موتر المرونة

بالنسبة للمواد المتجانسة،${\displaystyle \mathbf {C} }$يتبسط إلى

${\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}$

أين${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$هي دوال قياسية لإحداثيات المادة ${\displaystyle X}$، و${\displaystyle \mathbf {g} }$يمثل موتر القياس في الإطار المرجعي للمادة. ^{[ 6 ] [ 7 ]} في أساس إحداثيات ديكارتية متعامدة ، لا يوجد تمييز بين المؤشرات العليا والسفلى، ويمكن استبدال موتر القياس بدالة كرونكر دلتا:

${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[Cartesian coordinates]}}}$

بإدخال المعادلة الأولى في علاقة الإجهاد والانفعال وجمع النتائج على المؤشرات المتكررة، نحصل على

${\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}$

أين${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}$هو أثر${\displaystyle \mathbf {E} }$بهذا الشكل،${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \lambda }$يمكن تحديدها باستخدام معاملي لاميه الأول والثاني . والتعبير المكافئ هو

${\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}$

أين${\displaystyle K=\lambda +(2/3)\mu }$هو معامل الحجم، و

${\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}$

هي مكونات موتر القص${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$.

يتكون موتر المرونة للبلورة المكعبة من مكونات

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \mathbf {a} }$،${\displaystyle \mathbf {b} }$، و${\displaystyle \mathbf {c} }$هي متجهات وحدة تُقابل المحاور الثلاثة المتعامدة لوحدة الخلية البلورية . ^{[ 8 ]} المعاملات${\displaystyle \lambda }$،${\displaystyle \mu }$، و${\displaystyle \alpha }$هي كميات قياسية؛ ولأنها مستقلة عن الإحداثيات، فهي ثوابت مادية جوهرية. وبالتالي، يمكن وصف بلورة ذات تناظر مكعب بثلاثة ثوابت مرنة مستقلة. ^{[ 9 ]}

في نظام الإحداثيات الديكارتية المتعامدة، لا يوجد تمييز بين المؤشرات العليا والسفلى، و${\displaystyle g^{ij}}$هي دالة كرونكر دلتا، لذا يتبسط التعبير إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}$

توجد تعابير مماثلة لمكونات${\displaystyle \mathbf {C} }$في فئات تناظر البلورات الأخرى. ^{[ 10 ]} يرد عدد الثوابت المرنة المستقلة لعدد من هذه الفئات في الجدول 1. ^{[ 9 ]}

يتمتع موتر المرونة بعدة تناظرات تنبع مباشرة من معادلته التعريفية${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$[ ^{11 ] [ 2 ]} يشير تناظر موترات الإجهاد والانفعال إلى ^أن

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}$

عادةً، يُفترض أيضًا أن الإجهاد ينشأ من طاقة كامنة مرنة${\displaystyle U}$:

${\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}$

وهذا يعني

${\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}$

لذلك،${\displaystyle \mathbf {C} }$يجب أن يكون متناظراً عند تبديل الزوجين الأول والثاني من المؤشرات:

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}$

تؤدي التناظرات المذكورة أعلاه إلى تقليل عدد المكونات المستقلة من 81 إلى 21. وإذا كانت للمادة تناظرات إضافية، فإن هذا العدد ينخفض ​​أكثر. ^{[ 9 ]}

أثناء الدوران، المكونات${\displaystyle C^{ijkl}}$تحويل كـ

${\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}$

أين${\displaystyle C'_{ijkl}}$هي المكونات المتغيرة في الأساس المُدار، و${\displaystyle R_{ij}}$ هي عناصر مصفوفة الدوران المقابلة . وينطبق قانون تحويل مماثل على التحويلات الخطية الأخرى.

مكونات${\displaystyle \mathbf {C} }$تكتسب القيم عمومًا قيمًا مختلفة عند تغيير الأساس . ومع ذلك، بالنسبة لأنواع معينة من التحويلات، توجد تركيبات محددة من المكونات، تُسمى الثوابت، تبقى دون تغيير. تُعرَّف الثوابت بالنسبة لمجموعة معينة من التحويلات، تُعرف رسميًا باسم عملية المجموعة . على سبيل المثال، الثابت بالنسبة لمجموعة التحويلات المتعامدة الصحيحة، والتي تُسمى SO(3) ، هو كمية تبقى ثابتة تحت أي دوران ثلاثي الأبعاد.

${\displaystyle \mathbf {C} }$يمتلك ثابتين خطيين وسبعة ثوابت تربيعية بالنسبة إلى SO(3). ^{[ 12 ]} الثوابت الخطية هي

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}$

والثوابت التربيعية هي

${\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}$

هذه الكميات مستقلة خطيًا، أي لا يمكن التعبير عن أي منها كتركيبة خطية للكميات الأخرى. وهي أيضًا كاملة، بمعنى أنه لا توجد ثوابت خطية أو تربيعية مستقلة إضافية. ^{[ 12 ]}

يتم الحصول على هذا التفكيك من خلال التناظر والتناظر العكسي للمؤشرين الأوسطين:

${\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}$

من عيوب هذا التفكيك أن${\displaystyle M^{ijkl}}$و${\displaystyle N^{ijkl}}$لا تلتزم بجميع التناظرات الأصلية لـ${\displaystyle C^{ijkl}}$لأنها ليست متناظرة عند تبديل المؤشرين الأولين. إضافةً إلى ذلك، فهي ليست غير قابلة للاختزال، لذا فهي ليست ثابتة تحت التحويلات الخطية مثل الدوران. ^{[ 2 ]}

يمكن بناء تمثيل غير قابل للاختزال من خلال النظر في مفهوم الموتر المتناظر كليًا ، والذي يظل ثابتًا تحت تبديل أي مؤشرين.${\displaystyle \mathbf {S} }$يمكن بناؤها من ${\displaystyle \mathbf {C} }$عن طريق الجمع على الكل${\displaystyle 4!=24}$تباديل المؤشرات

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$هي مجموعة جميع تباديل المؤشرات الأربعة. ^{[ 2 ]} نظرًا لتناظرات${\displaystyle C^{ijkl}}$، ويتقلص هذا المجموع إلى

${\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}$

الفرق

${\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}$

هو موتر غير متماثل ( ليس مضادًا للتناظر). التفكيك${\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}$يمكن إثبات أنها فريدة وغير قابلة للاختزال فيما يتعلق بـ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$بمعنى آخر، أي عمليات تناظر إضافية على${\displaystyle \mathbf {S} }$أو${\displaystyle \mathbf {A} }$إما أن يتركها دون تغيير أو يُقيّمها إلى الصفر. وهي أيضًا غير قابلة للاختزال بالنسبة إلى التحويلات الخطية العشوائية، أي المجموعة الخطية العامة.${\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}$[ ^{2 ] [ 15 ]​}

ومع ذلك، فإن هذا التفكيك ليس غير قابل للاختزال بالنسبة لمجموعة الدورانات SO(3). بدلاً من ذلك،${\displaystyle \mathbf {S} }$يتحلل إلى ثلاثة أجزاء غير قابلة للاختزال، و${\displaystyle \mathbf {A} }$إلى اثنين:

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}$

انظر إيتين (2020) ^{[ 15 ]} للاطلاع على التعبيرات الصريحة بدلالة مكونات${\displaystyle \mathbf {C} }$.

يقوم هذا التمثيل بتقسيم فضاء موترات المرونة إلى مجموع مباشر من الفضاءات الفرعية:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}$

بأبعاد

${\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}$

كل من هذه الفضاءات الفرعية متماثلة مع فضاء موتر توافقي${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$[ ^{15 ] [ 16 ]} هنا ^،${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$هو فضاء الموترات ثلاثية الأبعاد، المتناظرة تمامًا، عديمة الأثر من الرتبة${\displaystyle n}$. بخاصة،${\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}$و${\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}$يتوافق مع${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$،${\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}$و${\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}$يتوافق مع${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$، و${\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}$يتوافق مع${\displaystyle \mathbb {H} _{4}}$.