وظيفة الجزء القياسي

في التحليل غير القياسي ، تكون دالة الجزء القياسي دالة من الأعداد الفائقة الواقعية المحدودة (المنتهية) إلى الأعداد الحقيقية. باختصار، تقوم دالة الجزء القياسي "بتقريب" الأعداد الفائقة الواقعية المحدودة إلى أقرب عدد حقيقي. وتربط بكل عدد فائق واقعي من هذا القبيل ، العدد الحقيقي الفريد القريب منه بشكل لا نهائي، أي أنه لانهائي في الصغر . وعلى هذا النحو، فهي تنفيذ رياضي للمفهوم التاريخي للمساواة الذي قدمه بيير دي فيرما ، ^[1] بالإضافة إلى قانون التجانس المتسامي لـ لايبنتز . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x-x_{0}}$

تم تعريف دالة الجزء القياسي لأول مرة بواسطة أبراهام روبنسون الذي استخدم تدوين الجزء القياسي من الواقع الفائق (انظر روبنسون 1974). يلعب هذا المفهوم دورًا رئيسيًا في تحديد مفاهيم حساب التفاضل والتكامل، مثل الاستمرارية والمشتق والتكامل، في التحليل غير القياسي . النظرية الأخيرة هي صياغة صارمة للحسابات باستخدام اللامتناهيات في الصغر . يُشار أحيانًا إلى الجزء القياسي من x باسم ظله . ^[2]${\displaystyle {}^{\circ }x}$${\displaystyle x}$

يتعامل التحليل غير القياسي في المقام الأول مع الزوج ، حيث تكون الأعداد الحقيقية الفائقة عبارة عن امتداد حقل مرتب للأعداد الحقيقية ، وتحتوي على أعداد لا نهائية في الصغر، بالإضافة إلى الأعداد الحقيقية. في خط الأعداد الحقيقية الفائقة، يحتوي كل عدد حقيقي على مجموعة من الأرقام (تسمى موناد ، أو هالة ) من الأعداد الحقيقية الفائقة القريبة منه بشكل لا نهائي. ترتبط دالة الجزء القياسي بعدد حقيقي فائق محدود x ، وهو العدد الحقيقي القياسي الفريد x ₀ القريب منه بشكل لا نهائي. يتم التعبير عن العلاقة رمزيًا بالكتابة ${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x_{0}.}$

الجزء القياسي لأي عدد لانهائي في الصغر هو 0. وبالتالي، إذا كان N عددًا لانهائيًا خارقًا للطبيعة ، فإن 1/ N يكون لانهائيًا في الصغر، و st(1/ N ) = 0.

إذا تم تمثيل الواقع الفائق بواسطة تسلسل كوشي في بناء القوة الفائقة ، إذن ${\displaystyle u}$${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {st} (u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.}$

بشكل عام، يحدد كل عدد محدود قطع ديديكيند على المجموعة الفرعية (عبر الترتيب الإجمالي على ) والعدد الحقيقي المقابل هو الجزء القياسي من u . ${\displaystyle u\in {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$

لا يتم تعريف دالة الجزء القياسية "st" بمجموعة داخلية . هناك عدة طرق لتفسير ذلك. ربما تكون أبسطها هي أن مجالها L، وهو مجموعة من الأعداد الحقيقية المحدودة (أي المنتهية)، ليس مجموعة داخلية. أي، بما أن L محدودة (بأي كائن فائق الطبيعة لا نهائي، على سبيل المثال)، فيجب أن يكون لـ L حد أعلى أدنى إذا كانت L داخلية، لكن L ليس لها حد أعلى أدنى. بدلاً من ذلك، فإن نطاق "st" هو ، وهو ليس داخليًا؛ في الواقع، كل مجموعة داخلية في تكون مجموعة فرعية من هي بالضرورة محدودة . ^[3]${\displaystyle \mathbb {R} \subseteq {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

يمكن التعبير عن جميع المفاهيم التقليدية لحساب التفاضل والتكامل من حيث وظيفة الجزء القياسي، على النحو التالي.

تُستخدم دالة الجزء القياسي لتحديد مشتقة الدالة f . إذا كانت f دالة حقيقية، و h دالة لا نهائية في الصغر، وإذا كانت f ′( x ) موجودة، فإن

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).}$

بدلاً من ذلك، إذا أخذنا زيادة لا متناهية الصغر ، وحسابنا . وشكلنا النسبة . ثم تم تعريف المشتقة باعتبارها الجزء القياسي من النسبة: ${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \دلتا x}$${\displaystyle \دلتا y=f(x+\دلتا x)-f(x)}$${\textstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right).}$

بالنظر إلى دالة على ، يتم تعريف التكامل باعتباره الجزء القياسي لمجموع ريمان اللانهائي عندما يتم اعتبار قيمة لا نهائية في الصغر، مع استغلال التقسيم فائق النهاية للفاصل [ a ، b ]. ${\displaystyle f}$${\displaystyle [أ،ب]}$${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$${\displaystyle S(f,a,b,\دلتا x)}$${\displaystyle \دلتا x}$

بالنسبة للتسلسل ، يتم تعريف حده بواسطة حيث هو مؤشر لانهائي. هنا يقال أن الحد موجود إذا كان الجزء القياسي هو نفسه بغض النظر عن المؤشر اللانهائي المختار. ${\displaystyle (u_{n})}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=\operatorname {st} (u_{H})}$${\displaystyle H\in {}^{*}\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$

تكون الدالة الحقيقية متصلة عند نقطة حقيقية إذا وفقط إذا كان التركيب ثابتًا على هالة . راجع الاستمرارية الدقيقة لمزيد من التفاصيل .${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {st} \circ f}$${\displaystyle x}$

• عدم المساواة
• حساب التفاضل والتكامل غير القياسي

• هـ. جيروم كيسلر . حساب التفاضل والتكامل الأولي: نهج لا متناهي الصغر . الطبعة الأولى 1976؛ الطبعة الثانية 1986. (هذا الكتاب غير متوفر الآن. أعاد الناشر حقوق الطبع والنشر إلى المؤلف، الذي جعل الطبعة الثانية متاحة للتنزيل بتنسيق .pdf على http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
• أبراهام روبنسون . التحليل غير القياسي. إعادة طباعة الطبعة الثانية (1974). مع مقدمة بقلم فيلهيموس أيه جيه لوكسمبورج . معالم برينستون في الرياضيات. مطبعة جامعة برينستون، برينستون، نيوجيرسي، 1996. xx+293 صفحة. ISBN 0-691-04490-2