مسدس

يبلغ طول أطول قطرين في الشكل السداسي المنتظم، واللذين يصلان بين رأسين متقابلين قطريًا، ضعف طول أحد أضلاعه. ومن هذا يتضح أن المثلث الذي يقع رأسه في مركز الشكل السداسي المنتظم ويشترك معه في أحد أضلاعه يكون متساوي الأضلاع ، وأن الشكل السداسي المنتظم يمكن تقسيمه إلى ستة مثلثات متساوية الأضلاع.

القطر الأقصى (الذي يُقابل القطر الأطول للسداسي)، D ، يساوي ضعف نصف القطر الأقصى أو نصف قطر الدائرة المحيطة ، R ، والذي يساوي طول الضلع، t . أما القطر الأدنى أو قطر الدائرة الداخلية (المسافة بين الأضلاع المتوازية، أو المسافة بين سطحين مستويين، أو القطر الأقصر، أو الارتفاع عند الاستناد على قاعدة مستوية)، d ، فيساوي ضعف نصف القطر الأدنى أو نصف قطر الدائرة الداخلية ، r . وترتبط القيمتان القصوى والدنيا بنفس العامل. $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {d}{2}}=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t\\d&={\frac {\sqrt {3}}{2}}D\\\end{aligned}}}$$

مساحة الشكل السداسي المنتظم $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}&&=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\&\approx 2.598R^{2}&&\approx 3.464r^{2}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}&&={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}&&\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}}$$

بالنسبة لأي مضلع منتظم ، يمكن التعبير عن المساحة بدلالة طوله العمودي a ومحيطه p . بالنسبة للمضلع السداسي المنتظم، تُعطى هذه القيم بالعلاقة a = r و p.${\displaystyle {}=6R=4r{\sqrt {3}}}$، لذا

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}}$

الشكل السداسي المنتظم يملأ الكسر${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270}$ضمن دائرتها المحددة .

إذا كان للمضلع السداسي المنتظم رؤوس متتالية A و B و C و D و E و F وإذا كانت P أي نقطة على الدائرة المحيطة بين B و C، فإن PE + PF = PA + PB + PC + PD .

ويترتب على نسبة نصف القطر المحيط إلى نصف القطر الداخلي أن نسبة الارتفاع إلى العرض لسداسي منتظم هي 1:1.1547005؛ أي أن السداسي الذي يبلغ طول قطره الطويل 1.0000000 ستكون المسافة بين أضلاعه المتوازية 0.8660254 أو cos(30°).

لنقطة عشوائية في مستوى سداسي منتظم نصف قطر محيطه${\displaystyle R}$، والتي تكون مسافاتها إلى مركز ثقل الشكل السداسي المنتظم ورؤوسه الستة هي${\displaystyle L}$و${\displaystyle d_{i}}$ على التوالي، لدينا ^{[ 3 ]}

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).}$

لو${\displaystyle d_{i}}$إذا كانت المسافات من رؤوس الشكل السداسي المنتظم إلى أي نقطة على دائرته المحيطة، فإن ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.}$

يمتلك الشكل السداسي المنتظم ستة تناظرات دورانية ( تناظر دوراني من الرتبة السادسة ) وستة تناظرات انعكاسية ( ستة خطوط تناظر )، مُشكلاً المجموعة ثنائية السطوح D6 _. ^{[ 4 ]} يوجد 16 مجموعة فرعية. منها 8 مجموعات فرعية حتى التشاكل: المجموعة نفسها (D6 ₎ ، ومجموعتان ثنائيتا السطوح: (D3 _، D2 )، وأربع مجموعات دورية : (Z6 _، Z3 _، Z2 _، Z1 _{) ،} والمجموعة التافهة (e).

تُعبّر هذه التناظرات عن تسعة تناظرات مميزة للسداسي المنتظم. يُصنّف جون كونواي هذه التناظرات بحرف وترتيب المجموعة. ^{[ 5 ]} يُمثّل r12 تناظرًا كاملًا، بينما يُمثّل a1 انعدام التناظر. يُمكن أن تتبادل الأضلاع الطويلة والقصيرة في الشكل السداسي p6 ، المُكوّن من ثلاثة مرايا، بينما في الشكل السداسي d6 ، المُكوّن من أضلاع متساوية الطول، تتبادل رؤوسه زاويتين داخليتين مختلفتين. هذان الشكلان متناظران ، ولهما نصف ترتيب تناظر السداسي المنتظم. أما الأشكال i4 فهي سداسيات منتظمة مُسطّحة أو مُمدّدة على طول اتجاه تناظر واحد. يُمكن اعتبارها مُعيّنًا مُطوّلًا ، بينما يُمكن اعتبار d2 و p2 مُسطّحين أفقيًا ورأسيًا . تُسمى السداسيات g2 ، ذات الأضلاع المتقابلة المتوازية، أيضًا بالمتوازيات السداسية .

يُتيح تناظر كل مجموعة فرعية درجة حرية واحدة أو أكثر للأشكال غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g6 فقط هي التي لا تملك أي درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

يمكن للمضلعات السداسية ذات التناظر g2 و i4 و r12 ، باعتبارها متوازيات أضلاع ، أن تملأ المستوى الإقليدي عن طريق الإزاحة. ويمكن لأشكال سداسية أخرى أن تملأ المستوى باتجاهات مختلفة.

ص 6 م (*632)	سم (2*22)	ص 2 (2222)	ص 31 م (3*3)	pmg (22*)		صفحة (××)
r12	i4	g2	د2	د2	ص2	أ1
ديه 6	Dih 2	Z 2	Dih 1			Z 1

جذور المجموعة A2

جذور المجموعة G2

تتخذ الجذور الستة لمجموعة لي البسيطة A2 ، المُمثلة بمخطط دينكين ، نمطًا سداسيًا منتظمًا. وتبلغ الزاوية بين الجذرين البسيطين 120 درجة.

تتخذ الجذور الاثنا عشر لمجموعة لي الاستثنائية G2 ، المُمثلة بمخطط دينكين، نمطًا سداسيًا. ويفصل بين الجذرين البسيطين، اللذين لهما طولان مختلفان، زاوية مقدارها 150 درجة.

مثل المربعات والمثلثات متساوية الأضلاع ، تتلاءم السداسيات المنتظمة معًا دون أي فراغات لتغطي السطح (تلتقي ثلاثة سداسيات عند كل رأس)، ولذا فهي مفيدة في بناء التبليط . ^{[ 6 ]} خلايا قرص العسل في خلية النحل سداسية الشكل لهذا السبب، ولأن هذا الشكل يُحسّن استخدام المساحة ومواد البناء. مخطط فورونوي لشبكة مثلثية منتظمة هو تبليط قرص العسل من السداسيات.

يوجد ستة أشكال سداسية متقاطعة ذاتيًا بترتيب رؤوس مماثل للشكل السداسي المنتظم:

أشكال سداسية متقاطعة ذاتيًا ذات رؤوس منتظمة

Dih 2			Dih 1		Dih 3
شكل ثمانية	قلبة مركزية	أحادي المسار	ذيل السمكة	ذيل مزدوج	ذيل ثلاثي

سداسي ليموين هو سداسي دائري (محاط بدائرة) برؤوس معطاة من خلال التقاطعات الستة لحواف المثلث والخطوط الثلاثة الموازية للحواف التي تمر عبر نقطة التناظر المتوسطة .

إذا كانت الأضلاع المتتالية لسداسي دائري هي a و b و c و d و e و f ، فإن الأقطار الرئيسية الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة إذا وفقط إذا كان ace = bdf . ^{[ 8 ]}

إذا تم تمديد الأضلاع المتجاورة لكل ضلع من أضلاع الشكل السداسي الدائري إلى نقطة تقاطعها، مما يشكل مثلثًا خارجيًا للضلع المعطى، فإن القطع المستقيمة التي تربط مراكز الدوائر المحيطة بالمثلثات المتقابلة تكون متلاقية . ^{[ 9 ]}

إذا كانت رؤوس شكل سداسي تقع على الدائرة المحيطة بمثلث حاد الزوايا عند النقاط الست (بما فيها ثلاثة من رؤوس المثلث) التي تلتقي فيها امتدادات ارتفاعات المثلث بالدائرة المحيطة، فإن مساحة الشكل السداسي تساوي ضعف مساحة المثلث. ^{[ 10 ] : ص 179}

المضلع السداسي المائل المنتظم هو مضلع بيتري لهذه المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة والمتجانسة والثنائية ذات الأبعاد الأعلى ، والموضحة في هذه الإسقاطات المتعامدة المائلة :

رباعي الأبعاد		5D
منشور مزدوج 3-3	3-3 هرم مزدوج	5-simplex

لا يوجد مجسم أفلاطوني مصنوع من سداسيات منتظمة فقط، لأن السداسيات تُشكل فسيفساء ، مما يمنع طي المجسم الناتج. أما المجسمات الأرخميدية التي تحتوي على بعض الأوجه السداسية فهي : رباعي الأوجه المقطوع ، وثماني الأوجه المقطوع ، وعشروني الأوجه المقطوع (الذي اشتهرت به كرة القدم والفوليرين )، ومكعب ثماني الأوجه المقطوع ، وعشروني اثني عشري الأوجه المقطوع . ويمكن اعتبار هذه السداسيات مثلثات مقطوعة ، بمخططات كوكسيتر من الشكلين و .

الأشكال السداسية في المجسمات الأرخميدية
رباعي الأوجه	ثماني الأوجه		عشروني الوجوه
رباعي الأوجه المبتور	ثماني السطوح المقطوع	مكعب ثماني الأوجه مقطوع	مجسم عشروني الوجوه مقطوع	مجسم ذو عشرين وجهًا مقطوعًا

توجد أشكال متعددة السطوح متناظرة أخرى ذات سداسيات ممتدة أو مسطحة، مثل هذه الأشكال متعددة السطوح غولدبيرغ G(2,0):

السداسيات في متعددات وجوه غولدبرغ
رباعي الأوجه	ثماني الأوجه	عشروني الوجوه
رباعي الأوجه مشطوف الحواف	مكعب مشطوف الحواف	مجسم ذو اثني عشر وجهاً مشطوف الحواف

يوجد أيضاً 9 مواد صلبة من نوع جونسون ذات أشكال سداسية منتظمة:

مجسمات جونسون ذات الأشكال السداسية
قبة مثلثة الشكل	قبة مثلثة ممدودة	قبة مثلثة مستطيلة الشكل
منشور سداسي مُعزز	منشور سداسي معزز بشكل شبه كامل	منشور سداسي معزز ميتابي
منشور سداسي ثلاثي الأضلاع	رباعي الأوجه المقطوع المعزز	هيبسفينوروتوندا مثلثة

موشورات ذات سداسيات
منشور سداسي	منشور مضاد سداسي	هرم سداسي

تبليط ذو أشكال سداسية منتظمة
عادي	1- موحد
{6,3}	r{6,3}	rr{6,3}	tr{6,3}
2-بلاطات موحدة