المحلل

كتاب "المحلل: خطاب موجه إلى عالم رياضيات غير مؤمن: حيث يُبحث ما إذا كان موضوع التحليل الحديث ومبادئه واستنتاجاته أكثر وضوحًا أو استنباطًا من الأسرار الدينية ونقاط الإيمان" ، هو كتاب من تأليف جورج بيركلي . نُشر لأول مرة عام 1734، أولًا بواسطة ج. تونسون (لندن)، ثم بواسطة س. فولر (دبلن). يُعتقد أن "عالم الرياضيات غير المؤمن" هو إدموند هالي ، على الرغم من أن آخرين تكهنوا بأنالمقصود هو إسحاق نيوتن . ^{[ 1 ]}

يحتوي الكتاب على هجوم مباشر على أسس حساب التفاضل والتكامل ، وتحديداً على مفهوم إسحاق نيوتن للتدفقات وعلى مفهوم لايبنتز للتغير المتناهي الصغر .

منذ بداياته ككاتب، استخدم بيركلي قلمه الساخر لمهاجمة ما كان يُعرف آنذاك بـ" المفكرين الأحرار " ( العلمانيون ، والمتشككون ، واللاأدريون ، والملحدون ، وغيرهم - باختصار، كل من شكك في حقائق الدين المسيحي السائد أو دعا إلى تقليص دور الدين في الحياة العامة). ^{[ 2 ]} في عام 1732، وفي أحدث أعماله في هذا السياق، نشر بيركلي كتابه "ألكيفرون "، وهو عبارة عن سلسلة من الحوارات موجهة إلى أنواع مختلفة من "المفكرين الأحرار". كان أحد النماذج التي تناولها بيركلي هو العالم العلماني، الذي نبذ الأسرار المسيحية باعتبارها خرافات لا داعي لها ، وأعلن ثقته في يقين العقل البشري والعلم. وفي مواجهة حججه، دافع بيركلي بأسلوب دقيق عن صحة وفائدة هذه العناصر من العقيدة المسيحية.

حظي كتاب "ألكيفرون" بانتشار واسع وأثار بعض الجدل. لكن تعليقًا عابرًا سخر فيه عالم الفلك الملكي السير إدموند هالي، المعروف بـ"المفكر الحر"، من حجج بيركلي ، هو ما دفع بيركلي إلى العودة للكتابة وتجربة أسلوب جديد. فكانت النتيجة كتاب "المحلل" ، الذي صُمم كعمل ساخر يهاجم أسس الرياضيات بنفس القوة والأسلوب اللذين يهاجم بهما "المفكرون الأحرار" الحقائق الدينية.

سعى بيركلي إلى تفكيك أسس حساب التفاضل والتكامل آنذاك، وزعم اكتشافه ثغرات عديدة في البراهين، وهاجم استخدام المتناهيات في الصغر ، وقطر المربع الواحدي ، ووجود الأعداد نفسه، وما إلى ذلك. لم يكن الهدف العام هو السخرية من الرياضيات أو علماء الرياضيات، بل إظهار أن علماء الرياضيات، مثل المسيحيين الذين انتقدوهم، اعتمدوا على ألغاز مجهولة في أسس استدلالهم. علاوة على ذلك، لم يكن وجود هذه "الخرافات" عائقًا أمام الاستدلال الرياضي؛ بل كان عونًا له. وكذلك الحال مع المؤمنين المسيحيين وأسرارهم. وخلص بيركلي إلى أن يقين الرياضيات لا يتجاوز يقين الدين.

كان كتاب "المحلل" هجومًا مباشرًا على أسس حساب التفاضل والتكامل ، وتحديدًا على مفهوم نيوتن للتدفقات ومفهوم لايبنتز للتغير المتناهي الصغر . في القسم 16، ينتقد بيركلي

...الطريقة المغلوطة المتمثلة في الوصول إلى نقطة معينة بافتراض وجود زيادة، ثم تغيير هذا الافتراض فورًا إلى عدم وجود زيادة... لأنه لو تم وضع هذا الافتراض الثاني قبل القسمة على صفر ، لتلاشى كل شيء دفعة واحدة، ولما حصلت على شيء من افتراضك. بينما بهذه الحيلة المتمثلة في القسمة أولًا ثم تغيير الافتراض، تحتفظ بـ 1 و n × ^n-1 . ولكن، على الرغم من كل هذا الكلام لتغطية المغالطة، فإنها تبقى كما هي. ^{[ 3 ]}

إنها فقرة يتم الاستشهاد بها بشكل متكرر، لا سيما عندما كتب: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

وما هي هذه التدفقات؟ سرعات الزيادات الزائلة؟ وما هي هذه الزيادات الزائلة نفسها؟ إنها ليست كميات محدودة ولا كميات متناهية الصغر، وليست لا شيء. ألا يمكننا أن نسميها أشباح كميات زائلة؟ ^{[ 6 ]}

لم يُشكك بيركلي في نتائج حساب التفاضل والتكامل، بل أقرّ بصحتها. وكان جوهر نقده أن حساب التفاضل والتكامل ليس أكثر دقة منطقية من الدين. بل تساءل عما إذا كان علماء الرياضيات "يخضعون للسلطة، ويأخذون الأمور على محمل الجد" ^{[ 7 ]} كما يفعل أتباع المعتقدات الدينية. ووفقًا لبرتون، قدّم بيركلي نظرية بارعة للأخطاء التعويضية تهدف إلى تفسير صحة نتائج حساب التفاضل والتكامل. زعم بيركلي أن ممارسي حساب التفاضل والتكامل يُدخلون عدة أخطاء تُلغي بعضها بعضًا، مما يُبقي على الإجابة الصحيحة. وبكلماته الخاصة، "بفضل خطأ مزدوج، تصل، وإن لم تصل إلى العلم، إلا إلى الحقيقة." ^{[ 8 ]}

إن فكرة أن نيوتن كان المتلقي المقصود للخطاب موضع شك من خلال مقطع يظهر قرب نهاية الكتاب: "السؤال 58: هل هو حقًا نتيجة للتفكير، أن نفس الرجال يعجبون بالمؤلف العظيم بسبب حركاته، ويسخرون منه بسبب دينه؟" ^{[ 9 ]}

هنا يسخر بيركلي من أولئك الذين يحتفون بنيوتن (مخترع "التدفقات"، التي تُعادل تقريبًا التفاضلات في الإصدارات اللاحقة من حساب التفاضل والتكامل) باعتباره عبقريًا، بينما يستهزئ بتدينه المعروف. ولأن بيركلي يُشير هنا صراحةً إلى إيمان نيوتن الديني، يبدو أن ذلك يُشير إلى أنه لم يقصد أن يربط قرّاءه بين "الرياضي الكافر" (أي عديم الإيمان) ونيوتن.

تعلق مؤرخة الرياضيات جوديث غرابينر قائلةً: "كانت انتقادات بيركلي لدقة حساب التفاضل والتكامل ساخرةً وقاسيةً، ولكنها - فيما يتعلق بالممارسات الرياضية التي كان ينتقدها - صحيحةً في جوهرها". ^{[ 10 ]} وبينما كانت انتقاداته للممارسات الرياضية سليمة، فقد وُجهت انتقادات لمقالته على أسس منطقية وفلسفية.

على سبيل المثال، يجادل ديفيد شيري بأن نقد بيركلي لحساب التفاضل والتكامل يتألف من نقد منطقي ونقد ميتافيزيقي. يتمثل النقد المنطقي في مغالطة الافتراضات ، أي كسب نقاط في الحجة من خلال افتراض معين، ثم إنهاء الحجة بافتراض مناقض مع الحفاظ على تلك النقاط. أما النقد الميتافيزيقي فيُشكك في وجود مفاهيم مثل التدفقات واللحظات والمتناهيات في الصغر، وهو متجذر في فلسفة بيركلي التجريبية التي لا تقبل أي تعبير دون مرجع. ^{[ 11 ]} وقد بيّن أندرسن (2011) أن مذهب بيركلي في تعويض الأخطاء ينطوي على استدلال دائري منطقي. إذ يعتمد تحديد بيركلي لمشتقة الدالة التربيعية على تحديد أبولونيوس لمماس القطع المكافئ. ^{[ 12 ]}

بعد عامين من هذا النشر، نشر توماس بايز كتابًا مجهولًا بعنوان "مقدمة في مذهب التفاضل والتكامل، ودفاعًا عن علماء الرياضيات ضد اعتراضات مؤلف كتاب المحلل" (1736)، دافع فيه عن الأساس المنطقي لحساب التفاضل والتكامل لإسحاق نيوتن في مواجهة الانتقادات الواردة في كتاب المحلل . كما بدأ كتاب كولين ماكلورين ، المكون من مجلدين، بعنوان "رسالة في التفاضل والتكامل" والمنشور عام 1742، كرد فعل على هجمات بيركلي، بهدف إثبات دقة حساب نيوتن من خلال تطبيق أساليب الهندسة اليونانية عليه . ^{[ 10 ]}

على الرغم من هذه المحاولات، استمر تطوير حساب التفاضل والتكامل باستخدام أساليب غير دقيقة حتى حوالي عام 1830، عندما أعاد أوغسطين كوشي ، ولاحقًا برنارد ريمان وكارل فايرشتراس ، تعريف المشتقة والتكامل باستخدام تعريف دقيق لمفهوم النهاية . وكانت فكرة استخدام النهايات كأساس لحساب التفاضل والتكامل قد اقترحها دالمبير ، لكن تعريفه لم يكن دقيقًا وفقًا للمعايير الحديثة. ^{[ 13 ]} وقد ظهر مفهوم النهايات بالفعل في أعمال نيوتن، ^{[ 14 ]} لكنه لم يُصاغ بوضوح كافٍ ليصمد أمام انتقادات بيركلي. ^{[ 15 ]}

في عام 1966، قدّم أبراهام روبنسون التحليل غير القياسي ، الذي وفّر أساسًا متينًا للتعامل مع الكميات المتناهية الصغر. وقد وفّر هذا التحليل طريقة أخرى لوضع حساب التفاضل والتكامل على أساس رياضي دقيق، كما كان يُفعل قبل أن يتم تطوير تعريف النهاية (ε, δ) بشكل كامل.

يمكن قراءة النص الكامل لـ "المحلل" على موقع Wikisource ، وكذلك على موقع David R. Wilkins الإلكتروني، ^{[ 21 ]} والذي يتضمن بعض التعليقات والروابط لردود معاصري بيركلي.

كما تم إعادة نشر كتاب "المحلل" مع تعليقات عليه في أعمال حديثة:

• كتاب ويليام إيوالد من كانط إلى هيلبرت: كتاب مرجعي في أسس الرياضيات . ^{[ 22 ]}

يخلص إيوالد إلى أن اعتراضات بيركلي على حساب التفاضل والتكامل في عصره كانت مقبولة في الغالب في ذلك الوقت.

• عرض DM Jesseph في كتاب "الكتابات البارزة في الرياضيات الغربية" لعام 2005. ^{[ 23 ]}

• أندرسن، كيرستي (2011)، "إحدى حجج بيركلي حول تصحيح الأخطاء في حساب التفاضل والتكامل."، هيستوريا ماثيماتيكا ، 38 (2): 219-318 ، doi : 10.1016/j.hm.2010.07.001
• أركيريد، ليف (ديسمبر 2005)، "التحليل غير القياسي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 112 (10): 926-928 ، doi : 10.2307/30037635 ، JSTOR 30037635 
• بلاشيك، بيوتر؛ كاتز، ميخائيل ؛ شيري، ديفيد (2012)، "عشرة مفاهيم خاطئة من تاريخ التحليل وتفنيدها"، أسس العلوم ، 18 : 43-74 ، arXiv : 1202.4153 ، doi : 10.1007/s10699-012-9285-8 ، S2CID 254508527 
• بوير، سي ؛ ميرزباخ، يو (1991)، تاريخ الرياضيات (  الطبعة الثانية).
• بورتون، ديفيد (1997)، تاريخ الرياضيات: مقدمة ، ماكجرو هيل
• إدواردز، سي إتش (1994)، التطور التاريخي لحساب التفاضل والتكامل ، سبرينغر
• غرابينر، جوديث (مايو 1997)، "هل كان حساب نيوتن طريقًا مسدودًا؟ التأثير القاري لرسالة ماكلورين في التدفقات" ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 104 (5): 393-410 ، doi : 10.2307/2974733 ، JSTOR 2974733 
• Grabiner، Judith V. (Dec 2004)، “Newton، Maclaurin، and the Authority of Mathematics” ، مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية ، 111 (10): 841–852 ، دوى : 10.2307/4145093 ، JSTOR 4145093 
• كاتز، ميخائيل ؛ شيري، ديفيد (2012)، "متناهيات الصغر عند لايبنتز: خياليتها، وتطبيقاتها الحديثة، وخصومها من بيركلي إلى راسل وما بعدها"، إركنتنيس ، 78 (3): 571-625 ، arXiv : 1205.0174 ، doi : 10.1007/s10670-012-9370-y ، S2CID 254471766 
• كلاينر، آي.؛ موفشوفيتز-هادار، ن. (ديسمبر 1994)، "دور المفارقات في تطور الرياضيات"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 101 (10): 963-974 ، doi : 10.2307/2975163 ، JSTOR 2975163 
• ليدر، سولومون (مايو 1986)، "ما هو التفاضل؟ إجابة جديدة من التكامل الريماني المعمم"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 93 (5): 348-356 ، doi : 10.2307/2323591 ، JSTOR 2323591 
• بوركيو، بروس (2001)، "نيوتن ومفهوم النهاية"، هيستوريا ماث. ، 28 (1): 393-330 ، doi : 10.1006/hmat.2000.2301
• روبرت، آلان (1988)، التحليل غير القياسي ، نيويورك: وايلي، ISBN 978-0-471-91703-8
• شيري، د. (1987)، "آثار كتاب المحلل الرياضي لبيركلي: هل هي دقة رياضية ؟"، دراسات في الفلسفة التاريخية والعلوم ، 18 (4): 455-480 ، رمز Bibcode : 1987SHPSA..18..455S ، doi : 10.1016/0039-3681(87)90003-3
• رين، إف إل؛ غاريت، جيه إيه (مايو 1933)، "تطوير المفاهيم الأساسية للتحليل المتناهي الصغر"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 40 (5): 269-281 ، doi : 10.2307/2302202 ، JSTOR 2302202 

• أعمال متعلقة بكتاب "المحلل: خطاب موجه إلى عالم رياضيات غير مؤمن" على ويكي مصدر