتابة طاقة الوضع بصيغة تربيعية في الإحداثيات الداخلية، يمكن كتابتها أيضًا بدلالة القوى المُعمَّمة. تُسمى المعاملات الناتجة بثوابت الامتثال . توجد طريقة مباشرة لحساب ثابت الامتثال لأي إحداثية داخلية لجزيء، دون الحاجة إلى إجراء تحليل الأنماط الطبيعية. ^{[ 8 ]} وقد تم إثبات ملاءمة ثوابت القوة المُرخاة (معكوس ثوابت الامتثال) كمؤشرات لقوة الروابط التساهمية في وقت مبكر من عام 1980. ومؤخرًا، تم إثبات ملاءمتها أيضًا كمؤشرات لقوة الروابط غير التساهمية. ^{[ 9 ]}

كتلة m متصلة بنهاية نابض هي مثال كلاسيكي للمذبذب التوافقي . بسحب الكتلة قليلاً ثم تركها، يتحرك النظام حركة تذبذبية جيبية حول موضع الاتزان. وبقدر ما يخضع النابض لقانون هوك، وبإمكاننا إهمال الاحتكاك وكتلة النابض، فإن سعة التذبذب ستبقى ثابتة؛ وسيكون تردده f مستقلاً عن سعته، ويتحدد فقط بكتلة النابض وصلابته. $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$ أتاحت هذه الظاهرة إمكانية صنع ساعات ميكانيكية دقيقة يمكن حملها على متن السفن وفي جيوب الناس.

إذا تم ربط الكتلة m بنابض ذي ثابت قوة k (طوله الطبيعي أقل بكثير مقارنة بنصف قطر الدائرة) وتدور في الفضاء الحر، فإن شد النابض ( F _t ) سيوفر القوة المركزية المطلوبة ( F _c ):

$${\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r}$$ بما أن F _t = F _c و x = r ، فإن: $${\displaystyle k=m\omega ^{2}}$$ بافتراض أن ω = 2π f ، فإن هذا يؤدي إلى نفس معادلة التردد المذكورة أعلاه: $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$$

تتميز المواد المتجانسة بخصائص مستقلة عن الاتجاه في الفضاء. لذا، يجب أن تكون المعادلات الفيزيائية التي تتضمن مواد متجانسة مستقلة عن نظام الإحداثيات المُختار لتمثيلها. موتر الإجهاد هو موتر متناظر. وبما أن أثر أي موتر مستقل عن أي نظام إحداثيات، فإن أكثر تحليل كامل للموتر المتناظر، دون الاعتماد على الإحداثيات، هو تمثيله كمجموع موتر ثابت وموتر متناظر عديم الأثر. ^{[ 10 ]} وبالتالي، في تدوين الفهرس :

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)}$$ حيث δ _ij هي دالة كرونكر دلتا . في تدوين الموتر المباشر: $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$

حيث I هو موتر الهوية من الدرجة الثانية.

الحد الأول على اليمين هو الموتر الثابت، والمعروف أيضًا باسم موتر الإجهاد الحجمي ، والحد الثاني هو الموتر المتناظر عديم الأثر، والمعروف أيضًا باسم موتر الإجهاد الانحرافي أو موتر القص.

يمكن الآن كتابة الصيغة الأكثر عمومية لقانون هوك للمواد المتجانسة على شكل توليفة خطية من هذين الموترين:

$${\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$ حيث K هو معامل الحجم و G هو معامل القص .

باستخدام العلاقات بين معاملات المرونة ، يمكن التعبير عن هذه المعادلات بطرق أخرى متنوعة. أحد الأشكال الشائعة لقانون هوك للمواد المتجانسة، والمعبر عنه بصيغة الموتر المباشر، هو ^{[ 11 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}}$ حيث λ = K − 2 / 3 G = c ₁₁₁₁ − 2 c ₁₂₁₂ و μ = G = c ₁₂₁₂ هي ثوابت لاميه ، و I هو موتر الوحدة من الرتبة الثانية، و I هو الجزء المتناظر من موتر الوحدة من الرتبة الرابعة. في تدوين الفهرس: $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$$

العلاقة العكسية هي ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$

لذلك، فإن موتر الامتثال في العلاقة ε = s  : σ هو

$${\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}$$

يمكن التعبير عن قانون هوك للمواد المتجانسة بدلالة معامل يونغ ونسبة بواسون على النحو التالي:

$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }$$

هذا هو الشكل الذي يُعبَّر به عن الانفعال بدلالة موتر الإجهاد في الهندسة. والتعبير في صورته الموسعة هو $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}$$ حيث E هو معامل يونغ و ν هو نسبة بواسون . (انظر المرونة ثلاثية الأبعاد ).

يمكن كتابة قانون هوك للمواد المتجانسة في شكل مصفوفة على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}$$ حيث γ _ij = 2 ε _ij هو إجهاد القص الهندسي . ويمكن كتابة العلاقة العكسية على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$ والتي يمكن تبسيطها بفضل ثوابت لاميه: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$$ في تدوين المتجهات يصبح هذا $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}$$ حيث I هو موتر الهوية.

تُشير تناظرية موتر إجهاد كوشي ( σ _{_ij} = σ_{_ji}) وقوانين هوك المُعممة ( σ _{_ij} = c _{_ijkl} ε _{_kl} ) إلى أن c _{_ijkl} = c _{_jikl} . وبالمثل، تُشير تناظرية موتر الانفعال المتناهي الصغر إلى أن c _{_ijkl} = c _{_ijlk} . تُسمى هذه التناظرات بالتناظرات الصغرى لموتر الصلابة c . ويُؤدي ذلك إلى تقليل عدد الثوابت المرنة من 81 إلى 36.

وإذا كان من الممكن، بالإضافة إلى ذلك، اشتقاق علاقة الإجهاد والانفعال من دالة كثافة طاقة الانفعال ( U )، نظرًا لأن تدرج الإزاحة وإجهاد كوشي مترافقان في الشغل، فإن $${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}$$ إن عشوائية ترتيب التفاضل تعني أن c _{_ijkl} = c _{_klij} . تُسمى هذه التناظرات بالتناظرات الرئيسية لموتر الصلابة. هذا يُقلل عدد الثوابت المرنة من 36 إلى 21. تُشير التناظرات الرئيسية والثانوية إلى أن موتر الصلابة يحتوي على 21 مُركبة مستقلة فقط.