سلسال

معادلة السلسلة في الإحداثيات الديكارتية لها الشكل ^{[ 35 ]}

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)={\frac {a}{2}}\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right),}$$ حيث cosh هي دالة جيب التمام الزائدية ، و a هي المسافة بين أدنى نقطة ومحور السينات. ^{[ 39 ]} جميع منحنيات السلسلة متشابهة ، لأن تغيير المعامل a يعادل تغييرًا موحدًا في مقياس المنحنى.

معادلة ويويل للسلسلة هي ^{[ 35 ]}$${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {s}{a}},}$$ أين${\displaystyle \varphi }$هي الزاوية المماسية و s طول القوس .

الاشتقاق يعطي $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{ds}}={\frac {\cos ^{2}\varphi {a}},}$$ والقضاء على${\displaystyle \varphi }$يعطي معادلة سيزارو ^{[ 40 ]}$${\displaystyle \kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}},}$$ أين${\displaystyle \kappa }$هو الانحناء .

إذن نصف قطر الانحناء هو$${\displaystyle \rho =a\sec ^{2}\varphi ,}$$ وهو طول العمودي بين المنحنى والمحور السيني . ^{[ 41 ]}

عند دحرجة قطع مكافئ على خط مستقيم، يكون منحنى الروليت الناتج عن بؤرته منحنى سلسلي. [42] غلاف دليل القطع ^{المكافئ هو أيضًا} منحنى سلسلي . [ ^{43 ] المنحنى} الملتف من الرأس، أي منحنى الروليت الناتج عن نقطة تبدأ من الرأس عند دحرجة خط على منحنى سلسلي، هو المنحنى الجرّي . ^{[ 42 ]}

تُشكل عجلة الروليت الأخرى، الناتجة عن دحرجة خط على منحنى سلسلي، خطًا آخر. وهذا يعني أن العجلات المربعة يمكنها أن تتدحرج بسلاسة تامة على طريق مصنوع من سلسلة من النتوءات على شكل منحنى سلسلي مقلوب. يمكن أن تكون العجلات أي شكل هندسي منتظم باستثناء المثلث، ولكن يجب أن يكون للمنحنى السلسلي معايير تتوافق مع شكل وأبعاد العجلات. ^{[ 44 ]}

على أي فاصل أفقي، تساوي نسبة المساحة تحت منحنى السلسلة إلى طوله قيمة a ، بغض النظر عن الفاصل المختار. منحنى السلسلة هو المنحنى المستوي الوحيد، عدا الخط الأفقي، الذي يتمتع بهذه الخاصية. كذلك، فإن المركز الهندسي للمساحة تحت جزء من منحنى السلسلة هو منتصف القطعة المستقيمة العمودية الواصلة بين مركز المنحنى نفسه ومحور السينات . ^{[ 45 ]}

تتحرك شحنة متحركة في مجال كهربائي منتظم على طول منحنى سلسلي (يميل إلى شكل قطع مكافئ إذا كانت سرعة الشحنة أقل بكثير من سرعة الضوء c ). ^{[ 46 ]}

السطح الدوراني ذو نصف القطر الثابت عند كلا الطرفين والذي يتميز بأقل مساحة سطحية هو سطح سلسلي

$${\displaystyle y=a\cosh ^{-1}\left({\frac {x}{a}}\right)+b}$$

دارت حول${\displaystyle y}$المحور -. ^{[ 42 ]}

في النموذج الرياضي، تُعتبر السلسلة (أو الحبل، أو الكابل، أو الخيط، إلخ) مثالية بافتراض أنها رقيقة جدًا لدرجة يمكن اعتبارها منحنى، وأنها مرنة للغاية بحيث تكون أي قوة شد تُؤثر بها موازية لها. ^{[ 47 ]} تحليل منحنى القوس الأمثل مشابه، باستثناء أن قوى الشد تتحول إلى قوى ضغط ، وينعكس كل شيء. ^{[ 48 ]} أحد المبادئ الأساسية هو أنه يمكن اعتبار السلسلة جسمًا صلبًا بمجرد وصولها إلى حالة التوازن. ^{[ 49 ]} يمكن اشتقاق المعادلات التي تُحدد شكل المنحنى وشد السلسلة عند كل نقطة من خلال فحص دقيق للقوى المختلفة المؤثرة على جزء من السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن هذه القوى يجب أن تكون متوازنة إذا كانت السلسلة في حالة توازن سكوني .

لنفترض أن المسار الذي تتبعه السلسلة يُعطى بشكل وسيطي بالعلاقة r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s ))، حيث يمثل s طول القوس و r متجه الموضع . هذه هي المعلمة الطبيعية ، ولها الخاصية التالية:

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {u} }$$

حيث u هو متجه وحدة مماس .

يمكن اشتقاق معادلة تفاضلية للمنحنى كما يلي. ^{[ 50 ]} لنفترض أن c هي أدنى نقطة على السلسلة، وتُسمى رأس السلسلة. ^{[ 51 ]} ميل المنحنى dy / dx يساوي صفرًا عند c لأنها نقطة دنيا. نفترض أن r تقع على يمين c ، بينما يُفترض وجود الجانب المقابل بحكم التناظر. ^{[ 52 ]} القوى المؤثرة على جزء السلسلة من c إلى r هي شد السلسلة عند c ، وشد السلسلة عند r ، ووزن السلسلة. الشد عند c مماس للمنحنى عند c ، وبالتالي فهو أفقي بدون أي مركبة رأسية، ويسحب الجزء إلى اليسار، لذا يمكن كتابته على النحو التالي _{: (−T₀, 0) حيث T₀} هي مقدار القوة . الشد _عند r موازٍ للمنحنى عند r ويسحب الجزء إلى اليمين. يمكن تقسيم قوة الشد عند النقطة r إلى مركبتين، لذا يمكن كتابتها على النحو التالي: Tu = ( T cos φ , T sin φ ) ، حيث T هي مقدار القوة و φ هي الزاوية بين المنحنى عند r والمحور x (انظر الزاوية المماسية ). أما وزن السلسلة فيُرمز له بالرمز (0, −ws ) ، حيث w هو الوزن لكل وحدة طول و s هو طول قطعة السلسلة بين النقطتين c و r .

السلسلة في حالة اتزان، لذا فإن مجموع القوى الثلاث يساوي صفرًا ، وبالتالي

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$ و $${\displaystyle T\sin \varphi =ws\,,}$$

وقسمة هذه تعطي

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {ws}{T_{0}}}\,.}$$

من الملائم كتابة

$${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w}}}$$

وهو طول السلسلة التي يساوي وزنها مقدار الشد عند النقطة ج . ^{[ 53 ]} ثم

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {s}{a}}}$$

هي معادلة تحدد المنحنى.

المركبة الأفقية للشد، T cos φ = T ₀ ، ثابتة، والمركبة الرأسية للشد، T sin φ = ws، تتناسب مع طول السلسلة بين r والرأس. ^{[ 54 ]}

المعادلة التفاضلية${\displaystyle dy/dx=s/a}$يمكن حل المعادلة المذكورة أعلاه للحصول على معادلات المنحنى. ^{[ 55 ]} سنحل المعادلة باستخدام شرط الحدود الذي ينص على أن الرأس يقع عند${\displaystyle s_{0}=0}$و${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})}$.

أولاً، استخدم صيغة طول القوس للحصول على $${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}\,,}$$ ثم افصل المتغيرات للحصول على $${\displaystyle {\frac {ds}{\sqrt {1+(s/a)^{2}}}}=dx\,.}$$

يتمثل أحد الأساليب المباشرة إلى حد معقول لدمج هذا في استخدام الاستبدال الزائدي ، والذي يعطي $${\displaystyle a\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}+x_{0}=x}$$ (أين${\displaystyle x_{0}}$(ثابت التكامل )، وبالتالي $${\displaystyle {\frac {s}{a}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,.}$$

لكن${\textstyle s/a=dy/dx}$، لذا $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\sinh {\frac {x-x_{0}}{a}}\,,}$$ والتي تتكامل كـ$${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x-x_{0}}{a}}+\delta }$$ (مع${\displaystyle \delta =y_{0}-a}$(كونه ثابت التكامل الذي يحقق شرط الحدود).

بما أن الاهتمام الأساسي هنا هو ببساطة شكل المنحنى، فإن موضع محاور الإحداثيات اختياري؛ لذا اختر الخيار المناسب لـ${\textstyle x_{0}=0=\delta }$ لتبسيط النتيجة إلى $${\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}.}$$

ولإتمام الصورة، فإن${\displaystyle y\leftrightarrow s}$يمكن اشتقاق العلاقة عن طريق حل كل من${\displaystyle x\leftrightarrow y}$و${\displaystyle x\leftrightarrow s}$العلاقات من أجل${\displaystyle x/a}$، مما يعطي: $${\displaystyle \cosh ^{-1}{\frac {y-\delta }{a}}={\frac {x-x_{0}}{a}}=\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\,,}$$ لذا $${\displaystyle y-\delta =a\cosh \left(\sinh ^{-1}{\frac {s}{a}}\right)\,,}$$ والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle y-\delta =a{\sqrt {1+\left({\frac {s}{a}}\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.}$$

يمكن حل المعادلة التفاضلية باستخدام طريقة مختلفة. ^{[ 56 ]} من

$${\displaystyle s=a\tan \varphi }$$

ويترتب على ذلك أن

$${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$$ و $${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$$

التكامل يعطي،

$${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$$ و $${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$$

كما في السابق، يمكن إزاحة المحورين السيني والصادي بحيث يمكن اعتبار قيمتي α و β مساويتين للصفر.

$${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$$ وأخذ مقلوب كلا الجانبين $${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$$

وبجمع وطرح المعادلتين الأخيرتين نحصل على الحل $${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$$ و $${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$$

المعامل a هو أصغر إحداثي y لنقاط منحنى السلسلة. في التطبيقات العملية، لا يُعرف هذا المعامل، ولا المحاور التي يتخذ عندها منحنى السلسلة شكله القياسي، مسبقًا .

يمكن تحديد هذه البيانات من موقع نقطتين معطيتين .${\displaystyle P_{1}}$و​​${\displaystyle P_{2}}$وطول السلسلة L بين هاتين النقطتين كما يلي: ^{[ 57 ]}

أعد تسمية النقاط إذا لزم الأمر بحيث تكون _النقطة P1 على يسار النقطة P2 _، وليكن H المسافة الأفقية و v المسافة الرأسية بين P1 و P2 . انقل المحاور بحيث تقع رأس السلسلة على المحور y _، واضبط ارتفاعها a بحيث تحقق السلسلة المعادلة القياسية للمنحنى _.

$${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$$

ولتكن إحداثيات النقطتين P1 و _P2 هي ( x1 _, y1 ) و ( x2 , y2 _{) على} التوالي . يمر المنحنى بهاتين النقطتين، لذا _فإن فرق _{الارتفاع} هو

$${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

وطول المنحنى من _النقطة P1 إلى النقطة _P2 هو

$${\displaystyle L=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$$

عند توسيع L² - v² باستخدام هذه التعبيرات ^{، تكون النتيجة هي}

$${\displaystyle L^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$$ لذا $${\displaystyle {\frac {1}{H}}{\sqrt {L^{2}-v^{2}}}={\frac {2a}{H}}\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$$

هذه معادلة متسامية في a ويجب حلها عدديًا .${\displaystyle \sinh(x)/x}$يكون رتيبًا تمامًا على${\displaystyle x>0}$[ ^{58 ]} يوجد حل واحد على الأكثر مع a > 0 وبالتالي يوجد موضع توازن واحد على الأكثر ^.

^{ومع ذلك ،} إذا كانت نهايتا المنحنى ( P1 _و P2 ) على نفس المستوى ( _y1 = y2 _{) ،} فيمكن إثبات ذلك ^{[ 59} ]$${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$$ حيث L هو الطول الإجمالي للمنحنى بين P ₁ و P ₂ و h هو الانحناء (المسافة الرأسية بين P ₁ و P ₂ ورأس المنحنى).

ويمكن أيضاً إثبات أن $${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$$ و $${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$$ حيث H هي المسافة الأفقية بين P ₁ و P ₂ اللذان يقعان على نفس المستوى ( H = x ₂ − x ₁ ).

قوة الجر الأفقية عند P ₁ و P ₂ هي T ₀ = wa ، حيث w هو الوزن لكل وحدة طول من السلسلة أو الكابل.

توجد علاقة بسيطة بين قوة الشد في الكابل عند نقطة ما وإحداثياتها السينية و/أو الصادية . ابدأ بجمع مربعات مركبات متجه قوة الشد: $${\displaystyle (T\cos \varphi )^{2}+(T\sin \varphi )^{2}=T_{0}^{2}+(ws)^{2}}$$ والذي (مع التذكير بأن${\displaystyle T_{0}=wa}$) يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}T^{2}(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )&=(wa)^{2}+(ws)^{2}\\[6pt]T^{2}&=w^{2}(a^{2}+s^{2})\\[6pt]T&=w{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$ ولكن، كما هو موضح أعلاه ، ${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}$(بافتراض أن${\displaystyle y_{0}=a}$), لذلك نحصل على العلاقات البسيطة ^{[ 60 ]}$${\displaystyle T=wy=wa\cosh {\frac {x}{a}}\,.}$$

لنفترض سلسلة طولها${\displaystyle L}$معلق من نقطتين متساويتين في الارتفاع وعلى مسافة${\displaystyle D}$يجب أن يقلل المنحنى من طاقته الكامنة $${\displaystyle U=\int _{0}^{D}wy{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}$$ (حيث w هو الوزن لكل وحدة طول) ويخضع للقيد $${\displaystyle \int _{0}^{D}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx=L\,.}$$

وبالتالي فإن لاغرانجيان المعدل هو $${\displaystyle {\mathcal {L}}=(wy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}}$$ أين${\displaystyle \lambda }$هو مُضاعِف لاغرانج المطلوب تحديده. كمتغير مستقل${\displaystyle x}$إذا لم يظهر في لاغرانجيان، فيمكننا استخدام هوية بلترامي$${\displaystyle {\mathcal {L}}-y'{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y'}}=C}$$ أين${\displaystyle C}$وهو ثابت التكامل، وذلك للحصول على التكامل الأول $${\displaystyle {\frac {(wy-\lambda )}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=-C}$$

هذه معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى يمكن حلها بطريقة فصل المتغيرات . حلها هو دالة جيب التمام الزائدية المعتادة حيث يتم الحصول على المعاملات من القيود.

إذا كانت كثافة السلسلة متغيرة، فيمكن تكييف التحليل أعلاه لإنتاج معادلات للمنحنى بمعلومية الكثافة، أو بمعلومية المنحنى لإيجاد الكثافة. ^{[ 61 ]}

إذا رمزنا لوزن وحدة الطول من السلسلة بالرمز w ، فإن وزن السلسلة له مقدار

$${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$

حيث تكون حدود التكامل هي c و r . ينتج عن موازنة القوى كما في السلسلة المنتظمة

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$$ و $${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$$ وبالتالي $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$$

ثم يؤدي التفاضل إلى

$${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$$

بدلالة φ ونصف قطر الانحناء ρ، يصبح هذا

$${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$$

يمكن إجراء تحليل مماثل لإيجاد المنحنى الذي يتبعه الكابل الداعم لجسر معلق ذي طريق أفقي. ^{[ 62 ]} إذا كان وزن الطريق لكل وحدة طول هو w ، وكان وزن الكابل والسلك الداعم للجسر ضئيلاً بالمقارنة، فإن الوزن الواقع على الكابل (انظر الشكل في الرسم البياني للسلاسل والأقواس ) من c إلى r هو wx، حيث x هي المسافة الأفقية بين c و r . وباتباع نفس الخطوات السابقة، نحصل على المعادلة التفاضلية.

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$$

يتم حل هذه المسألة عن طريق التكامل البسيط للحصول على

$${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$$

وبالتالي، يتبع الكابل مسارًا مكافئًا. إذا لم يكن وزن الكابل والأسلاك الداعمة مهملًا، فإن التحليل يصبح أكثر تعقيدًا. ^{[ 63 ]}

في سلسلة ذات قوة متساوية، يتم تقوية الكابل وفقًا لقيمة الشد عند كل نقطة، لذا فإن مقاومته للكسر ثابتة على طوله. بافتراض أن قوة الكابل تتناسب طرديًا مع كثافته لكل وحدة طول، يمكن كتابة الوزن، w ، لكل وحدة طول من السلسلة على النحو التالي : T / c ، حيث c ثابت، ويمكن تطبيق تحليل السلاسل غير المنتظمة. ^{[ 64 ]}

في هذه الحالة، تكون معادلات الشد هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$$

يؤدي الجمع إلى

$${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$$

وبالتفاضل

$${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$$

حيث ρ هو نصف قطر الانحناء.

الحل لذلك هو

$${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$$

في هذه الحالة، يمتلك المنحنى خطوط تقارب رأسية، وهذا يحد من مداه إلى πc . أما العلاقات الأخرى فهي

$${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$$

تمت دراسة المنحنى في عام 1826 من قبل ديفيز جيلبرت ، وعلى ما يبدو بشكل مستقل، من قبل جاسبار-جوستاف كوريوليس في عام 1836.

وقد تبين مؤخراً أن هذا النوع من السلسلة يمكن أن يعمل كعنصر أساسي في بناء الأسطح الفوقية الكهرومغناطيسية، ويُعرف باسم "سلسلة ذات تدرج طور متساوي". ^{[ 65 ]}

في السلسلة المرنة ، تُستبدل السلسلة بنابض قابل للتمدد استجابةً للشد. يُفترض أن يتمدد النابض وفقًا لقانون هوك . تحديدًا، إذا كان p هو الطول الطبيعي لجزء من النابض، فإن طول النابض عند تطبيق شد T يساوي طولًا.

$${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$$

حيث E ثابت يساوي kp ، حيث k هي صلابة الزنبرك. ^{[ 66 ]} في السلسلة، تكون قيمة T متغيرة، لكن النسبة تظل صالحة على المستوى المحلي، لذا ^{[ 67 ]}$${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$$ يمكن الآن اشتقاق المنحنى الذي يتبعه نابض مرن باتباع طريقة مماثلة لتلك المستخدمة مع النابض غير المرن. ^{[ 68 ]}

معادلات شد الزنبرك هي

$${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$$ و $${\displaystyle T\sin \varphi =w_{0}p\,,}$$

منها

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w_{0}p}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+w_{0}^{2}p^{2}}}\,,}$$

حيث p هو الطول الطبيعي للقطعة من c إلى r و w₀ هو وزن وحدة _الطول للنابض بدون شد. اكتب $${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{w_{0}}}}$$ لذا $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$$

ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {w_{0}p}{T}}\,,\end{aligned}}}$$ منها $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {w_{0}p}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{alignedat}}}$$

يؤدي التكامل إلى المعادلات البارامترية

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$$

مرة أخرى، يمكن إزاحة المحورين السيني والصادي بحيث يمكن اعتبار قيمتي α و β مساويتين للصفر.

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$$

هي معادلات بارامترية للمنحنى. عند الحد الصلب حيث تكون E كبيرة، يختزل شكل المنحنى إلى شكل سلسلة غير مرنة.

مع عدم وضع أي افتراضات بشأن القوة G المؤثرة على السلسلة، يمكن إجراء التحليل التالي. ^{[ 69 ]}

أولًا، لنفترض أن T = T ( s ) هي قوة الشد كدالة في s . السلسلة مرنة، لذا لا يمكنها أن تُؤثر إلا بقوة موازية لها. وبما أن الشد يُعرَّف بأنه القوة التي تُؤثر بها السلسلة على نفسها، فإن T يجب أن تكون موازية للسلسلة. بعبارة أخرى،

$${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$$

حيث T هي مقدار T و u هو متجه الوحدة المماسي.

ثانيًا، لنفترض أن G = G ( s ) هي القوة الخارجية لكل وحدة طول المؤثرة على جزء صغير من سلسلة كدالة لـ s . القوى المؤثرة على جزء السلسلة بين s و s + Δs ​​هي قوة الشد T ( s + Δs ) عند أحد طرفي الجزء، والقوة المعاكسة تقريبًا −T ( s ) عند الطرف الآخر، والقوة الخارجية المؤثرة على الجزء والتي تساوي تقريبًا GΔs . يجب أن تتوازن هذه القوى .

$${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$$

اقسم على Δs واحسب النهاية عندما Δs → 0 لتحصل على

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$$

يمكن استخدام هذه المعادلات كنقطة انطلاق في تحليل سلسلة مرنة تحت تأثير أي قوة خارجية. في حالة السلسلة القياسية، G = (0, − w ) حيث يبلغ وزن السلسلة w لكل وحدة طول.