معامل المرونة

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

معامل المرونة هو كمية تصف مقاومة الجسم أو المادة للتشوه المرن (أي غير الدائم) عند تطبيق إجهاد عليها.

تعريف

يُعرَّف معامل المرونة لجسم ما بأنه ميل منحنى الإجهاد -الانفعال في منطقة التشوه المرن؛ [ 1 ] فالمادة الأكثر صلابة لها معامل مرونة أعلى. ويكون معامل المرونة على الشكل التالي:

دلتا =تعريف ضغطأَضْنَى{\displaystyle \delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stress}}{\text{strain}}}}

حيث أن الإجهاد هو القوة التي تسبب التشوه مقسومة على المساحة التي يتم تطبيق القوة عليها، والانفعال هو نسبة التغير في بعض المعلمات الناتج عن التشوه إلى القيمة الأصلية للمعلمة.

بما أن الإجهاد كمية لا بُعدية ، فإن وحداتدلتا{\displaystyle \delta }ستكون هي نفسها وحدات الإجهاد. [ 2 ]

الثوابت والمعاملات المرنة

الثوابت المرنة هي معايير محددة تُقيس صلابة المادة استجابةً للإجهادات المُطبقة ، وهي أساسية في تحديد الخصائص المرنة للمواد. تُشكل هذه الثوابت عناصر مصفوفة الصلابة في تدوين الموتر، والتي تربط الإجهاد بالانفعال من خلال معادلات خطية في المواد غير المتجانسة . يُرمز إليها عادةً بـ C <sub>ijkl</sub> ، حيث i و j و k و l هي اتجاهات الإحداثيات، وتُعد هذه الثوابت ضرورية لفهم كيفية تشوه المواد تحت تأثير الأحمال المختلفة. [ 3 ]

أنواع معامل المرونة

يُتيح تحديد كيفية قياس الإجهاد والانفعال، بما في ذلك الاتجاهات، تعريف أنواع عديدة من معاملات المرونة. أهمها أربعة أنواع رئيسية:

  1. يصف معامل يونغ ( E ) مرونة الشد والضغط، أو ميل الجسم للتشوه على طول محور عند تطبيق قوى متعاكسة على طول ذلك المحور؛ ويُعرَّف بأنه نسبة إجهاد الشد إلى انفعال الشد . ويُشار إليه غالبًا ببساطة باسم معامل المرونة .
  2. معامل القص أو معامل الصلابة ( G أوμ{\displaystyle \mu \,}يصف معامل لاميه الثاني ميل الجسم للقص (تشوه الشكل عند ثبات الحجم) عند تعرضه لقوى متعاكسة؛ ويُعرَّف بأنه نسبة إجهاد القص إلى انفعال القص . ويُعد معامل القص جزءًا من اشتقاق اللزوجة .
  3. يصف معامل الحجم ( K ) المرونة الحجمية، أو ميل الجسم للتشوه في جميع الاتجاهات عند تعرضه لحمل منتظم في جميع الاتجاهات؛ ويُعرَّف بأنه الإجهاد الحجمي مقسومًا على الانفعال الحجمي، وهو مقلوب الانضغاطية . معامل الحجم هو امتداد لمعامل يونغ إلى ثلاثة أبعاد.
  4. يصف معامل الانحناء ( E flex ) ميل الجسم للانحناء عند تعرضه لعزم دوران .

هناك معاملان مرنان آخران هما معامل لاميه الأول ، λ، ومعامل الموجة P ، M ، كما هو موضح في جدول مقارنات المعاملات المذكور في المراجع أدناه. تتميز المواد المتجانسة والمتناحية الخواص (المتشابهة في جميع الاتجاهات) (المواد الصلبة) بخصائصها المرنة (الخطية) التي يمكن وصفها بالكامل بمعاملين مرنين، ويمكن اختيار أي زوج منهما. وبمعرفة زوج من المعاملات المرنة، يمكن حساب جميع المعاملات المرنة الأخرى وفقًا للصيغ الواردة في الجدول أدناه في نهاية الصفحة.

تتميز السوائل الساكنة بأنها لا تتحمل إجهاد القص، مما يعني أن معامل القص فيها يساوي صفرًا دائمًا. وهذا يعني أيضًا أن معامل يونغ لهذه المجموعة يساوي صفرًا دائمًا. عند تحرك السائل بالنسبة لسطح صلب، فإنه يتعرض لإجهادات قص مجاورة للسطح، مما يؤدي إلى ظاهرة اللزوجة .

في بعض النصوص، يُشار إلى معامل المرونة باسم الثابت المرن ، بينما يُشار إلى الكمية العكسية باسم معامل المرونة .

حسابات نظرية الكثافة الوظيفية

توفر نظرية الكثافة الوظيفية (DFT) أساليب موثوقة لتحديد عدة أشكال من معاملات المرونة التي تميز خصائص استجابة المادة للإجهادات الميكانيكية. استخدم برامج DFT مثل VASP أو Quantum ESPRESSO أو ABINIT . بشكل عام، قم بإجراء اختبارات للتأكد من أن النتائج مستقلة عن المعايير الحسابية مثل كثافة شبكة نقاط k، وطاقة قطع الموجة المستوية، وحجم خلية المحاكاة.

  1. معامل يونغ ( E ) - يتم تطبيق تغييرات صغيرة ومتزايدة في معلمات الشبكة على طول محور محدد، ثم يتم حساب استجابة الإجهاد المقابلة باستخدام نظرية الكثافة الوظيفية (DFT). ويُحسب معامل يونغ بعد ذلك على النحو التالي: E = σ / ϵ ، حيث σ هو الإجهاد و ϵ هو الانفعال. [ 4 ]
    1. البنية الأولية: ابدأ ببنية المادة في حالة استرخاء. يجب أن تكون جميع الذرات في حالة طاقة دنيا (أي حالة طاقة دنيا مع انعدام القوى المؤثرة على الذرات) قبل تطبيق أي تشوهات. [ 5 ]
    2. الإجهاد المحوري التدريجي: يتم تطبيق إجهادات صغيرة تدريجية على الشبكة البلورية على طول محور معين. عادةً ما يكون هذا الإجهاد محوريًا ، أي أنه يمدد أو يضغط الشبكة في اتجاه واحد مع الحفاظ على الأبعاد الأخرى ثابتة أو دورية.
    3. حساب الإجهادات: لكل تكوين مُجهد، قم بإجراء حساب باستخدام نظرية الكثافة الوظيفية (DFT) لحساب موتر الإجهاد الناتج . يتضمن ذلك حل معادلات كون-شام لإيجاد كثافة الإلكترون وطاقته في الحالة الأرضية في ظل ظروف الإجهاد.
    4. منحنى الإجهاد والانفعال : ارسم الإجهاد المحسوب مقابل الانفعال المطبق لإنشاء منحنى الإجهاد والانفعال. يمثل ميل الجزء الخطي الأولي من هذا المنحنى معامل يونغ. رياضياً، يُحسب معامل يونغ ( E) باستخدام الصيغة E = σ / ϵ ، حيث σ هو الإجهاد و ϵ هو الانفعال.
  2. معامل القص ( G )
    1. البنية الأولية: ابدأ ببنية المادة في حالة استرخاء. يجب أن تكون جميع الذرات في حالة طاقة دنيا بدون قوى متبقية (أي حالة طاقة دنيا مع انعدام القوى المؤثرة على الذرات) قبل تطبيق أي تشوهات.
    2. تطبيق إجهاد القص: قم بتطبيق زيادات صغيرة من إجهاد القص على المادة. عادةً ما تكون إجهادات القص مكونات غير قطرية في موتر الإجهاد، مما يؤثر على شكل الخلية البلورية وليس على حجمها. [ 6 ]
    3. حساب الإجهاد: لكل تكوين مع إجهاد القص المطبق ، قم بإجراء حساب DFT لتحديد موتر الإجهاد الناتج.
    4. منحنى إجهاد القص مقابل انفعال القص : ارسم منحنى إجهاد القص المحسوب مقابل انفعال القص المطبق لكل زيادة. يمثل ميل منحنى الإجهاد-الانفعال في منطقته الخطية معامل القص، G = τ / γ ، حيث τ هو إجهاد القص و γ هو انفعال القص المطبق.
  3. معامل الحجم ( K )
    1. البنية الأولية: ابدأ ببنية المادة في حالة استرخاء. من الضروري أن تكون المادة مُحسَّنة بالكامل، لضمان أن أي تغييرات في الحجم ناتجة فقط عن الضغط المُطبَّق.
    2. تغييرات الحجم: يتم تغيير حجم الخلية البلورية تدريجياً ، إما بضغطها أو بتمديدها. ويتم ذلك عادةً عن طريق تغيير معلمات الشبكة بشكل منتظم.
    3. حساب الضغط: لكل حجم متغير، قم بإجراء حساب DFT لتحديد الضغط اللازم للحفاظ على ذلك الحجم. يسمح DFT بحساب موترات الإجهاد التي توفر قياسًا مباشرًا للضغط الداخلي.
    4. منحنى الضغط والحجم : ارسم العلاقة بين الضغط المُطبق والتغير الناتج في الحجم. يمكن حساب معامل الحجم من ميل هذا المنحنى في المنطقة المرنة الخطية. يُعرَّف معامل الحجم بالمعادلة K = −VdV / dP ، حيث V هو الحجم الأصلي، وdP هو التغير في الضغط، و dV هو التغير في الحجم. [ 7 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أسكلاند، دونالد ر.؛ فوليه، براديب ب. (2006). علم وهندسة المواد (  الطبعة الخامسة). سينجايج ليرنينج. ص  198. ISBN 978-0-534-55396-8.
  2. ↑ بير، فرديناند ب.؛ جونستون، إي. راسل؛ دي وولف، جون؛ مازوريك، ديفيد (2009). ميكانيكا المواد . ماكجرو هيل. ص 56. ISBN  978-0-07-015389-9.
  3. ↑ شريبر، إدوارد؛ أندرسون، أو إل؛ سوغا، ناوهيرو (1974). الثوابت المرنة وقياسها . نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-055603-4.
  4. ↑ ألاسفار، ريما ح.؛ أحزي، سعيد؛ بارث، نيكولاس؛ كوتشكودان، فيكتور؛ خريشه، مروان؛ كوتش، معمر (18 يناير 2022). "مراجعة حول نمذجة معامل المرونة وإجهاد الخضوع للبوليمرات والمركبات النانوية البوليمرية: تأثير درجة الحرارة ومعدل التحميل والمسامية" . بوليمرات . 14 ( 3): 360. doi : 10.3390/polym14030360 . ISSN 2073-4360 . PMC 8838186. PMID 35160350 .   
  5. ↑ هادي، م.أ؛ كريستوبولوس، س.-ر.ج؛ كرونيوس، أ.؛ نقيب، ش.هـ؛ إسلام، أ.ك.م.أ (18-08-2022). "رؤى نظرية الكثافة الوظيفية حول البنية الإلكترونية، والسلوك الميكانيكي، وديناميكيات الشبكة، وعمليات العيوب في أول طور MAX قائم على السكانديوم Sc2SnC" . التقارير العلمية . 12 (1): 14037. doi : 10.1038/s41598-022-18336-z . ISSN 2045-2322 . PMC 9388654. PMID 35982080 .   
  6. ↑ أحمد، رازو؛ محمود الزمان، محمد؛ أفضل، محمد آصف؛ إسلام، محمد ساجدول؛ إسلام، آر إس؛ نقيب، إس إتش (مايو 2023). "تحليل مقارن قائم على نظرية الكثافة الوظيفية للخواص الفيزيائية لبعض كربيدات المعادن الانتقالية الثنائية XC (حيث X = Nb، Ta، Ti)" . مجلة أبحاث وتكنولوجيا المواد . 24 : 4808-4832 . doi : 10.1016/j.jmrt.2023.04.147 . ISSN 2238-7854 . 
  7. ↑ تشودري، كمال؛ تشيون، غوون؛ ريد، إيفان؛ تافازا، فرانشيسكا (12 يوليو 2018). "الخواص المرنة للمواد الصلبة والمواد منخفضة الأبعاد باستخدام دالة كثافة فان دير فالس" . مجلة Physical Review B. 98 ( 1) 014107. arXiv : 1804.01033 . Bibcode : 2018PhRvB..98a4107C . doi : 10.1103/PhysRevB.98.014107 . ISSN 2469-9950 . PMC 7067065. PMID 32166206 .   

للمزيد من القراءة

  • هارتسويجكر، C .؛ ويلمان، جي دبليو (2001). الميكانيكا الهندسية . المجلد 2. سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4020-4123-5.
تتميز المواد المرنة الخطية المتجانسة والمتساوية الخواص بخصائصها المرنة التي يتم تحديدها بشكل فريد من خلال أي كميتين من بين هذه الكميات؛ وبالتالي، عند إعطاء أي كميتين، يمكن حساب أي معامل مرونة آخر وفقًا لهذه الصيغ، المقدمة لكل من المواد ثلاثية الأبعاد (الجزء الأول من الجدول) والمواد ثنائية الأبعاد (الجزء الثاني).
صيغ ثلاثية الأبعاد
معروفونمعامل الحجم ( K )معامل يونغ ( E )المعامل الأول للامي (λ)معامل القص ( G )نسبة بواسون ( ν )معامل الموجة P ( M )ملحوظات
( ك ، هـ )3 ك ( 1 + ⁠ 6 ك / ه − 9 ك ⁠ )⁠ ه / 3 − ⁠ ه / 3 ك ⁠ ⁠⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ ه / 6 ك ⁠⁠ 3 ك + ه / 3 − ⁠ ه / 3 ك ⁠ ⁠
( K , λ)⁠ 9 ك ( ك − ) / 3 ك − ⁠3 ( K − λ ) / 2λ / 3 K − λ​​3 ك − 2λ
( ك ، ج )9 كجم / 3 كجم + جم​​K − 2 G / 3​​⁠ 3 ك − 2 ج / 6 ك + 2 ج ⁠K + 4 G / 3​​
( K , ν )3 K (1 − 2 ν )3 Kν / 1 + ν​​⁠ 3 ك (1 − 2 ν ) / 2(1 + ν ) ⁠⁠ 3 ك (1 − ν ) / 1 + ν ⁠
( ك ، م )9 ك ( م − ك ) / 3 ك + م​​3 ك - م / 2​​3 ( M − K ) / 4​3 ك - م / 3 ك + م​​
( E , λ)E + 3λ + R / 6​E − 3λ + R / 4​​− E + R / 4λ − 1 / 4​​​​E − λ + R / 2​​R = ± ( ه 2 + 9 ω 2 + 2 ω ) ⁠ 1 / 2 ⁠
( هـ ، ج )EG / 3 ( 3 G − E )⁠ G ( E − 2 G ) / 3 G − E ⁠E / 2 G − 1​​⁠ G (4 G − E ) / 3 G − E ⁠
( E , ν )E / 3 − 6 ν​​⁠ ه / (1 + ν )(1 − 2 ν ) ⁠E / 2 ( 1 + ν )⁠ ه (1 − ν ) / (1 + ν )(1 − 2 ν ) ⁠
( هـ ، م )3 م - هـ + س / 6​​M − E + S / 4​​3 م + هـ - س / 8​​E + S / 4 M − 1 / 4​​​​S = ± ( E 2 + 9M 2 − 10 E M ) ⁠ 1 / 2 ⁠
(λ، G )λ + 2 G / 3​​⁠ جي (3lect + 2 جي ) / LA + جي ⁠λ / 2 ( λ + G )λ + 2 G
(λ, ν )⁠ л / 3 ⁠ ( 1 + ⁠ 1 / ν ⁠ )γ ( ⁠ 1 / ν ⁠ − 2 ν − 1 )λ ( ⁠ 1 / 2 ν ⁠ − 1 )λ ( ⁠ 1 / ν ⁠ − 1 )
(λ، M )M + 2λ / 3​​⁠ ( م − )( م +2) / م + ⁠M − λ / 2​​λ / M + λ​​
( G , ν )⁠ 2 G (1 + ν ) / 3 − 6 ν ⁠2 G (1 + ν )2Gν / 1 − 2ν​​​​​⁠ 2 G (1 − ν ) / 1 − 2 ν ⁠
( G , M )M − 4 G / 3​​G ( 3 M − 4 G ) / M − G​M − 2 GM − 2 G / 2 M − 2 G​​
( ν , M )⁠ م (1 + ν ) / 3(1 − ν ) ⁠⁠ M (1 + ν )(1 − 2 ν ) / 1 − ν ⁠M ν / 1 − ν​​⁠ م (1 − 2 ν ) / 2(1 − ν ) ⁠
الصيغ ثنائية الأبعاد
معروفون( ك )( هـ )(λ)( G )( ν )( م )ملحوظات
( K 2D ، E 2D )2K2D ( 2K2D − E2D ) / 4K2D − E2D​​​​​​​​​K 2D E 2D / 4 K 2D − E 2D​​2K 2D − E 2D / 2K 2D​​​​4K 2D ^ 2 / 4K 2D − E 2D​​​
( K 2D ، λ 2D )4 K 2D ( K 2D − λ 2D ) / 2 K 2D − λ 2D​​K 2D − λ 2Dλ 2D / 2 K 2D − λ 2D​​2K 2D − λ 2D​
( K 2D ، G 2D )4K 2D G 2D / K 2D + G 2D​​​K 2D − G 2DK 2D − G 2D / K 2D + G 2D​​K 2D + G 2D
( K 2D ، ν 2D )2K 2D ( 1 − ν 2D )2K 2D ν 2D / 1 + ν 2D​​​K 2D ( 1 − ν 2D ) / 1 + ν 2D​2K 2D / 1 + ν 2D​​​
( E 2D ، G 2D )E 2D G 2D / 4 G 2D − E 2D​​2G2D ( E2D - 2G2D ) / 4G2D - E2D​​​​​​​​​​E 2D / 2 G 2D − 1​​⁠ 4 G 2D ^2 / 4 G 2D − E 2D ⁠
( E 2D ، ν 2D )E 2D / 2 ( 1 − ν 2D )⁠ E 2D ν 2D / (1 + ν 2D )(1 − ν 2D ) ⁠E 2D / 2 ( 1 + ν 2D )⁠ E 2D / (1 + ν 2D )(1 − ν 2D ) ⁠
(λ 2D , G 2D )λ 2D + G 2D4G2D ( λ2D + G2D ) / λ2D + 2G2D​​​​​​​​λ 2D / λ 2D + 2 G 2D​​λ 2D + 2 G 2D
(λ 2D , ν 2D )⁠ ν 2D (1 + ν 2D ) / 2 ν 2D ⁠⁠ ν 2D (1 + ν 2D )(1 − ν 2D ) / ν 2D ⁠⁠ ν 2D (1 − ν 2D ) / 2 ν 2D ⁠λ 2D / ν 2D​​
( G 2D , ν 2D )G 2D ( 1 + ν 2D ) / 1 − ν 2D​2G 2D ( 1 + ν 2D )2G2Dν2D / 1 − ν2D​​​​​​​2G2D / 1 − ν2D​​​​​
( G 2D ، M 2D )M 2D − G 2D4G2D ( M2D − G2D ) / M2D​​​​​​​M 2D − 2 G 2DM 2D − 2 G 2D / M 2D​​