أنماط التقارب

في الرياضيات ، هناك العديد من المعاني التي يُقال فيها أن المتتالية أو السلسلة متقاربة.

يمكن تعريف التقارب بدلالة المتتاليات في الفضاءات القابلة للعد من الدرجة الأولى . تُعدّ الشبكات تعميمًا للمتتاليات، وهي مفيدة في الفضاءات غير القابلة للعد من الدرجة الأولى. وتُعمّم المرشحات مفهوم التقارب بشكلٍ أكبر. في الفضاءات المترية، يُمكن تعريف متتاليات كوشي . تُعدّ شبكات كوشي ومرشحاتها تعميمات للفضاءات المنتظمة . وبشكلٍ أعم، تُعرّف فضاءات كوشي بأنها الفضاءات التي يُمكن تعريف مرشحات كوشي فيها. يستلزم التقارب "تقارب كوشي"، ويؤدي تقارب كوشي، بالإضافة إلى وجود متتالية جزئية متقاربة ، إلى استلزام التقارب. يُعرّف مفهوم اكتمال الفضاءات المترية، وتعميماته، بدلالة متتاليات كوشي. ^{[ 1 ]}

في الزمرة الأبيلية الطوبولوجية ، يُعرَّف تقارب المتسلسلة بأنه تقارب متتالية المجاميع الجزئية. ومن المفاهيم المهمة عند دراسة المتسلسلات التقارب غير المشروط ، الذي يضمن أن نهاية المتسلسلة ثابتة تحت تبديل حدودها.

في فضاء متجهي معياري ، يمكن تعريف التقارب المطلق على أنه تقارب المتسلسلة (${\displaystyle \Sigma |b_{k}|}$يستلزم التقارب المطلق تقارب كوشي لمتتالية المجاميع الجزئية (بحسب متباينة المثلث )، والذي بدوره يستلزم التقارب المطلق لبعض التجميعات (وليس إعادة الترتيب). متتالية المجاميع الجزئية الناتجة عن التجميع هي متتالية جزئية من المجاميع الجزئية للمتسلسلة الأصلية. يُعد تقارب كل متسلسلة متقاربة مطلقًا شرطًا مكافئًا لكون الفضاء المتجهي المعياري فضاءً باناخيًا (أي كاملًا).

التقارب المطلق والتقارب معًا يستلزمان التقارب غير المشروط، لكن التقارب غير المشروط لا يستلزم التقارب المطلق بشكل عام، حتى لو كان الفضاء من نوع باناخ، على الرغم من أن الاستلزام قائم في${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$.

أبسط أنواع التقارب لمتتالية من الدوال (ولا يفترض هذا النوع أي بنية طوبولوجية على مجال الدوال) هو التقارب النقطي . ويُعرَّف بأنه تقارب قيم المتتالية عند كل نقطة. إذا كانت الدوال تأخذ قيمها في فضاء منتظم، فيمكن تعريف التقارب النقطي لكوشي، والتقارب المنتظم ، والتقارب المنتظم لكوشي للمتتالية.

التقارب النقطي يستلزم التقارب النقطي وفقًا لمعيار كوشي، والعكس صحيح إذا كان الفضاء الذي تأخذ فيه الدوال قيمها كاملاً. التقارب المنتظم يستلزم التقارب النقطي والتقارب المنتظم وفقًا لمعيار كوشي. التقارب المنتظم وفقًا لمعيار كوشي والتقارب النقطي لمتتالية جزئية يستلزمان التقارب المنتظم للمتتالية، وإذا كان المجال المقابل كاملاً، فإن التقارب المنتظم وفقًا لمعيار كوشي يستلزم التقارب المنتظم.

إذا كان مجال الدوال فضاءً طوبولوجيًا، وكان المجال المقابل فضاءً منتظمًا، فيمكن تعريف التقارب المنتظم المحلي (أي التقارب المنتظم على جوار كل نقطة) والتقارب المتراص (المنتظم) (أي التقارب المنتظم على جميع المجموعات الجزئية المتراصة ). يُستخدم مصطلح "التقارب المتراص" دائمًا اختصارًا لمصطلح "التقارب المنتظم المتراص"، لأن "التقارب النقطي المتراص" يعني نفس معنى "التقارب النقطي" (النقاط دائمًا متراصة).

يستلزم التقارب المنتظم كلاً من التقارب المنتظم المحلي والتقارب المدمج، لأن كليهما مفهومان محليان بينما التقارب المنتظم مفهوم شامل. إذا كانت X مدمجة محليًا (حتى بأضعف معانيها: أي أن لكل نقطة جوارًا مدمجًا)، فإن التقارب المنتظم المحلي يُكافئ التقارب المدمج (المنتظم). باختصار، يعود ذلك إلى أن "المحلي" و"المدمج" يدلان على الشيء نفسه.

يتم تعريف التقارب النقطي والتقارب المنتظم لسلسلة الدوال من حيث تقارب متتالية المجاميع الجزئية.

بالنسبة للدوال التي تأخذ قيمًا في فضاء خطي معياري ، يشير التقارب المطلق إلى تقارب سلسلة الدوال الموجبة ذات القيم الحقيقية${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$إن "التقارب المطلق النقطي" هو ببساطة التقارب النقطي لـ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$.

التقارب الطبيعي هو تقارب متسلسلة الأعداد الحقيقية غير السالبة التي يتم الحصول عليها بأخذ المعيار المنتظم (أي "sup") لكل دالة في المتسلسلة (التقارب المنتظم لـ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$في فضاءات باناخ ، التقارب المطلق النقطي يعني التقارب النقطي، والتقارب الطبيعي يعني التقارب المنتظم.

بالنسبة للدوال المعرفة على فضاء طوبولوجي، يمكن تعريف التقارب المنتظم المحلي والتقارب المتراص (المنتظم) بدلالة المجاميع الجزئية للمتسلسلة (كما سبق). وإذا كانت الدوال، بالإضافة إلى ذلك، تأخذ قيمًا في فضاء خطي معياري، فإنه يمكن تعريف التقارب الطبيعي المحلي (التقارب المحلي، المنتظم، المطلق) والتقارب الطبيعي المتراص (التقارب المطلق على المجموعات المتراصة ).

يستلزم التقارب الطبيعي كلاً من التقارب الطبيعي المحلي والتقارب الطبيعي المدمج. وإذا كان المجال مدمجًا محليًا (حتى بأضعف معانيه)، فإن التقارب الطبيعي المحلي يستلزم التقارب الطبيعي المدمج.

إذا نظرنا إلى متتابعات الدوال القابلة للقياس ، فسنجد عدة أنماط من التقارب تعتمد على خصائص نظرية القياس، وليس فقط على الخصائص الطوبولوجية. يشمل ذلك التقارب النقطي في كل مكان تقريبًا ، والتقارب في المتوسط ​​p ، والتقارب في القياس . وتكتسب هذه الأنماط أهمية خاصة في نظرية الاحتمالات . ^{[ 2 ]}

لاحظ أن كل نوع من الأنواع التالية من الكائنات هو حالة خاصة من الأنواع التي تسبقه: المجموعات ، والفضاءات الطوبولوجية ، والفضاءات المنتظمة ، والمجموعات الطوبولوجية الأبيلية (TAG)، والفضاءات المتجهة المعيارية ، والفضاءات الإقليدية ، والأعداد الحقيقية / المركبة . فيما يلي قائمة بأنماط التقارب...

بالنسبة لتسلسل من العناصر { a _n } في فضاء طوبولوجي ( Y ):

• التقارب ، أو "التقارب الطوبولوجي" للتأكيد (أي وجود حد).
• ...في فضاء منتظم ( U ):
  • تقارب كوشي

بالنسبة لسلسلة من العناصر Σ b _k في TAG ( G ):

• التقارب (لمتتالية المجموع الجزئي)
• تقارب كوشي (لمتتالية المجموع الجزئي)
• التقارب غير المشروط
• ...في فضاء معياري ( N ):
  • التقارب المطلق (تقارب${\displaystyle \sum |b_{k}|}$)

بالنسبة لتسلسل الدوال { f _n } من مجموعة ( S ) إلى فضاء طوبولوجي ( Y ):

• التقارب النقطي
• ...من مجموعة ( S ) إلى فضاء منتظم ( U ):
  • التقارب المنتظم
  • التقارب النقطي لكوشي
  • تقارب كوشي المنتظم
• ...من فضاء طوبولوجي ( X ) إلى فضاء منتظم ( U ):
  • التقارب المنتظم المحلي (أي التقارب المنتظم في جوار كل نقطة)
  • التقارب المتراص (المنتظم) (أي التقارب المنتظم على جميع المجموعات الفرعية المتراصة)
• ...من فضاء القياس (S، μ ) إلى الأعداد المركبة (C):
  • تقارب في كل مكان تقريبًا
  • تقارب شبه منتظم
  • تقارب L ^p
  • التقارب في القياس
  • التقارب في التوزيع

بالنسبة لسلسلة من الدوال Σ g _k من مجموعة ( S ) إلى مجموعة TAG ( G ):

• التقارب النقطي (لمتتالية المجموع الجزئي)
• التقارب المنتظم (لمتتالية المجموع الجزئي)
• التقارب النقطي لكوشي (لمتتالية المجموع الجزئي)
• التقارب المنتظم لكوشي (لمتتالية المجموع الجزئي)
• التقارب النقطي غير المشروط
• التقارب المنتظم غير المشروط
• ...من مجموعة ( S ) إلى فضاء معياري ( N ):
  • التقارب المطلق النقطي (التقارب النقطي لـ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$)
  • التقارب المطلق المنتظم (التقارب المنتظم لـ${\displaystyle \Sigma |g_{k}|}$)
  • التقارب الطبيعي (تقارب سلسلة المعايير المنتظمة)${\displaystyle \Sigma ||g_{k}||_{u}}$)
• ...من فضاء طوبولوجي ( X ) إلى مجموعة علامات ( G ):
  • التقارب المنتظم المحلي (لمتتالية المجموع الجزئي)
  • التقارب المتراص (المنتظم) (لمتتالية المجموع الجزئي)
• ...من فضاء طوبولوجي ( X ) إلى فضاء معياري ( N ):
  • التقارب المطلق المنتظم المحلي
  • التقارب المطلق المضغوط (الموحد)
  • التقارب الطبيعي المحلي
  • التقارب الطبيعي المضغوط

• المرشحات في علم الطوبولوجيا – استخدام المرشحات لوصف وتوصيف جميع المفاهيم والنتائج الطوبولوجية الأساسية 
• نهاية متتالية – القيمة التي تميل إليها متتالية غير منتهية 
• الشبكة (في الرياضيات) - تعميم لتسلسل من النقاط 
• الطوبولوجيات على فضاءات الخرائط الخطية
• نهاية متتالية
• تقارب التدابير
• التقارب في القياس
• تقارب المتغيرات العشوائية :
  • في التوزيع
  • في الاحتمالات
  • شبه متأكد
  • بالتأكيد
  • في المتوسط

• فولاند، جي بي (1999). التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها (  الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-31716-0.

• باهر، باتريك (2012). " أنماط التقارب لإعادة كتابة مخطط المصطلحات ". الأساليب المنطقية في علوم الحاسوب 8 (2:06). ص 1-60 - عبر أرشيف الإنترنت
• بيلينغسلي، باتريك (1999). تقارب مقاييس الاحتمال . نيويورك: وايلي. ISBN 0471197459