معامل الحجم

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة
توضيح للضغط المنتظم

معامل الحجم (ك{\displaystyle K}أوب{\displaystyle B}أوك{\displaystyle k}يُعدّ معامل المرونة (μ) للمادة مقياسًا لمقاومة المادة للانضغاط الكلي . ويُعرَّف بأنه نسبة الزيادة الطفيفة في الضغط إلى الانخفاض النسبي الناتج في الحجم . [ 1 ]

تصف معاملات أخرى استجابة المادة ( انفعالها ) لأنواع أخرى من الإجهاد : معامل القص يصف الاستجابة لإجهاد القص ، ومعامل يونغ يصف الاستجابة للإجهاد العمودي (التمدد الطولي). بالنسبة للسوائل ، يكون معامل الحجم فقط ذا دلالة. أما بالنسبة للمواد الصلبة المعقدة غير المتجانسة ، مثل الخشب أو الورق ، فإن هذه المعاملات الثلاثة لا تحتوي على معلومات كافية لوصف سلوكها، ويجب استخدام قانون هوك المعمم بالكامل . يُطلق على مقلوب معامل الحجم عند درجة حرارة ثابتة اسم الانضغاطية المتساوية الحرارة .

تعريف

معامل الحجمك{\displaystyle K}(والتي عادة ما تكون موجبة) يمكن تعريفها رسميًا بالمعادلة

ك=-VدPدV،{\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}},}

أينP{\displaystyle P}هو الضغط،V{\displaystyle V}يمثل الحجم الأولي للمادة، ودP/دV{\displaystyle dP/dV}يرمز إلى مشتق الضغط بالنسبة للحجم. وبما أن الحجم يتناسب عكسياً مع الكثافة، فإنه يترتب على ذلك أن

ك=ρدPدρ،{\displaystyle K=\rho {\frac {dP}{d\rho }},}

أينρ{\displaystyle \rho }هي الكثافة الأولية ودP/دρ{\displaystyle dP/d\rho }يرمز إلى مشتق الضغط بالنسبة للكثافة. ويعطي مقلوب معامل الحجم انضغاطية المادة . يُعرَّف معامل الحجم عمومًا عند درجة حرارة ثابتة بمعامل الحجم المتساوي الحرارة، ولكن يمكن تعريفه أيضًا عند إنتروبيا ثابتة بمعامل الحجم الأديباتي .

العلاقة الديناميكية الحرارية

بالمعنى الدقيق، يُعد معامل الحجم كمية ديناميكية حرارية ، ولتحديد معامل الحجم، من الضروري تحديد كيفية تغير الضغط أثناء الانضغاط: عند ثبات درجة الحرارة (متساوي الحرارة).كتي{\displaystyle K_{T}})، ثابت الإنتروبيا ( متساوي الإنتروبيا)كS{\displaystyle K_{S}}وهناك اختلافات أخرى ممكنة. وتكتسب هذه الفروقات أهمية خاصة بالنسبة للغازات .

بالنسبة للغاز المثالي ، فإن العملية المتساوية الإنتروبيا لها ما يلي:

PVγ=ثابت⇒P∝(1V)γ∝ργ،{\displaystyle PV^{\gamma}={\text{constant}}\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma },}

أينγ{\displaystyle \gamma }هي نسبة السعة الحرارية . وبالتالي، فإن معامل الحجم المتساوي الإنتروبياكS{\displaystyle K_{S}}يُعطى بواسطة

كS=γP.{\displaystyle K_{S}=\gamma P.}

وبالمثل، فإن العملية متساوية الحرارة للغاز المثالي لها ما يلي:

PV=ثابت⇒P∝1V∝ρ،{\displaystyle PV={\text{constant}}\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}

لذلك، فإن معامل الحجم المتساوي الحرارةكتي{\displaystyle K_{T}}يُعطى بواسطة

كتي=P{\displaystyle K_{T}=P}.

عندما لا يكون الغاز مثاليًا، فإن هذه المعادلات تعطي تقريبًا فقط لمعامل المرونة الحجمية. في السوائل، يكون معامل المرونة الحجميةك{\displaystyle K}والكثافة​ρ{\displaystyle \rho }تحديد سرعة الصوتج{\displaystyle c}( موجات الضغط )، وفقًا لصيغة نيوتن-لابلاس

ج=كSρ.{\displaystyle c={\sqrt {\frac {K_{S}}{\rho }}}.}

في المواد الصلبة،كS{\displaystyle K_{S}}وكتي{\displaystyle K_{T}}لها قيم متشابهة للغاية. يمكن للمواد الصلبة أيضًا تحمل الموجات المستعرضة : بالنسبة لهذه المواد، يلزم معامل مرونة إضافي ، على سبيل المثال معامل القص، لتحديد سرعات الموجة.

قياس

من الممكن قياس معامل الحجم باستخدام حيود المساحيق تحت ضغط مطبق [ 2 ] أو عند درجات حرارة مرتفعة، [ 3 ] وكذلك باستخدام طرق أخرى للسوائل، [ 4 ] والمطاط، [ 5 ] والمعادن مثل الأوليفين، [ 6 ] باستخدام الحسابات النظرية، [ 7 ] وحتى المواد الحبيبية مثل حبيبات الرمل. [ 8 ]

القيم المختارة

معامل الحجم التقريبي ( K ) للمواد الشائعة
مادةمعامل الحجم بوحدة جيجا باسكالمعامل الحجم بوحدة ميجا باسكال
الماس (بدقة 4K) [ 9 ]44364
الألومينا (طور غاما) [ 10 ]162 ± 1423.5
فُولاَذ16023.2
الحجر الجيري659.4
جرانيت507.3
الزجاج (انظر أيضًا الرسم البياني أسفل الجدول)من 35 إلى555.8
جرافيت 2H ( بلورة مفردة ) [ 11 ]344.9
كلوريد الصوديوم24.423.542
الصخر الزيتي101.5
طباشير91.3
المطاط [ 12 ]من 1.5 إلى2من 0.22 إلى0.29
الحجر الرملي0.70.1
تأثيرات إضافات مكونات زجاجية مختارة على معامل الحجم لزجاج أساسي محدد. [ 13 ]

تفقد مادة ذات معامل حجمي يبلغ 35  جيجا باسكال واحدًا بالمائة من حجمها عند تعرضها لضغط خارجي قدره 0.35  جيجا باسكال (~3500  بار ) (بافتراض معامل حجم ثابت أو يعتمد بشكل ضعيف على الضغط).

معامل الحجم التقريبي ( K ) للمواد الأخرى
نتريد الكربون بيتا427 ± 15  جيجا باسكال [ 14 ] (متوقع)
البلوتونيوممن 72.9 جيجا باسكال عند درجة حرارة 0 كلفن، إلى 54.4 جيجا باسكال عند 300 كلفن [ 15 ] . تحت ضغوط عالية (>40 جيجا باسكال)، يخضع لتحول طوري بنيوي ، وينخفض ​​معامل الحجم إلى 43 جيجا باسكال.
ماء2.2  جيجا باسكال (0.32  ميجا باسكال ) (تزداد القيمة عند الضغوط العالية)
الميثانول823  ميجا باسكال (عند 20  درجة مئوية وضغط جوي واحد)
الهيليوم الصلب50  ميجا باسكال (تقريبًا)
هواء142  كيلو باسكال (معامل الحجم الأديباتي [أو معامل الحجم المتساوي الإنتروبيا ])
هواء101  كيلو باسكال (معامل الحجم متساوي الحرارة)

أصل مجهري

الجهد بين الذرات والمرونة الخطية

يُظهر الشكل الأيسر الجهد بين الذرات وموضع التوازن، بينما يُظهر الشكل الأيمن القوة
الجهد والقوة بين الذرات

بما أن المرونة الخطية هي نتيجة مباشرة للتفاعل بين الذرات، فهي مرتبطة بتمدد/انضغاط الروابط. ويمكن اشتقاقها من طاقة الوضع بين الذرات في المواد البلورية. [ 16 ] لنبدأ بدراسة طاقة الوضع لذرتين متفاعلتين. عند بدء التفاعل من نقطتين بعيدتين جدًا، ستشعر الذرتان بجاذبية تجاه بعضهما البعض. ومع اقترابهما من بعضهما، تتناقص طاقة وضعهما. من ناحية أخرى، عندما تكون الذرتان متقاربتين جدًا، تكون طاقتهما الكلية عالية جدًا نتيجة للتنافر. تضمن هذه الطاقات مجتمعةً مسافة بين الذرات تحقق أدنى مستوى من الطاقة. ويحدث هذا عند مسافة معينة r₀ ، حيث تكون القوة الكلية صفرًا.

F=-∂يو∂ر=0{\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}

حيث U هو الجهد بين الذرات و r هي المسافة بين الذرات. هذا يعني أن الذرات في حالة اتزان.

لتوسيع نطاق نموذج الذرتين ليشمل المواد الصلبة، لنفترض نموذجًا بسيطًا، كصفيف أحادي البعد لعنصر واحد بمسافة بين الذرات مقدارها r، ومسافة التوازن هي r₀ . تتشابه علاقة طاقة الوضع بالمسافة بين الذرات في هذا النموذج مع حالة الذرتين، حيث تصل إلى أدنى قيمة لها عند r₀ . ويكون متسلسلة تايلور لهذا النموذج كما يلي:

u(ر)=u(ر0)+(∂u∂ر)ر=ر0(ر-ر0)+12(∂2∂ر2u)ر=ر0(ر-ر0)2+يا((ر-ر0)3){\displaystyle u(r)=u(r_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})^{2}+O\left((r-r_{0})^{3}\right)}

عند الاتزان، تكون المشتقة الأولى صفرًا، لذا فإن الحد المهيمن هو الحد التربيعي. عندما تكون الإزاحة صغيرة، يجب إهمال الحدود ذات الرتب الأعلى. يصبح التعبير كالتالي:

u(ر)=u(ر0)+12(∂2∂ر2u)ر=ر0(ر-ر0)2{\displaystyle u(r)=u(r_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})^{2}}
F(أ)=-∂u∂ر=(∂2∂ر2u)ر=ر0(ر-ر0){\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}(r-r_{0})}

وهذا ما يُعرف بالمرونة الخطية.

لاحظ أن الاشتقاق يتم مع الأخذ في الاعتبار ذرتين متجاورتين، لذا فإن معامل هوك هو:

ك=ر0دFدر=ر0(∂2∂ر2u)ر=ر0{\displaystyle K=r_{0}{dF \over dr}=r_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=r_{0}}}

يمكن بسهولة توسيع هذا الشكل ليشمل الحالة ثلاثية الأبعاد، مع استخدام الحجم لكل ذرة (Ω) بدلاً من المسافة بين الذرات.

ك=Ω0(∂2∂Ω2u)Ω=Ω0{\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "الخواص المرنة الحجمية" . هايبرفيزيكس . جامعة ولاية جورجيا.
  2. ↑ نيلمز، آر جيه؛ لوفيداي، جيه إس؛ ألان، دي آر؛ بيسون، جيه إم؛ هامل، جي؛ غريما، بي؛ هول، إس. (1993-04-01). "قياسات حيود النيوترونات والأشعة السينية لمعامل الحجم للبورون" . مجلة Physical Review B. 47 ( 13): 7668–7673 . Bibcode : 1993PhRvB..47.7668N . doi : 10.1103/PhysRevB.47.7668 . ISSN 0163-1829 . PMID 10004773 .  
  3. ↑ أنجيل، آر جيه (2000-01-01). "معادلات الحالة" . مراجعات في علم المعادن والكيمياء الجيولوجية . 41 (1): 35-59 . رمز Bibcode : 2000RvMG...41...35A . doi : 10.2138/rmg.2000.41.2 . ISSN 1529-6466 . 
  4. ↑ غولي زاده، حسين؛ بيرتون، ريتشارد؛ شوناو، غريغ (1 يناير 2011). "معامل المرونة الحجمية للسوائل: دراسة أدبية" . المجلة الدولية لقوة الموائع . 12 (3): 5-15 . doi : 10.1080/14399776.2011.10781033 . ISSN 1439-9776 . 
  5. ↑ فيشمان، ك.ل.؛ ماخمر، د. (1994-03-01). "تقنيات اختبار قياس معامل الحجم" . مجلة الاختبار والتقييم . 22 (2): 161-167 . doi : 10.1520/JTE12650J . ISSN 0090-3973 . 
  6. ↑ أنجيل، روس جيه؛ ألفارو، ماتيو؛ نيستولا، فابريزيو (2018-02-01). "أربعون عامًا من مرونة المعادن: مراجعة نقدية ومعايرة جديدة لمعادلات الحالة للأوليفينات الوشاحية وشوائب الماس" . فيزياء وكيمياء المعادن . 45 (2): 95-113 . Bibcode : 2018PCM....45...95A . doi : 10.1007/s00269-017-0900-7 . ISSN 1432-2021 . 
  7. ↑ زيامباراس، إيليني؛ شرودر، إلزبيث (27 أغسطس/آب 2003). "نظرية لتحديد البنية ومعامل الحجم" . مجلة Physical Review B. 68 ( 6) 064112. arXiv : cond-mat/0304075 . Bibcode : 2003PhRvB..68f4112Z . doi : 10.1103/PhysRevB.68.064112 . ISSN 0163-1829 . 
  8. ↑ موليس، جوزيف سي؛ تشوتيروس، نيكولاس ب. (1992-04-01). "قياس معامل المرونة الحجمية لحبيبات الرمال" . مجلة الجمعية الصوتية الأمريكية . 91 (4_ملحق): 2463. Bibcode : 1992ASAJ...91.2463M . doi : 10.1121/1.403041 . ISSN 0001-4966 . 
  9. ↑ الصفحة 52 من كتاب " مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة ، الطبعة الثامنة" لتشارلز كيتل، 2005، رقم ISBN 0-471-41526-X
  10. ↑ غالاس، مارسيا ر.؛ بييرماريني، جاسبر ج. (1994). "معامل الحجم ومعامل يونغ لألومينا غاما النانوية البلورية" . مجلة الجمعية الأمريكية للخزف . 77 (11): 2917-2920 . doi : 10.1111/j.1151-2916.1994.tb04524.x . ISSN 1551-2916 . 
  11. ↑ "صفحة خصائص الجرافيت من تأليف جون أ. جاسزاك" . pages.mtu.edu . تم الاطلاع عليها بتاريخ 16 يوليو 2021 .
  12. ↑ "مطاط السيليكون" . مواد AZO .
  13. ↑ فلوغل، ألكسندر. "حساب معامل الحجم للزجاج" . glassproperties.com .
  14. ↑ ليو، أي واي؛ كوهين، إم إل (1989). "التنبؤ بالمواد الصلبة الجديدة ذات الانضغاطية المنخفضة". مجلة ساينس. 245 (4920): 841-842.
  15. ↑ ليدبيتر، هـ.؛ ميغليوري، أ.؛ بيتس، ج.؛ هارينغتون، س.؛ الخطيب، س. (31-05-2005). "معامل الحجم عند درجة حرارة الصفر للبلوتونيوم ألفا" . مجلة Physical Review B. 71 ( 17) 172101. Bibcode : 2005PhRvB..71q2101L . doi : 10.1103/PhysRevB.71.172101 . ISSN 1098-0121 . 
  16. ↑ هـ.، كورتني، توماس (2013). السلوك الميكانيكي للمواد (الطبعة الثانية المحسّنة ). نيودلهي: ماكجرو هيل للتعليم (الهند). ISBN  978-1259027512. OCLC 929663641 . {{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

للمزيد من القراءة

تتميز المواد المرنة الخطية المتجانسة والمتساوية الخواص بخصائصها المرنة التي يتم تحديدها بشكل فريد من خلال أي كميتين من بين هذه الكميات؛ وبالتالي، عند إعطاء أي كميتين، يمكن حساب أي معامل مرونة آخر وفقًا لهذه الصيغ، المقدمة لكل من المواد ثلاثية الأبعاد (الجزء الأول من الجدول) والمواد ثنائية الأبعاد (الجزء الثاني).
صيغ ثلاثية الأبعاد
معروفونمعامل الحجم ( K )معامل يونغ ( E )المعامل الأول للامي (λ)معامل القص ( G )نسبة بواسون ( ν )معامل الموجة P ( M )ملحوظات
( ك ، هـ )3 ك ( 1 + ⁠ 6 ك / ه − 9 ك ⁠ )⁠ ه / 3 − ⁠ ه / 3 ك ⁠ ⁠⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ ه / 6 ك ⁠⁠ 3 ك + ه / 3 − ⁠ ه / 3 ك ⁠ ⁠
( K , λ)⁠ 9 ك ( ك − ) / 3 ك − ⁠3 ( K − λ ) / 2λ / 3 K − λ​​3 ك − 2λ
( ك ، ج )9 كجم / 3 كجم + جم​​K − 2 G / 3​​⁠ 3 ك − 2 ج / 6 ك + 2 ج ⁠K + 4 G / 3​​
( K , ν )3 K (1 − 2 ν )3 Kν / 1 + ν​​⁠ 3 ك (1 − 2 ν ) / 2(1 + ν ) ⁠⁠ 3 ك (1 − ν ) / 1 + ν ⁠
( ك ، م )9K ( M − K ) / 3K + M​​​​3 ك - م / 2​​3 ( M − K ) / 4​3 ك - م / 3 ك + م​​
( E , λ)E + 3λ + R / 6​E − 3λ + R / 4​​− E + R / 4λ − 1 / 4​​​​E − λ + R / 2​​R = ± ( ه 2 + 9 ω 2 + 2 ω ) ⁠ 1 / 2 ⁠
( هـ ، ج )EG / 3 ( 3 G − E )⁠ G ( E − 2 G ) / 3 G − E ⁠E / 2 G − 1​​⁠ G (4 G − E ) / 3 G − E ⁠
( E , ν )E / 3 − 6 ν​​⁠ ه / (1 + ν )(1 − 2 ν ) ⁠E / 2 ( 1 + ν )⁠ ه (1 − ν ) / (1 + ν )(1 − 2 ν ) ⁠
( هـ ، م )3 م - هـ + س / 6​​M − E + S / 4​​3 م + هـ - س / 8​​E + S / 4 M − 1 / 4​​​​S = ± ( E 2 + 9M 2 − 10 E M ) ⁠ 1 / 2 ⁠
(λ، G )λ + 2 G / 3​​⁠ جي (3lect + 2 جي ) / LA + جي ⁠λ / 2 ( λ + G )λ + 2 G
(λ, ν )⁠ л / 3 ⁠ ( 1 + ⁠ 1 / ν ⁠ )γ ( ⁠ 1 / ν ⁠ − 2 ν − 1 )λ ( ⁠ 1 / 2 ν ⁠ − 1 )λ ( ⁠ 1 / ν ⁠ − 1 )
(λ، M )M + 2λ / 3​​⁠ ( م − )( م +2) / م + ⁠M − λ / 2​​λ / M + λ​​
( G , ν )⁠ 2 G (1 + ν ) / 3 − 6 ν ⁠2 G (1 + ν )2Gν / 1 − 2ν​​​​​⁠ 2 G (1 − ν ) / 1 − 2 ν ⁠
( G , M )M − 4 G / 3​​G ( 3 M − 4 G ) / M − G​M − 2 GM − 2 G / 2 M − 2 G​​
( ν , M )⁠ م (1 + ν ) / 3(1 − ν ) ⁠⁠ M (1 + ν )(1 − 2 ν ) / 1 − ν ⁠M ν / 1 − ν​​⁠ م (1 − 2 ν ) / 2(1 − ν ) ⁠
الصيغ ثنائية الأبعاد
معروفون( ك )( هـ )(λ)( G )( ν )( م )ملحوظات
( K 2D ، E 2D )2K2D ( 2K2D − E2D ) / 4K2D − E2D​​​​​​​​​K 2D E 2D / 4 K 2D − E 2D​​2K 2D − E 2D / 2K 2D​​​​4K 2D ^ 2 / 4K 2D − E 2D​​​
( K 2D ، λ 2D )4 K 2D ( K 2D − λ 2D ) / 2 K 2D − λ 2D​​K 2D − λ 2Dλ 2D / 2 K 2D − λ 2D​​2K 2D − λ 2D​
( K 2D ، G 2D )4K 2D G 2D / K 2D + G 2D​​​K 2D − G 2DK 2D − G 2D / K 2D + G 2D​​K 2D + G 2D
( K 2D ، ν 2D )2K 2D ( 1 − ν 2D )2K 2D ν 2D / 1 + ν 2D​​​K 2D ( 1 − ν 2D ) / 1 + ν 2D​2K 2D / 1 + ν 2D​​​
( E 2D ، G 2D )E 2D G 2D / 4 G 2D − E 2D​​2G2D ( E2D - 2G2D ) / 4G2D - E2D​​​​​​​​​​E 2D / 2 G 2D − 1​​⁠ 4 G 2D ^2 / 4 G 2D − E 2D ⁠
( E 2D ، ν 2D )E 2D / 2 ( 1 − ν 2D )⁠ E 2D ν 2D / (1 + ν 2D )(1 − ν 2D ) ⁠E 2D / 2 ( 1 + ν 2D )⁠ E 2D / (1 + ν 2D )(1 − ν 2D ) ⁠
(λ 2D , G 2D )λ 2D + G 2D4G2D ( λ2D + G2D ) / λ2D + 2G2D​​​​​​​​λ 2D / λ 2D + 2 G 2D​​λ 2D + 2 G 2D
(λ 2D , ν 2D )⁠ ν 2D (1 + ν 2D ) / 2 ν 2D ⁠⁠ ν 2D (1 + ν 2D )(1 − ν 2D ) / ν 2D ⁠⁠ ν 2D (1 − ν 2D ) / 2 ν 2D ⁠λ 2D / ν 2D​​
( G 2D , ν 2D )G 2D ( 1 + ν 2D ) / 1 − ν 2D​2G 2D ( 1 + ν 2D )2G2Dν2D / 1 − ν2D​​​​​​​2G2D / 1 − ν2D​​​​​
( G 2D ، M 2D )M 2D − G 2D4G2D ( M2D − G2D ) / M2D​​​​​​​M 2D − 2 G 2DM 2D − 2 G 2D / M 2D​​