الطاقة المرنة

الطاقة المرنة هي الطاقة الميكانيكية المخزنة في بنية المادة أو النظام الفيزيائي عند تعرضه لتشوه مرن نتيجة شغل مبذول عليه. تنشأ الطاقة المرنة عندما تتعرض الأجسام لضغط أو شد أو تشوه غير دائم بأي شكل من الأشكال. تُعنى نظرية المرونة بشكل أساسي بتطوير نماذج رياضية لميكانيكا الأجسام والمواد الصلبة. ^{[ 1 ]} تُستخدم معادلة طاقة الوضع المرنة في حسابات مواضع التوازن الميكانيكي . هذه الطاقة كامنة لأنها ستتحول إلى أشكال أخرى من الطاقة، مثل الطاقة الحركية والطاقة الصوتية ، عندما يُسمح للجسم بالعودة إلى شكله الأصلي (إعادة التشكيل) بفعل طاقة الوضع الكيميائية الموجودة في البطاريات والمعجون .

$${\displaystyle U={\frac {1}{2}}k\,\Delta x^{2}}$$

جوهر المرونة هو قابلية الانعكاس . فالقوى المؤثرة على مادة مرنة تنقل الطاقة إليها، والتي بدورها، عند إطلاق تلك الطاقة إلى محيطها، تستعيد شكلها الأصلي. مع ذلك، لكل مادة حدودٌ لدرجة التشوه التي يمكنها تحملها دون أن تنكسر أو يتغير تركيبها الداخلي بشكل لا رجعة فيه. لذا، تتضمن خصائص المواد الصلبة تحديد حدود مرونتها، عادةً بدلالة الانفعالات. فبعد تجاوز حد المرونة، لا تعود المادة قادرة على تخزين كل الطاقة الناتجة عن الشغل الميكانيكي المؤثر عليها في صورة طاقة مرنة.

الطاقة المرنة للمادة أو داخلها هي طاقة ساكنة للتكوين. وهي تُعادل الطاقة المُخزّنة أساسًا بتغيير المسافات بين النوى الذرية. أما الطاقة الحرارية فهي التوزيع العشوائي للطاقة الحركية داخل المادة، مما يُؤدي إلى تقلبات إحصائية للمادة حول تكوين التوازن. ومع ذلك، يوجد بعض التفاعل. على سبيل المثال، بالنسبة لبعض الأجسام الصلبة، قد يُولّد الالتواء والانحناء والتشوهات الأخرى طاقة حرارية، مما يُؤدي إلى ارتفاع درجة حرارة المادة. غالبًا ما تنتقل الطاقة الحرارية في المواد الصلبة بواسطة موجات مرنة داخلية، تُسمى الفونونات . عادةً ما تُنتج الموجات المرنة الكبيرة على نطاق جسم معزول اهتزازات ماكروسكوبية. على الرغم من أن المرونة ترتبط في الغالب بميكانيكا الأجسام أو المواد الصلبة، إلا أن حتى الأدبيات المبكرة في الديناميكا الحرارية الكلاسيكية تُعرّف وتستخدم "مرونة المائع" بطرق تتوافق مع التعريف الواسع الوارد في المقدمة أعلاه. ^{[ 2 ] : 107 وما يليها.}

تشمل المواد الصلبة مواد بلورية معقدة ذات سلوكيات معقدة أحيانًا. في المقابل، يُظهر سلوك الموائع القابلة للانضغاط، وخاصة الغازات، جوهر الطاقة المرنة مع تعقيد ضئيل. الصيغة الديناميكية الحرارية البسيطة هي:${\displaystyle dU=-P\,dV\ ,}$حيث يُمثل dU تغيرًا متناهيًا في الطاقة الداخلية القابلة للاسترداد U ، و P الضغط المنتظم (القوة لكل وحدة مساحة) المُطبق على عينة المادة محل الدراسة، و dV التغير المتناهي في الحجم الذي يُقابل التغير في الطاقة الداخلية. تظهر الإشارة السالبة لأن dV يكون سالبًا عند الضغط عليه بضغط موجب، مما يزيد أيضًا من الطاقة الداخلية. عند عكس الضغط، يكون الشغل المبذول من قِبل النظام هو معكوس التغير في طاقته الداخلية المُقابل لـ dV الموجب الناتج عن زيادة الحجم. يفقد النظام الطاقة الداخلية المُخزنة عند بذل شغل على محيطه. الضغط هو الإجهاد، والتغير الحجمي يُقابله تغير في المسافة النسبية بين النقاط داخل المادة. تتكرر علاقة الإجهاد-الانفعال-الطاقة الداخلية في الصيغة السابقة في صيغ الطاقة المرنة للمواد الصلبة ذات البنية البلورية المعقدة.

تُخزّن مكونات الأنظمة الميكانيكية طاقة وضع مرنة عند تشوّهها بفعل القوى المؤثرة عليها. تنتقل الطاقة إلى الجسم عن طريق الشغل عندما تُزيحه قوة خارجية أو تُشوّهه. كمية الطاقة المنتقلة هي حاصل الضرب الاتجاهي القياسي للقوة في إزاحة الجسم. عند تطبيق القوى على النظام، تتوزع داخليًا على مكوناته. وبينما يُمكن تخزين جزء من الطاقة المنتقلة كطاقة حركية للسرعة المكتسبة، ينتج عن تشوّه مكونات الجسم طاقة مرنة مُخزّنة.

يُعدّ الزنبرك الملفوف مثالًا نموذجيًا للمكونات المرنة. ويُحدد الأداء المرن الخطي للزنبرك بثابت تناسب يُسمى ثابت الزنبرك. يُرمز لهذا الثابت عادةً بالرمز k (انظر أيضًا قانون هوك )، ويعتمد على هندسة الزنبرك، ومساحة مقطعه العرضي، وطوله قبل التشوه، ونوع المادة المصنوع منها. ضمن نطاق معين من التشوه، يظل k ثابتًا، ويُعرَّف بأنه النسبة السالبة للإزاحة إلى مقدار قوة الاستعادة التي يُنتجها الزنبرك عند تلك الإزاحة.

$${\displaystyle k=-{\frac {F_{r}}{L-L_{o}}}}$$

قد يكون الطول المشوه، الناتج عن قيمة _معينة لـ L ، أكبر أو أصغر من L₀ ، وهو الطول غير المشوه _{. لذا، للحفاظ على قيمة k موجبة، يجب تحديد Fₚ كمركبة} متجهة لقوة الاستعادة ، وتكون إشارتها سالبة عندما _L > L₀ وموجبة عندما L < L₀ . إذا تم اختصار الإزاحة إلى$${\displaystyle L-L_{o}=x,}$$عندئذٍ يمكن كتابة قانون هوك بالشكل المعتاد$${\displaystyle F_{r}=-k\,x.}$$

يمكن حساب الطاقة الممتصة والمخزنة في الزنبرك باستخدام قانون هوك لحساب قوة الاستعادة كمقياس للقوة المؤثرة. ويتطلب ذلك افتراضًا صحيحًا في معظم الحالات، وهو أن مقدار القوة المؤثرة في لحظة معينة يتناسب طرديًا مع مربع الطاقة.

لكل إزاحة متناهية الصغر dx ، تكون القوة المؤثرة هي kx ، وحاصل ضربهما هو مقدار الطاقة المنقولة إلى الزنبرك dU . وبالتالي، فإن إجمالي الطاقة المرنة المنقولة إلى الزنبرك من الإزاحة الصفرية إلى الطول النهائي L هو التكامل$${\displaystyle U=\int _{0}^{L-L_{o}}k\,x\,dx={\tfrac {1}{2}}k(L-L_{o})^{2}}$$

بالنسبة لمادة ذات معامل يونغ Y (وهو نفسه معامل المرونة λ )، ومساحة مقطع عرضي A0 _، وطول ابتدائي l0 _، والتي يتم تمديدها بطول معين،${\displaystyle \Delta l}$: $${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}}$$حيث U _e هي طاقة الوضع المرنة.

تُعطى طاقة الوضع المرنة لكل وحدة حجم بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}$$ أين${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}$هو الإجهاد في المادة.

في الحالة العامة، تُعطى الطاقة المرنة بواسطة الطاقة الحرة لكل وحدة حجم f كدالة لمكونات موتر الإجهاد ε _ij$${\displaystyle f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}}$$ حيث λ و μ هما معاملا لاميه المرنان، ونستخدم اصطلاح جمع أينشتاين . مع ملاحظة العلاقة الديناميكية الحرارية بين مركبات موتر الإجهاد ومركبات موتر الانفعال، ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},}$$ حيث يشير الرمز السفلي T إلى ثبات درجة الحرارة، نجد أنه إذا كان قانون هوك صحيحًا، فيمكننا كتابة كثافة الطاقة المرنة على النحو التالي: $${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.}$$

يمكن أن تتشوه المادة في حالتها الصلبة بطرق عديدة ومختلفة: كالتمدد، والقص، والانحناء، والالتواء، وغيرها. يساهم كل نوع من أنواع التشوه في الطاقة المرنة للمادة المشوهة. في الإحداثيات المتعامدة ، تكون الطاقة المرنة لكل وحدة حجم الناتجة عن الإجهاد عبارة عن مجموع المساهمات التالية: $${\displaystyle U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl},}$$ أين${\displaystyle C_{ijkl}}$هو موتر من الرتبة الرابعة ، يُسمى موتر المرونة أو موتر الصلابة ^{[ 3 ]} وهو تعميم لمعاملات المرونة للأنظمة الميكانيكية، و${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$يمثل موتر الإجهاد ( تم استخدام ترميز جمع أينشتاين للدلالة على الجمع على المؤشرات المتكررة). قيم${\displaystyle C_{ijkl}}$يعتمد ذلك على البنية البلورية للمادة: في الحالة العامة، بسبب الطبيعة المتناظرة لـ${\displaystyle \sigma }$و${\displaystyle \varepsilon }$يتكون موتر المرونة من 21 معامل مرونة مستقل. ^{[ 4 ]} ويمكن تقليل هذا العدد أكثر بحسب تناظر المادة: 9 للبلورة المعينية القائمة ، و5 للبنية السداسية ، و3 للتناظر المكعب . ^{[ 5 ]} وأخيرًا، بالنسبة للمادة المتجانسة ، يوجد معاملان مستقلان فقط، وهما:${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}$، أين${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$هي ثوابت لاميه ، و${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دلتا كرونكر .

يمكن تعريف موتر الإجهاد نفسه ليعكس التشوه بأي طريقة تؤدي إلى الثبات تحت الدوران الكلي، ولكن التعريف الأكثر شيوعًا فيما يتعلق بالموترات المرنة التي يتم التعبير عنها عادةً هو تعريف الإجهاد على أنه الجزء المتناظر من تدرج الإزاحة مع قمع جميع الحدود غير الخطية: $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$$ أين${\displaystyle u_{i}}$هو الإزاحة عند نقطة في${\displaystyle i}$الاتجاه -th و${\displaystyle \partial _{j}}$هي المشتقة الجزئية في${\displaystyle j}$الاتجاه -th. لاحظ أن: $${\displaystyle \varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}}$$ حيث لا يُقصد الجمع. على الرغم من أن تدوين أينشتاين الكامل يجمع على أزواج المؤشرات المرفوعة والمخفضة، إلا أن قيم مكونات موتر المرونة والإجهاد تُعبر عنها عادةً بجميع المؤشرات المخفضة. لذا، احذر (كما هو الحال هنا) من أنه في بعض السياقات، لا يعني المؤشر المتكرر جمع قيم ذلك المؤشر (${\displaystyle j}$(في هذه الحالة)، ولكن مجرد عنصر واحد من عناصر الموتر.

• الساعة
• الخاصية الشعرية المرنة
• مرونة المطاط

• إيشيلبي، جيه دي (نوفمبر 1975). "موتر الطاقة-الزخم المرن". مجلة المرونة . 5 ( 3-4 ): 321-335 . doi : 10.1007/BF00126994 . S2CID 121320629 .