نهاية متتالية

فيما يلي أمثلة على نهاية متتالية في الأعداد الحقيقية:

• لو${\displaystyle x_{n}=c}$ لثابت${\textstyle c}$، ثم${\displaystyle x_{n}\to c}$[ ^{الإثبات 1 ] [ 6 ]}
• لو${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$، ثم${\displaystyle x_{n}\to 0}$[ ^{الإثبات 2 ] [ 6 ]}
• لو${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$متى${\displaystyle n}$زوجي، و${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$متى${\displaystyle n}$إذا كان الأمر غريباً، فإذن${\displaystyle x_{n}\to 0}$(حقيقة أن${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$حينما${\displaystyle n}$(الغرابة غير ذات صلة.)
• بفرض أي عدد حقيقي، يمكن بسهولة إنشاء متتالية تتقارب إلى ذلك العدد عن طريق أخذ تقريبات عشرية. على سبيل المثال، المتتالية${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$يتقارب إلى${\textstyle {\frac {1}{3}}}$التمثيل العشري${\textstyle 0.3333\dots }$هي نهاية المتتالية السابقة، المحددة بواسطة$${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• إيجاد نهاية متتالية ليس بالأمر البديهي دائمًا. ومن الأمثلة على ذلك:${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$(التي حدها هو العدد e ) والوسط الحسابي الهندسي . غالبًا ما تكون نظرية الحصر مفيدة في تحديد هذه النهايات.

ندعو${\displaystyle x}$نهاية المتتالية​​${\displaystyle (x_{n})}$، وهو مكتوب

${\displaystyle x_{n}\to x}$، أو

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$،

إذا تحقق الشرط التالي:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل عدد طبيعي${\displaystyle n\geq N}$لدينا${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$[ ^{7 ]​}

بمعنى آخر، لكل مقياس من مقاييس التقارب${\displaystyle \varepsilon }$، تصبح حدود المتتالية في النهاية قريبة جدًا من النهاية. المتتالية${\displaystyle (x_{n})}$يقال إنها تتقارب إلى أو تميل إلى الحد${\displaystyle x}$.

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

إذا كان التسلسل${\displaystyle (x_{n})}$يتقارب إلى حد معين${\displaystyle x}$إذن، فهي متقاربة و${\displaystyle x}$هو الحد الوحيد؛ وإلا${\displaystyle (x_{n})}$متباعدة . تُسمى المتتالية التي يكون حدها صفرًا أحيانًا بالمتتالية الصفرية .

• 
  مثال على متتالية تتقارب إلى النهاية${\displaystyle a}$
• 0 {\displaystyle \varepsilon >0} لدينا، هناك دليل N 0 {\displaystyle N_{0}}، بحيث يقع التسلسل بعد ذلك بالكامل في أنبوب إبسيلون ( a − ε , a + ε ) {\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )} ." id="mwAQs">
  بغض النظر عن أي${\displaystyle \varepsilon >0}$لدينا، يوجد فهرس${\displaystyle N_{0}}$بحيث يقع التسلسل بعد ذلك بالكامل في أنبوب إبسيلون${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$.
• 0 أصغر {\displaystyle \varepsilon _{1}>0} مؤشر N 1 {\displaystyle N_{1}} ، بحيث يكون التسلسل بعد ذلك داخل أنبوب إبسيلون ( a − ε 1 , a + ε 1 ) {\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})} ." id="mwATk">
  وهناك أيضًا خيار أصغر${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$فهرس${\displaystyle N_{1}}$بحيث يكون التسلسل بعد ذلك داخل أنبوب إبسيلون${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$.
• 0 {\displaystyle \varepsilon >0} يوجد عدد محدود فقط من أعضاء التسلسل خارج أنبوب إبسيلون." id="mwAXA">
  لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد محدود فقط من أعضاء التسلسل خارج أنبوب إبسيلون.

تتضمن بعض الخصائص المهمة الأخرى لنهايات المتتابعات الحقيقية ما يلي:

• عندما توجد نهاية متتالية، تكون فريدة. ^{[ 6 ]}
• تتصرف نهايات المتتاليات بشكل جيد فيما يتعلق بالعمليات الحسابية المعتادة . إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$و${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$موجود، إذن

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$متاح${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• لأي دالة متصلة${\textstyle f}$، لو${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$موجود، إذن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$موجودة أيضاً. في الواقع، أي دالة ذات قيم حقيقية${\textstyle f}$تكون متصلة إذا وفقط إذا حافظت على حدود المتتاليات (على الرغم من أن هذا ليس صحيحًا بالضرورة عند استخدام مفاهيم أكثر عمومية للاتصال).

• لو${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$للجميع${\displaystyle n}$أكبر من بعض${\displaystyle N}$، ثم${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$.
• ( نظرية الضغط ) إذا${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$للجميع${\displaystyle n}$أكبر من بعض${\displaystyle N}$، و${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$، ثم${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$.
• ( نظرية التقارب الرتيب ) إذا${\displaystyle a_{n}}$تكون محدودة ورتيبة لجميع​${\displaystyle n}$أكبر من بعض${\displaystyle N}$إذن فهي متقاربة.
• تكون المتتالية متقاربة إذا وفقط إذا كانت كل متتالية فرعية متقاربة.
• إذا كان لكل متتالية فرعية من متتالية متتالية فرعية خاصة بها تتقارب إلى نفس النقطة، فإن المتتالية الأصلية تتقارب إلى تلك النقطة.

تُستخدم هذه الخصائص على نطاق واسع لإثبات النهايات، دون الحاجة إلى استخدام التعريف الرسمي المعقد بشكل مباشر. على سبيل المثال، بمجرد إثبات أن${\displaystyle 1/n\to 0}$يصبح من السهل إثبات ذلك باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه.${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$(بافتراض أن${\displaystyle b\neq 0}$).

تسلسل${\displaystyle (x_{n})}$يقال إنها تميل إلى ما لا نهاية ، مكتوبة

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$، أو

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$،

إذا تحقق ما يلي:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle K}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل عدد طبيعي${\displaystyle n\geq N}$لدينا${\displaystyle x_{n}>K}$أي أن حدود المتتالية تكون في النهاية أكبر من أي حد ثابت${\displaystyle K}$.

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$.

وبالمثل، نقول إن المتتالية تميل إلى سالب ما لا نهاية ، ويكتب

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$، أو

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$،

إذا تحقق ما يلي:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle K}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل عدد طبيعي${\displaystyle n\geq N}$لدينا${\displaystyle x_{n}<K}$أي أن حدود المتتالية تكون في النهاية أصغر من أي حد ثابت${\displaystyle K}$.

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$.

إذا كانت المتتالية تميل إلى اللانهاية أو سالب اللانهاية، فإنها تكون متباعدة. ومع ذلك، لا يشترط أن تميل المتتالية المتباعدة إلى موجب أو سالب اللانهاية، والمتتالية${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$يقدم مثالاً واحداً من هذا القبيل.

نقطة${\displaystyle x}$من الفضاء المتري${\displaystyle (X,d)}$هي نهاية المتتالية​${\displaystyle (x_{n})}$لو:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل عدد طبيعي${\displaystyle n\geq N}$لدينا${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$.

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

يتطابق هذا مع التعريف المُعطى للأعداد الحقيقية عندما${\displaystyle X=\mathbb {R} }$و${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$.

• عندما توجد نهاية متتالية، تكون هذه النهاية فريدة، حيث تفصل مسافة موجبة بين النقاط المختلفة، لذلك بالنسبة لـ${\displaystyle \varepsilon }$إذا كانت المسافة أقل من نصف هذه المسافة، فلا يمكن أن تكون حدود المتسلسلة ضمن مسافة محددة.${\displaystyle \varepsilon }$من كلا النقطتين.

• لأي دالة متصلة f ، إذا${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$موجود، إذن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$في الواقع، تكون الدالة f متصلة إذا وفقط إذا حافظت على حدود المتتاليات.

المتتالية الكوشية هي متتالية تتقارب حدودها في النهاية تقاربًا تامًا بعد حذف عدد كافٍ من الحدود الأولية. يُعد مفهوم المتتالية الكوشية مهمًا في دراسة المتتاليات في الفضاءات المترية ، وخاصةً في التحليل الحقيقي . ومن أهم نتائج التحليل الحقيقي معيار كوشي لتقارب المتتاليات : تكون متتالية الأعداد الحقيقية متقاربة إذا وفقط إذا كانت متتالية كوشية. ويبقى هذا صحيحًا في الفضاءات المترية الكاملة الأخرى .

نقطة${\displaystyle x\in X}$الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$هوالحد أونقطة النهاية ^{[ 8 ] [ 9 ]} للمتتالية${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$لو:

لكل حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x}$يوجد بعض${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$بحيث يكون لكل${\displaystyle n\geq N}$لدينا${\displaystyle x_{n}\in U}$[ ^{10 ]​}

يتطابق هذا مع التعريف المُعطى للفضاءات المترية، إذا${\displaystyle (X,d)}$هو فضاء متري و${\displaystyle \tau }$هل الطوبولوجيا الناتجة عن${\displaystyle d}$.

نهاية سلسلة من النقاط${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$في فضاء طوبولوجي${\displaystyle T}$هي حالة خاصة من نهاية الدالة : مجالها هو${\displaystyle \mathbb {N} }$في الفضاء${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$مع الطوبولوجيا المستحثة لنظام الأعداد الحقيقية الممتد خطيًا ، يكون المدى هو${\displaystyle T}$، ووسيط الدالة${\displaystyle n}$يميل إلى${\displaystyle +\infty }$، وهو ما يمثل في هذا الفضاء نقطة حدية لـ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

في فضاء هاوسدورف ، تكون نهايات المتتاليات فريدة كلما وُجدت. لكن هذا ليس بالضرورة صحيحًا في الفضاءات غير الهاوسدورفية؛ على وجه الخصوص، إذا كانت نقطتان${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كانت هذه المتتاليات غير قابلة للتمييز طوبولوجيًا ، فإن أي متتالية تتقارب إلى${\displaystyle x}$يجب أن تتقارب إلى${\displaystyle y}$والعكس صحيح.

• لو${\displaystyle x_{n,m}=c}$ لثابت${\textstyle c}$، ثم${\displaystyle x_{n,m}\to c}$.
• لو${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$، ثم${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$.
• لو${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$إذن، لا وجود للحد. يعتمد ذلك على "سرعة النمو" النسبية لـ${\textstyle n}$و${\textstyle m}$، يمكن أن تقترب هذه المتتالية من أي قيمة بين${\textstyle 0}$و${\textstyle 1}$.

ندعو${\displaystyle x}$الحد المزدوج للمتتالية​${\displaystyle (x_{n,m})}$، مكتوب

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$، أو

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$،

إذا تحقق الشرط التالي:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل زوج من الأعداد الطبيعية${\displaystyle n,m\geq N}$لدينا${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$[ ^{11 ]​}

بمعنى آخر، لكل مقياس من مقاييس التقارب${\displaystyle \varepsilon }$، تصبح حدود المتتالية في النهاية قريبة جدًا من النهاية. المتتالية${\displaystyle (x_{n,m})}$يقال إنها تتقارب إلى أو تميل إلى الحد${\displaystyle x}$.

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

النهاية المزدوجة تختلف عن حساب النهاية بالنسبة لـ n أولاً، ثم بالنسبة لـ m . تُعرف الأخيرة بالنهاية المتكررة . إذا وُجدت كلتا النهايتين، فإنهما متساويتان في القيمة. مع ذلك، من الممكن أن توجد إحداهما دون الأخرى.

تسلسل${\displaystyle (x_{n,m})}$يقال إنها تميل إلى ما لا نهاية ، مكتوبة

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$، أو

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$،

إذا تحقق ما يلي:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle K}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل زوج من الأعداد الطبيعية${\displaystyle n,m\geq N}$لدينا${\displaystyle x_{n,m}>K}$أي أن حدود المتتالية تكون في النهاية أكبر من أي حد ثابت${\displaystyle K}$.

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$.

وبالمثل، تسلسل${\displaystyle (x_{n,m})}$يميل إلى سالب ما لا نهاية ، مكتوب

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$، أو

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$،

إذا تحقق ما يلي:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle K}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون لكل زوج من الأعداد الطبيعية${\displaystyle n,m\geq N}$لدينا${\displaystyle x_{n,m}<K}$أي أن حدود المتتالية تكون في النهاية أصغر من أي حد ثابت${\displaystyle K}$.

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$.

إذا كانت المتتالية تميل إلى اللانهاية أو سالب اللانهاية، فإنها تكون متباعدة. ومع ذلك، لا يشترط أن تميل المتتالية المتباعدة إلى موجب أو سالب اللانهاية، والمتتالية${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$يقدم مثالاً واحداً من هذا القبيل.

لتسلسل مزدوج${\displaystyle (x_{n,m})}$، يمكننا أن نأخذ حدًا في أحد المؤشرات، على سبيل المثال،${\displaystyle n\to \infty }$للحصول على تسلسل واحد${\displaystyle (y_{m})}$في الواقع، هناك معنيان محتملان عند حساب هذه النهاية. الأول يُسمى النهاية النقطية ، ويُرمز له بـ

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$، أو

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$،

وهذا يعني:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0}$وكل عدد طبيعي ثابت${\displaystyle m}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$بحيث يكون لكل عدد طبيعي${\displaystyle n\geq N}$لدينا${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$[ ^{12 ]​}

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

عندما توجد مثل هذه النهاية، نقول إن المتتالية${\displaystyle (x_{n,m})}$يتقارب نقطيًا إلى${\displaystyle (y_{m})}$.

يُطلق على النوع الثاني اسم الحد المنتظم ، ويُرمز له بـ

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$،

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$،

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$، أو

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$،

وهذا يعني:

لكل عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$بحيث يكون لكل عدد طبيعي${\displaystyle m}$ولكل عدد طبيعي${\displaystyle n\geq N}$لدينا${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$[ ^{12 ]​}

وهذا رمزياً:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

في هذا التعريف، اختيار${\displaystyle N}$مستقل عن${\displaystyle m}$بمعنى آخر، اختيار${\displaystyle N}$ينطبق بشكل موحد على جميع الأعداد الطبيعية${\displaystyle m}$وبالتالي، يمكن للمرء أن يرى بسهولة أن التقارب المنتظم هو خاصية أقوى من التقارب النقطي: فوجود النهاية المنتظمة يستلزم وجود وتساوي النهاية النقطية:

لو${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$بشكل موحد، إذن${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$من حيث النقاط.

عندما توجد مثل هذه النهاية، نقول إن المتتالية${\displaystyle (x_{n,m})}$يتقارب بانتظام إلى${\displaystyle (y_{m})}$.

لتسلسل مزدوج${\displaystyle (x_{n,m})}$، يمكننا أن نأخذ حدًا في أحد المؤشرات، على سبيل المثال،${\displaystyle n\to \infty }$للحصول على تسلسل واحد${\displaystyle (y_{m})}$ثم خذ النهاية في المؤشر الآخر، أي${\displaystyle m\to \infty }$للحصول على رقم${\displaystyle y}$. رمزياً،

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$.

تُعرف هذه النهاية بالنهاية المتكررة للمتتالية المزدوجة. قد يؤثر ترتيب حساب النهايات على النتيجة، أي

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}}$على العموم.

يُقدّم شرط كافٍ للمساواة من خلال نظرية مور-أوسجود ، والتي تتطلب النهاية${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$أن تكون موحدًا في${\textstyle m}$[ ^{11 ]​}