أربيلوس

لنفترض أن H هي نقطة تقاطع نصف الدائرة الأكبر مع الخط العمودي على BC عند النقطة A. عندئذٍ، تكون مساحة الأربيلوس مساوية لمساحة دائرة قطرها HA .

البرهان : لإثبات ذلك، اعكس الدائرة الصغيرة حول الخط المار بالنقطتين B و C ، ولاحظ أن ضعف مساحة الدائرة الصغيرة هو ما يتبقى عند طرح مساحتي الدائرتين الأصغر (قطريهما BA و AC ) من مساحة الدائرة الكبيرة (قطرها BC ). وبما أن مساحة الدائرة تتناسب طرديًا مع مربع قطرها ( أصول إقليدس ، الكتاب الثاني عشر، القضية 2؛ لسنا بحاجة إلى معرفة أن ثابت التناسب هو π / 4 ) ، فإن المسألة تختزل إلى إثبات أن${\displaystyle 2|AH|^{2}=|BC|^{2}-|AC|^{2}-|BA|^{2}}$طول القطعة المستقيمة | BC | يساوي مجموع طولي القطعتين المستقيمتين | BA | و | AC | ، لذا يمكن تبسيط هذه المعادلة جبريًا إلى العبارة التالية:${\displaystyle |AH|^{2}=|BA||AC|}$وبالتالي، يُزعم أن طول القطعة المستقيمة AH هو المتوسط ​​الهندسي لطولي القطعتين المستقيمتين BA و AC . الآن (انظر الشكل)، المثلث BHC ، كونه مرسومًا داخل نصف الدائرة، له زاوية قائمة عند النقطة H (إقليدس، الكتاب الثالث، القضية 31)، وبالتالي فإن | HA | هو بالفعل "متوسط ​​متناسب" بين | BA | و | AC | (إقليدس، الكتاب السادس، القضية 8، نظرية بور). هذا البرهان يُقارب الحجة اليونانية القديمة؛ ويستشهد هارولد ب. بواس بورقة بحثية لروجر ب. نيلسن ^{[ 3 ]} الذي طبق الفكرة في البرهان التالي دون كلمات . ^{[ 4 ]}

لنفترض أن D و E هما النقطتان اللتان يتقاطع فيهما القطعتان المستقيمتان BH و CH مع نصفي الدائرتين AB و AC على التوالي. الشكل الرباعي ADHE هو في الواقع مستطيل .

البرهان : الزوايا ∠BDA و∠ BHC و∠ AEC زوايا قائمة لأنها مرسومة داخل أنصاف دوائر (حسب نظرية طاليس ). بالتالي ، فإن الشكل الرباعي ADHE يحتوي على ثلاث زوايا قائمة، لذا فهو مستطيل.

الخط DE مماس لنصف الدائرة BA عند النقطة D ونصف الدائرة AC عند النقطة E.

البرهان : بما أن الشكل ADHE مستطيل، فإن قطريه AH و DE متساويان في الطول وينصف كل منهما الآخر عند نقطة تقاطعهما O. لذلك،${\displaystyle |OD|=|OA|=|OE|}$كذلك، بما أن OA عمودي على القطرين BA و AC ، فإن OA يمس نصفي الدائرتين عند النقطة A. وأخيرًا، بما أن المماسين للدائرة من أي نقطة خارجية معينة متساويان في الطول، فإن المماسين الآخرين من O إلى نصفي الدائرتين BA و AC هما OD و OE على التوالي.

يقسم الارتفاع AH منطقة الأربيلوس إلى منطقتين، كل منهما محددة بنصف دائرة، وقطعة مستقيمة، وقوس من نصف الدائرة الخارجية. الدوائر المرسومة داخل كل منطقة من هذه المناطق، والمعروفة بدوائر أرخميدس للأربيلوس، متساوية في الحجم.