مرونة المطاط

يتصور نموذج الانحناء الجزيئي سلسلة شبكية نموذجية كسلسلة من المتجهات التي تتبع محيط السلسلة داخل أنبوبها. يمثل كل متجه المسافة المتوازنة بين طرفي الانحناء. لا يُعد المسار ثلاثي الأبعاد الفعلي للسلسلة ذا أهمية، إذ يُفترض أن جميع القوى المرنة تعمل على طول محيط السلسلة. بالإضافة إلى طول محيط السلسلة، فإن المعلمة المهمة الأخرى الوحيدة هي تعرجها ، أي نسبة طول محيطها إلى المسافة بين طرفيها. عند تمدد السلسلة استجابةً لإجهاد مطبق، يُفترض أن القوة المرنة المستحثة تنتشر بانتظام على طول محيطها. لنفترض سلسلة شبكية تكون نقاط نهايتها (عقد الشبكة) محاذية تقريبًا لمحور إجهاد الشد. عند تطبيق الإجهاد الأولي على عينة المطاط، تبدأ عقد الشبكة عند نهايات السلسلة بالتباعد، وتتمدد جميع متجهات الانحناء على طول المحيط في آن واحد. فيزيائيًا، يُجبر الإجهاد المُطبق الانحناءات على التمدد بما يتجاوز مسافاتها عند التوازن الحراري، مما يُسبب انخفاضًا في إنتروبيتها. وتُؤدي الزيادة في الطاقة الحرة المصاحبة لهذا التغير في الإنتروبيا إلى نشوء قوة مرنة (خطية) تُعاكس الإجهاد. يُمكن تقدير ثابت القوة لنظام الإجهاد المنخفض عن طريق أخذ عينات من مسارات ديناميكيات الجزيئات (MD) لانحناء (أي سلاسل قصيرة) مُكوّنة من 2-3 وحدات إيزوبرين، عند درجات حرارة مُناسبة (مثل 300 كلفن). ^{[ 8 ]} من خلال أخذ العديد من عينات الإحداثيات خلال عمليات المحاكاة، يُمكن الحصول على توزيعات احتمالية المسافة بين طرفي الانحناء. وبما أن هذه التوزيعات (التي تُصبح تقريبًا غاوسية) ترتبط ارتباطًا مباشرًا بعدد الحالات، فقد ترتبط بإنتروبيا الانحناء عند أي مسافة بين طرفيه. من خلال التفاضل العددي لتوزيع الاحتمالية، يمكن إيجاد التغير في الإنتروبيا، وبالتالي الطاقة الحرة ، بالنسبة للمسافة بين طرفي الانحناء. وقد وُجد أن نموذج القوة لهذا النظام خطي ويتناسب طرديًا مع درجة الحرارة مقسومة على درجة تعرج السلسلة.

في مرحلة ما من نظام التمدد المنخفض (أي عندما تتمدد جميع الانحناءات على طول السلسلة في آن واحد)، يصبح من الأفضل طاقيًا أن يتحول أحد الانحناءات إلى شكل ممتد لزيادة تمدد السلسلة. يمكن للإجهاد المُطبق أن يُجبر وحدة إيزوبرين واحدة داخل الانحناء على اتخاذ شكل ممتد، مما يزيد قليلاً من المسافة بين طرفي السلسلة، والطاقة اللازمة لذلك أقل من الطاقة اللازمة لمواصلة تمدد جميع الانحناءات في آن واحد. تشير العديد من التجارب ^{[ 16 ]} بقوة إلى أن تمدد شبكة المطاط يصاحبه انخفاض في الإنتروبيا. كما هو موضح في الشكل 2، تحتوي وحدة الإيزوبرين على ثلاث روابط أحادية من نوع كربون-كربون، وهناك زاويتان أو ثلاث زوايا دوران مفضلة (اتجاهات) حول هذه الروابط ذات طاقة دنيا. من بين التشكيلات الدورانية الثمانية عشر المسموح بها ^{[ 9 ]} ، ستة منها فقط لها مسافات ممتدة من طرف إلى طرف، وإجبار وحدات الأيزوبرين في السلسلة على التواجد في مجموعة فرعية من الحالات الممتدة يقلل من عدد التشكيلات الدورانية المتاحة للحركة الحرارية. هذا الانخفاض في عدد الحالات المتاحة هو ما يؤدي إلى انخفاض الإنتروبيا. مع استمرار استقامة السلسلة، تُجبر جميع وحدات الأيزوبرين في السلسلة في النهاية على اتخاذ تشكيلات ممتدة، وتُعتبر السلسلة "مشدودة". يمكن تقدير ثابت القوة لاستطالة السلسلة من التغير الناتج في الطاقة الحرة المرتبط بهذا التغير في الإنتروبيا. ^{[ 9 ]} كما هو الحال في النظام IA، فإن نموذج القوة لهذا النظام خطي ويتناسب مع درجة الحرارة مقسومة على تعرج السلسلة.

عندما تُجبر جميع وحدات الأيزوبرين في سلسلة شبكية على اتخاذ عدد قليل من التكوينات الدورانية الممتدة، تصبح السلسلة مشدودة. ويمكن اعتبارها مستقيمة إلى حد كبير، باستثناء المسار المتعرج الذي تشكله روابط الكربون-كربون على طول محيط السلسلة. ومع ذلك، لا يزال من الممكن حدوث مزيد من التمدد من خلال تشوهات الروابط (مثل زيادة زاوية الرابطة)، وتمدد الروابط، ودوران الزاوية ثنائية السطوح . هذه القوى تشبه قوى الزنبرك ولا ترتبط بتغيرات في الإنتروبيا. يمكن تمديد السلسلة المشدودة بنسبة 40% فقط. عند هذه النقطة، تكون القوة على طول السلسلة كافية لتمزيق الرابطة التساهمية بين ذرات الكربون ميكانيكيًا . وقد حُسب حد قوة الشد هذا ^{[ 10 ]} باستخدام محاكاة الكيمياء الكمية ، ويبلغ حوالي 7  نانونيوتن، أي ما يقارب ألف ضعف قوى السلسلة الإنتروبية عند الإجهاد المنخفض. تتراوح الزوايا بين روابط الكربون-كربون المتجاورة في سلسلة الأيزوبرين بين 115 و120 درجة تقريبًا، والقوى اللازمة للحفاظ على هذه الزوايا كبيرة جدًا، لذا فإن السلسلة الرئيسية داخل كل وحدة تتبع مسارًا متعرجًا دائمًا، حتى عند انكسار الرابطة. تفسر هذه الآلية الارتفاع الحاد في الإجهاد المرن، الذي يُلاحظ عند الإجهادات العالية (الشكل 1).

على الرغم من أن الشبكة تُوصف بالكامل بمعاملين فقط (عدد عُقد الشبكة لكل وحدة حجم، وطول فك الارتباط الإحصائي للبوليمر، أو طول كون)، فإن طريقة اتصال السلاسل معقدة للغاية. يوجد تباين كبير في أطوال السلاسل، ومعظمها غير متصل بأقرب عقدة مجاورة. يُوصف كل من طول السلسلة والمسافة بين طرفيها بتوزيعات احتمالية. يشير مصطلح "المورفولوجيا" إلى هذا التعقيد. إذا تم خلط عامل الربط المتشابك جيدًا، فإن احتمال تحول أي وحدة إيزوبرين إلى عقدة في الشبكة يكون متساويًا. بالنسبة لبيروكسيد ثنائي كوميل، فإن كفاءة الربط المتشابك في المطاط الطبيعي تساوي واحدًا، ^{[ 17 ]} ولكن هذا ليس هو الحال بالنسبة للكبريت. ^{[ 18 ]} تُحدد المورفولوجيا الأولية للشبكة من خلال عمليتين عشوائيتين: احتمال حدوث ربط متشابك في أي وحدة إيزوبرين، وطبيعة مسار ماركوف العشوائي لتشكيل السلسلة. ^{[ 11 ] [ 12 ]} يتم توليد دالة توزيع الاحتمال لمدى "ابتعاد" أحد طرفي السلسلة عن الطرف الآخر بواسطة متتالية ماركوف. ^{[ 19 ]} تربط دالة كثافة الاحتمال الشرطية هذه طول السلسلة${\displaystyle n}$بوحدات طول كون${\displaystyle b}$إلى المسافة من البداية إلى النهاية${\displaystyle r}$:

$${\displaystyle P(r|n)=4\pi r^{2}\left({\frac {2nb^{2}\pi }{3}}\right)^{-{3}/{2}}\exp \left(-{\frac {3r^{2}}{2nb^{2}}}\right)\,}$$

1

إن احتمال أن تصبح أي وحدة من وحدات الأيزوبرين جزءًا من عقدة الربط المتقاطع يتناسب مع نسبة تركيزات جزيئات الربط المتقاطع (مثل بيروكسيد ثنائي الكوميل) إلى وحدات الأيزوبرين:$${\displaystyle p_{x}=2{\frac {\text{[الرابط المتشابك]}}{\text{[الأيزوبرين]}}}}$$ينتج العامل 2 عن مشاركة وحدتين من الإيزوبرين (واحدة من كل سلسلة) في الرابطة المتشابكة. احتمال وجود سلسلة تحتوي على${\displaystyle N}$تُعطى وحدات الأيزوبرين بالصيغة التالية:

$${\displaystyle P(N)=p_{x}{\left(1-p_{x}\right)}^{N-1}\,,}$$

3

أين${\displaystyle N\geq 1}$يمكن فهم المعادلة ببساطة على أنها احتمال ألا تكون وحدة الأيزوبرين رابطة متقاطعة (1− p _x ) في N −1 وحدة متتالية على طول السلسلة. وبما أن P ( N ) يتناقص مع N ، فإن السلاسل الأقصر تكون أكثر احتمالاً من السلاسل الأطول. تجدر الإشارة إلى أن عدد أجزاء العمود الفقري المستقلة إحصائيًا لا يساوي عدد وحدات الأيزوبرين. بالنسبة لشبكات المطاط الطبيعي، يحتوي طول كون على حوالي 2.2 وحدة أيزوبرين، لذا${\displaystyle N\sim 2.2n}$يرتبط حاصل ضرب المعادلتين ( 1 ) و( 3 ) ( توزيع الاحتمال المشترك ) بطول سلسلة الشبكة (${\displaystyle N}$) والمسافة من البداية إلى النهاية (${\displaystyle r}$) بين عقد الربط المتقاطع النهائية:

$${\displaystyle P(r,N)\;=\;P(N)P(r|N)\;=\;p_{x}{\left(1-p_{x}\right)}^{N-1}\,4\pi r^{2}\left({\frac {2nb^{2}\pi }{3}}\right)^{-{3}/{2}}\exp \left(-{\frac {3r^{2}}{2nb^{2}}}\right)}$$

4

يمكن ملاحظة البنية المعقدة لشبكة المطاط الطبيعي في الشكل 3، الذي يوضح كثافة الاحتمال مقابل المسافة بين طرفي السلسلة (بوحدات متوسط ​​المسافة بين العقد) لسلسلة "متوسطة". عند كثافة التشابك التجريبية الشائعة البالغة 4 × 10¹⁹ ^{سم⁻³ ،} تحتوي السلسلة المتوسطة على حوالي 116 وحدة إيزوبرين (52 طول كون) ويبلغ طولها المحيطي حوالي 50 نانومترًا. يوضح الشكل 3 أن جزءًا كبيرًا من السلاسل يمتد عبر عدة مسافات بين العقد، أي أن  نهايات السلسلة تتداخل مع سلاسل شبكية أخرى. يحتوي المطاط الطبيعي، المتشابك مع بيروكسيد ثنائي كوميل، على روابط متشابكة رباعية الوظائف (أي أن كل عقدة تشابك تنبثق منها 4 سلاسل شبكية). اعتمادًا على درجة تعرجها الأولية واتجاه نهاياتها بالنسبة لمحور الإجهاد، يمكن أن يكون لكل سلسلة مرتبطة بعقدة تشابك نشطة ثابت قوة مرنة مختلف أثناء مقاومتها للإجهاد المطبق. للحفاظ على توازن القوى (قوة محصلة صفرية) على كل عقدة من عقد التشابك، قد تُجبر العقدة على التحرك بالتزامن مع السلسلة ذات أعلى ثابت قوة لتمدد السلسلة. هذه الحركة المعقدة للعقد، الناجمة عن الطبيعة العشوائية لبنية الشبكة، هي ما يجعل دراسة الخصائص الميكانيكية لشبكات المطاط بالغة الصعوبة. عند تعرض الشبكة للإجهاد، تظهر مسارات مكونة من هذه السلاسل الأكثر امتدادًا تمتد عبر العينة بأكملها، وهذه المسارات هي التي تتحمل معظم الإجهاد عند الإجهادات العالية.

لحساب الاستجابة المرنة لعينة مطاطية، يجب دمج نماذج قوى السلسلة الثلاثة (الأنظمة Ia وIb وII) مع مورفولوجيا الشبكة في نموذج شبكي ميكانيكي دقيق. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} باستخدام توزيع الاحتمال المشترك في المعادلة ( 4 ) ونماذج امتداد القوة، يمكن تصميم خوارزميات عددية لإنشاء عنصر حجمي تمثيلي دقيق للشبكة، ومحاكاة الإجهاد الميكانيكي الناتج عند تعرضه للانفعال. تُستخدم خوارزمية استرخاء تكرارية للحفاظ على توازن تقريبي للقوى عند كل عقدة من عقد الشبكة عند تطبيق الانفعال. عند استخدام ثابت القوة المُحسَب للانحناءات التي تحتوي على وحدتين أو ثلاث وحدات من الإيزوبرين (ما يعادل تقريبًا طول كون واحد) في المحاكاة العددية، وُجد أن الإجهاد المُتوقع يتوافق مع النتائج التجريبية. تُظهر نتائج هذه الحسابات ^{[ 18 ]} في الشكل 1 (الخط الأحمر المتقطع) للمطاط الطبيعي المُتشابك بالكبريت، وتُقارن بالبيانات التجريبية ^{[ 20 ]} (الخط الأزرق المتصل). تتنبأ هذه المحاكاة أيضًا بارتفاع حاد في الإجهاد مع ازدياد توتر سلاسل الشبكة، وصولًا إلى فشل المادة نتيجةً لتمزق الروابط. في حالة المطاط الطبيعي المُتشابك بالكبريت، تكون روابط الكبريت (SS) في التشابك أضعف بكثير من روابط الكربون-كربون (CC) على هيكل السلسلة، وهي نقاط فشل الشبكة. يُمثل ثبات الإجهاد المُحاكى، بدءًا من انفعال يبلغ حوالي 7، القيمة الحدية للشبكة. لا يُمكن تحمل إجهادات أكبر من 7 ميجا باسكال تقريبًا، فتفشل الشبكة. بالقرب من حد الإجهاد هذا، تتنبأ المحاكاة ^{[ 15 ]} بأن أقل من 10% من السلاسل تكون مشدودة، أي في نظام استطالة السلسلة العالية، وأن أقل من 0.1% من السلاسل قد تمزقت. رغم أن نسبة التمزق المنخفضة للغاية قد تبدو مفاجئة، إلا أنها لا تتعارض مع التجربة الشائعة المتمثلة في شدّ شريط مطاطي حتى ينقطع. فالاستجابة المرنة للمطاط بعد انقطاعه لا تختلف بشكل ملحوظ عن حالته الأصلية.

تتبع السلسلة المتصلة بحرية، والتي تسمى أيضًا السلسلة المثالية، نموذج المشي العشوائي. على المستوى المجهري، يفترض المشي العشوائي ثلاثي الأبعاد لسلسلة بوليمر أن المسافة الإجمالية من طرف إلى طرف تُعبر عنها بدلالة الاتجاهات س، ص، ع.

$${\displaystyle {\vec {R}}=R_{x}{\hat {x}}+R_{y}{\hat {y}}+R_{z}{\hat {z}}}$$

في النموذج،${\displaystyle b}$هو طول قطعة صلبة،${\displaystyle N}$هو عدد القطع ذات الطول${\displaystyle b}$،${\displaystyle R}$هي المسافة بين الطرفين الثابت والحر، و${\displaystyle L_{\text{c}}}$هو "طول الكفاف" أو${\displaystyle Nb}$فوق درجة حرارة التحول الزجاجي ، تتذبذب سلسلة البوليمر و${\displaystyle r}$تتغير بمرور الوقت. التوزيع الاحتمالي للسلسلة هو حاصل ضرب التوزيعات الاحتمالية للمكونات الفردية، ويُعطى بالتوزيع الغاوسي التالي: $${\displaystyle P({\vec {R}})=P(R_{x})P(R_{y})P(R_{z})=\left({\frac {2nb^{2}\pi }{3}}\right)^{-{3}/{2}}\exp \left({\frac {-3R^{2}}{2Nb^{2}}}\right)}$$

لذا، فإن متوسط ​​المسافة بين طرفي المجموعة هو ببساطة التكامل القياسي لتوزيع الاحتمالية على كامل الفضاء. لاحظ أن الحركة قد تكون للأمام أو للخلف، وبالتالي فإن المتوسط ​​الصافي${\displaystyle \langle R\rangle }$ستكون قيمتها صفرًا. ومع ذلك، يمكن أن يكون الجذر التربيعي المتوسط ​​مقياسًا مفيدًا للمسافة.

$${\displaystyle {\begin{align}\langle R\rangle &=0\\\langle R^{2}\rangle &=\int _{0}^{\infty }R^{2}4\pi R^{2}P({\vec {R}})dR=Nb^{2}\\\langle R^{2}\rangle ^{\frac {1}{2}}&={\sqrt {N}}ب\النهاية{محاذاة}}}$$

تشير نظرية فلوري لمرونة المطاط إلى أن مرونة المطاط لها أصول إنتروبية في المقام الأول. وباستخدام المعادلات الأساسية التالية لطاقة هيلمهولتز الحرة ومناقشتها حول الإنتروبيا، يمكن اشتقاق القوة المتولدة من تشوه سلسلة مطاطية عن شكلها الأصلي غير الممتد.$أوميغا$يمثل عدد التشكيلات الممكنة لسلسلة البوليمر. وبما أن التشوه لا ينطوي على تغير في المحتوى الحراري، فيمكن حساب التغير في الطاقة الحرة ببساطة على أنه التغير في الإنتروبيا.${\displaystyle -T\Delta S}$لاحظ أن معادلة القوة تشبه سلوك الزنبرك وتتبع قانون هوك :${\displaystyle F=kx}$حيث F هي القوة، و k هو ثابت الزنبرك، و x هي المسافة. عادةً، يمكن استخدام نموذج نيو-هوكيان على البوليمرات المتشابكة للتنبؤ بعلاقات الإجهاد والانفعال الخاصة بها. $$\displaystyle \Omega =C\exp \left({\frac {-3{\vec {R}}^{2}}{2Nb^{2}}}\right)}$$$${\displaystyle S=k_{\text{B}}\ln \Omega \,\approx {\frac {-3k_{\text{B}}{\vec {R}}^{2}}{2Nb^{2}}}}$$$${\displaystyle \Delta F({\vec {R}})\approx -T\Delta S_{d}({\vec {R}}^{2})=C+{\frac {3k_{\text{B}}T}{Nb^{2}}}{\vec {R}}^{2}}$$$${\displaystyle f={\frac {dF({\vec {R}})}{d{\vec {R}}}}={\frac {d}{d{\vec {R}}}}\left({\frac {3k_{\text{B}}T{\vec {R}}^{2}}{2Nb^{2}}}\right)={\frac {3k_{\text{B}}T}{Nb^{2}}}{\vec {R}}}$$

لاحظ أن معامل المرونة${\displaystyle 3k_{\text{B}}T/Nb}$تعتمد مرونة المطاط على درجة الحرارة. فإذا ارتفعت درجة حرارة المطاط، يزداد معامل المرونة أيضاً. وهذا هو السبب في أن المطاط تحت ضغط ثابت ينكمش عند ارتفاع درجة حرارته.

يمكننا توسيع نظرية فلوري لتشمل منظورًا ماكروسكوبيًا، حيث تتم مناقشة مادة المطاط الصلبة. لنفترض أن البعد الأصلي لمادة المطاط هو${\displaystyle L_{x}}$،${\displaystyle L_{y}}$و${\displaystyle L_{z}}$ويمكن بعد ذلك التعبير عن الشكل المشوه بتطبيق نسبة تمدد فردية${\displaystyle \lambda _{i}}$إلى الطول (${\displaystyle \lambda _{x}L_{x}}$،${\displaystyle \lambda _{y}L_{y}}$،${\displaystyle \lambda _{z}L_{z}}$). لذا، على المستوى المجهري، يمكن التعبير عن سلسلة البوليمر المشوهة أيضاً بنسبة التمدد:${\displaystyle \lambda _{x}R_{x}}$،${\displaystyle \lambda _{y}R_{y}}$،${\displaystyle \lambda _{z}R_{z}}$ويمكن التعبير عن تغير الطاقة الحرة الناتج عن التشوه على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta F_{\text{def}}({\vec {R}})&=-{\frac {3k_{\text{B}}T{\vec {R}}^{2}}{2Nb^{2}}}=-{\frac {3k_{\text{B}}T\left(\left(R_{x}^{2}-R_{x0}^{2}\right)+\left(R_{y}^{2}-R_{y0}^{2}\right)+\left(R_{z}^{2}-R_{z0}^{2}\right)\right)}{2Nb^{2}}}\\&=-{\frac {3k_{\text{B}}T\left(\left(\lambda _{x}^{2}-1\right)R_{x0}^{2}+\left(\lambda _{y}^{2}-1\right)R_{y0}^{2}+\left(\lambda _{z}^{2}-1\right)R_{z0}^{2}\right)}{2Nb^{2}}}\end{aligned}}}$$

بافتراض أن المطاط متشابك ومتجانس الخواص، فإن نموذج المشي العشوائي يعطي${\displaystyle R_{x}}$،${\displaystyle R_{y}}$و${\displaystyle R_{z}}$تتوزع هذه العناصر وفقًا للتوزيع الطبيعي. لذلك، فهي متساوية في المساحة، وكل منها يمثل ثلث المسافة الإجمالية من طرف إلى طرف للسلسلة.${\displaystyle \langle R_{x0}^{2}\rangle =\langle R_{y0}^{2}\rangle =\langle R_{z0}^{2}\rangle =\langle R^{2}\rangle /3}$بتطبيق معادلة تغير الطاقة الحرة أعلاه، من السهل الحصول على: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta F_{\text{def}}({\vec {R}})&=-{\frac {k_{\text{B}}Tn_{s}\langle R^{2}\rangle \left(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2}-3\right)}{2Nb^{2}}}\\&=-{\frac {k_{\text{B}}Tn_{s}\langle R^{2}\rangle \left(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2}-3\right)}{2R_{0}^{2}}}\end{aligned}}}$$

التغير في الطاقة الحرة لكل وحدة حجم هو ببساطة: $${\displaystyle \Delta f_{\text{def}}={\frac {\Delta F_{\text{def}}({\vec {R}})}{V}}=-{\frac {k_{\text{B}}Tv_{s}\beta \left(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2}-3\right)}{2}}}$$ أين${\displaystyle n_{s}}$يمثل عدد الخيوط في الشبكة، ويعني الرمز السفلي "def" "التشوه".${\displaystyle v_{s}=n_{s}/V}$، وهو عدد سلاسل البوليمر لكل وحدة حجم،${\displaystyle \beta =\langle R^{2}\rangle /R_{0}^{2}}$وهي النسبة بين المسافة بين طرفي السلسلة والمسافة النظرية التي تخضع لإحصاءات المشي العشوائي. إذا افترضنا عدم الانضغاط، فإن حاصل ضرب نسب التمدد يساوي 1، مما يعني عدم وجود تغيير في الحجم.${\displaystyle \lambda _{x}\lambda _{y}\lambda _{z}=1}$.

دراسة حالة: التشوه أحادي المحور:

في المطاط المشوه أحادي المحور، لأن${\displaystyle \lambda _{x}\lambda _{y}\lambda _{z}=1}$من المفترض أن${\displaystyle \lambda _{x}=\lambda _{y}=\lambda _{z}^{-1/2}}$إذن، معادلة الطاقة الحرة السابقة لكل وحدة حجم هي: $${\displaystyle \Delta f_{\text{def}}={\frac {\Delta F_{\text{def}}({\vec {R}})}{V}}=-{\frac {k_{\text{B}}Tv_{s}\beta \left(\lambda _{x}^{2}+\lambda _{y}^{2}+\lambda _{z}^{2}-3\right)}{2}}={\frac {k_{\text{B}}Tv_{s}\beta }{2}}\left(\lambda _{z}^{2}+{\frac {2}{\lambda _{z}}}-3\right)}$$

الإجهاد الهندسي ( بحسب التعريف) هو المشتق الأول للطاقة بدلالة نسبة التمدد، وهو ما يعادل مفهوم الانفعال: $${\displaystyle \sigma _{\text{eng}}={\frac {d(\Delta f_{\text{def}})}{\lambda _{z}}}=k_{\text{B}}Tv_{s}\beta \left(\lambda _{z}-{\frac {1}{\lambda _{z}^{2}}}\right)}$$ ومعامل يونغ${\displaystyle E}$يُعرَّف بأنه مشتق الإجهاد بالنسبة للانفعال، والذي يقيس صلابة المطاط في التجارب المختبرية.

$${\displaystyle E={\frac {d(\sigma _{\text{eng}})}{d\lambda _{z}}}=k_{\text{B}}Tv_{s}\beta \left.\left(1+{\frac {2}{\lambda _{z}^{3}}}\right)\right|_{\lambda _{z}=1}=3k_{\text{B}}Tv_{s}\beta ={\frac {3\rho \beta RT}{M_{s}}}}$$أين${\displaystyle v_{s}=\rho N_{a}/M_{s}}$،${\displaystyle \rho }$هي كثافة كتلة السلسلة،${\displaystyle M_{s}}$يمثل متوسط ​​الوزن الجزيئي العددي لسلسلة شبكية بين الروابط المتشابكة. يربط هذا النوع من التحليل ^{[ 30 ]} النظرية الديناميكية الحرارية لمرونة المطاط بالمعايير القابلة للقياس تجريبياً. إضافةً إلى ذلك، فإنه يُقدم رؤىً حول حالة التشابك في المواد.

يأخذ نموذج السلسلة الشبيهة بالدودة (WLC) الطاقة اللازمة لثني الجزيء في الاعتبار. المتغيرات هي نفسها باستثناء أن${\displaystyle L_{\text{p}}}$، طول الاستمرارية، يحل محل${\displaystyle b}$ثم، تتبع القوة هذه المعادلة: $${\displaystyle F\approx {\frac {k_{\text{B}}T}{L_{\text{p}}}}\left({\frac {1}{4\left(1-{\frac {r}{L_{\rm {c}}}}\right)^{2}}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {r}{L_{\text{c}}}}\right)}$$

لذلك، عندما لا توجد مسافة بين نهايتي السلسلة ( r = 0)، فإن القوة المطلوبة للقيام بذلك تكون صفرًا، ولتمديد سلسلة البوليمر بالكامل (${\displaystyle r=L_{\text{c}}}$يتطلب الأمر قوة لا نهائية، وهو أمر بديهي. بيانيًا، تبدأ القوة من نقطة الأصل وتزداد خطيًا في البداية مع${\displaystyle r}$ثم تستقر القوة، لكنها تزداد مجدداً في النهاية وتقترب من اللانهاية مع اقتراب طول السلسلة من${\displaystyle L_{\text{c}}}$.