مبدأ التحويل

في نظرية النماذج ، ينص مبدأ النقل على أن جميع عبارات لغة ما، إذا كانت صحيحة لبنية معينة، فهي صحيحة أيضًا لبنية أخرى. ومن أوائل الأمثلة على ذلك مبدأ ليفشيتز ، الذي ينص على أن أي جملة في لغة الحقول من الرتبة الأولى، إذا كانت صحيحة للأعداد المركبة، فهي صحيحة أيضًا لأي حقل مغلق جبريًا ذي خاصية صفرية .

وصف لايبنتز شكلاً بدائياً لمبدأ النقل تحت مسمى " قانون الاستمرارية ". ^{[ 1 ]} ويفترض هذا المبدأ أن للمتناهيات في الصغر نفس خصائص الأعداد الكبيرة. ويمكن أيضاً اعتبار مبدأ النقل صياغةً دقيقةً لمبدأ الثبات . وتُلاحظ اتجاهات مماثلة لدى كوشي ، الذي استخدم المتناهيات في الصغر لتعريف كلٍّ من استمرارية الدوال (في كتابه "دروس في التحليل " ) وشكل من أشكال دالة ديراك دلتا . ^{[ 1 ] : 903}

في عام 1955، أثبت جيرزي لوس مبدأ النقل لأي نظام أعداد فائقة الواقعية . ويُستخدم هذا المبدأ بشكل شائع في تحليل أبراهام روبنسون غير القياسي للأعداد فائقة الواقعية ، حيث ينص مبدأ النقل على أن أي جملة يمكن التعبير عنها بلغة رسمية معينة وتكون صحيحة بالنسبة للأعداد الحقيقية ، تكون صحيحة أيضاً بالنسبة للأعداد فائقة الواقعية.

يتعلق مبدأ النقل بالعلاقة المنطقية بين خصائص الأعداد الحقيقية R ، وخصائص حقل أكبر يُرمز إليه بـ * R ويُسمى الأعداد الفائقة الحقيقية . ويشمل الحقل * R ، على وجه الخصوص، الأعداد المتناهية الصغر ("الصغيرة للغاية")، مما يوفر تجسيدًا رياضيًا دقيقًا لمشروع بدأه لايبنتز.

الفكرة هي التعبير عن التحليل على R بلغة مناسبة من المنطق الرياضي ، ثم الإشارة إلى أن هذه اللغة تنطبق بنفس القدر على * R . وقد ثبت أن هذا ممكن لأن القضايا في هذه اللغة، على المستوى النظري للمجموعات، تُفسَّر على أنها تنطبق فقط على المجموعات الداخلية وليس على جميع المجموعات. وكما قال روبنسون ، تُفسَّر جمل [النظرية] في * R بالمعنى الذي قصده هينكين . ^{[ 2 ]}

تُسمى النظرية التي تنص على أن كل قضية صالحة على R ، صالحة أيضًا على * R ، بمبدأ النقل.

توجد عدة صيغ مختلفة لمبدأ النقل، وذلك بحسب نموذج الرياضيات غير القياسية المستخدم. من منظور نظرية النماذج، ينص مبدأ النقل على أن التحويل من نموذج قياسي إلى نموذج غير قياسي هو تمثيل أولي (تمثيل يحافظ على قيم الصواب لجميع العبارات في اللغة)، أو أحيانًا تمثيل أولي محدود (مشابه، ولكن فقط للعبارات ذات المحددات الكمية المحدودة ).

يبدو أن مبدأ النقل يؤدي إلى تناقضات إذا لم يُعالج بشكل صحيح. على سبيل المثال، بما أن الأعداد الحقيقية الفائقة تُشكّل حقلاً مرتباً غير أرخميدسي، بينما تُشكّل الأعداد الحقيقية حقلاً مرتباً أرخميدسياً، فإن خاصية كون العدد الحقيقي أرخميدسياً ("كل عدد حقيقي موجب أكبر من").${\displaystyle 1/n}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$يبدو للوهلة الأولى أن العبارة "كل عدد حقيقي موجب أكبر من" لا تفي بمبدأ النقل.${\displaystyle 1/n}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$هذا غير صحيح؛ ومع ذلك، فإن التفسير الصحيح هو "كل واقع مفرط إيجابي أكبر من"${\displaystyle 1/n}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$". بعبارة أخرى، تبدو العوالم الفائقة أرخميدية بالنسبة لمراقب داخلي يعيش في الكون غير القياسي، ولكنها تبدو غير أرخميدية بالنسبة لمراقب خارجي خارج الكون.

يُعد كتاب كيسلر " حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل متناهي الصغر" صياغة سهلة الفهم لمبدأ النقل على مستوى السنة الأولى .

تاريخياً، تم تعميم مفهوم العدد مراراً وتكراراً. إضافة الصفر إلى الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$كان إنجازًا فكريًا كبيرًا في عصره. جمع الأعداد الصحيحة السالبة لتكوين${\displaystyle \mathbb {Z} }$شكّل ذلك بالفعل خروجًا عن نطاق التجربة المباشرة إلى نطاق النماذج الرياضية. أما التوسع الإضافي، الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$، أكثر ألفة للشخص العادي من إتمامهم${\displaystyle \mathbb {R} }$ويرجع ذلك جزئياً إلى أن الأعداد الحقيقية لا تتوافق مع أي واقع مادي (بمعنى القياس والحساب) يختلف عن الواقع الذي يمثله${\displaystyle \mathbb {Q} }$وبالتالي، فإن مفهوم العدد غير النسبي لا معنى له حتى بالنسبة لأقوى الحواسيب ذات الفاصلة العائمة. ولا تنبع ضرورة هذا التوسع من الملاحظة الفيزيائية، بل من المتطلبات الداخلية للاتساق الرياضي. دخلت المتناهيات في الصغر الخطاب الرياضي في وقتٍ كانت فيه التطورات الرياضية آنذاك، وتحديدًا ظهور ما عُرف بحساب المتناهيات في الصغر، تتطلب مثل هذا المفهوم . وكما ذُكر سابقًا، تأخر التبرير الرياضي لهذا التوسع الأخير ثلاثة قرون. كتب كيسلر :

"عند مناقشة الخط الحقيقي، لاحظنا أنه ليس لدينا طريقة لمعرفة ماهية الخط في الفضاء الفيزيائي حقًا. قد يكون مثل الخط فائق الواقعية، أو الخط الحقيقي، أو لا هذا ولا ذاك. ومع ذلك، في تطبيقات حساب التفاضل والتكامل، من المفيد تخيل الخط في الفضاء الفيزيائي كخط فائق الواقعية."

أصبح التطور المتسق ذاتيًا للأعداد الفائقة الحقيقية ممكنًا إذا افترضنا صحة كل عبارة منطقية من الدرجة الأولى تستخدم العمليات الحسابية الأساسية ( الأعداد الطبيعية ، الجمع، الضرب، المقارنة) وتُجري عمليات التكميم فقط على الأعداد الحقيقية، وذلك بصيغة مُعاد تفسيرها إذا افترضنا أنها تُجري عمليات التكميم على الأعداد الفائقة الحقيقية. على سبيل المثال، يمكننا القول إنه لكل عدد حقيقي يوجد عدد آخر أكبر منه.

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad \exists y\in \mathbb {R} \quad x<y.}$

وينطبق الأمر نفسه على الواقع المفرط:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad \exists y\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<y.}$

مثال آخر هو القول بأنه إذا أضفت 1 إلى عدد ما، فستحصل على عدد أكبر:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \quad x<x+1}$

وينطبق هذا أيضاً على الواقعية المفرطة:

${\displaystyle \forall x\in {}^{\star }\mathbb {R} \quad x<x+1.}$

يُطلق على الصياغة العامة الصحيحة التي تُعبّر عن هذه المكافئات اسم مبدأ النقل. تجدر الإشارة إلى أنه في العديد من صيغ التحليل، يتم التكميم على كائنات من الرتبة العليا مثل الدوال والمجموعات، مما يجعل مبدأ النقل أكثر دقةً مما توحي به الأمثلة السابقة.

لكن مبدأ النقل لا يعني أن R و * R لهما نفس السلوك. على سبيل المثال، في * R يوجد عنصر ω بحيث

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots }$

لكن لا يوجد مثل هذا العدد في R. وهذا ممكن لأن عدم وجود هذا العدد لا يمكن التعبير عنه بعبارة من الدرجة الأولى من النوع المذكور أعلاه. يُطلق على العدد الفائق الحقيقي مثل ω اسم العدد اللامتناهي في الكبر؛ ومقلوبات الأعداد اللامتناهية في الكبر هي الأعداد المتناهية في الصغر.

تشكل الأعداد الفائقة الحقيقية * R حقلاً مرتباً يحتوي على الأعداد الحقيقية R كحقل فرعي. على عكس الأعداد الحقيقية، لا تشكل الأعداد الفائقة الحقيقية فضاءً مترياً قياسياً ، ولكن بحكم ترتيبها، فإنها تحمل طوبولوجيا ترتيبية .

يمكن تطوير الأعداد الفائقة الحقيقية إما بطريقة بديهية أو بأساليب أكثر توجهاً نحو البناء. جوهر المنهج البديهي هو تأكيد (1) وجود عدد متناهي الصغر واحد على الأقل، و(2) صحة مبدأ النقل. في القسم الفرعي التالي، نقدم مخططاً تفصيلياً لمنهج أكثر بناءً. تسمح هذه الطريقة بإنشاء الأعداد الفائقة الحقيقية إذا توفر لدينا كائن نظري للمجموعات يُسمى المرشح الفائق ، ولكن لا يمكن إنشاء المرشح الفائق نفسه بشكل صريح. يقدم فلاديمير كانوفي وشيلاه ^{[ 3 ]} بناءً لامتداد أولي قابل للتعريف ومشبع عددياً للبنية التي تتكون من الأعداد الحقيقية وجميع العلاقات المنتهية عليها.

في أكثر أشكالها عمومية، يكون النقل عبارة عن تضمين أولي محدود بين الهياكل.

الحقل المرتب ^* R للأعداد الحقيقية غير القياسية يشمل الحقل الحقيقي R بشكل صحيح . ومثل جميع الحقول المرتبة التي تشمل R بشكل صحيح ، فإن هذا الحقل غير أرخميدسي . وهذا يعني أن بعض عناصر ^* R التي x  ≠  0 متناهية الصغر ، أي

${\displaystyle \underbrace {\left|x\right|+\cdots +\left|x\right|} _{n{\text{ terms}}}<1}$لكل عدد أصلي محدود n.

العدد المتناهي الصغر الوحيد في R هو 0. بعض العناصر الأخرى في ^* R ، وهي مقلوبات الأعداد المتناهية الصغر غير الصفرية، هي أعداد لانهائية، أي

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ terms}}}<\left|y\right|}$لكل عدد أصلي محدود n.

المجموعة الأساسية للحقل ^* R هي صورة R تحت تأثير تطبيق A ↦ ^* A من المجموعات الجزئية A من R إلى المجموعات الجزئية من ^* R . في كل حالة  

${\displaystyle A\subseteq {^{*}\!A},}$

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كانت المجموعة A منتهية. مجموعات من الشكل ^* A لبعض${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$تُسمى هذه المجموعات بالمجموعات الجزئية القياسية من ^* R . تنتمي المجموعات القياسية إلى فئة أكبر بكثير من المجموعات الجزئية من ^* R تُسمى المجموعات الداخلية . وبالمثل، كل دالة

${\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} }$

يمتد إلى دالة

${\displaystyle {^{*}\!f}:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} };}$

تُسمى هذه الدوال بالدوال القياسية ، وهي تنتمي إلى فئة الدوال الداخلية الأوسع بكثير . أما المجموعات والدوال التي ليست داخلية فتُسمى خارجية .

تكمن أهمية هذه المفاهيم في دورها في الاقتراح التالي، ويتضح ذلك من خلال الأمثلة التي تليه.

مبدأ النقل:

• لنفترض أن قضية صحيحة بالنسبة لـ ^* R يمكن التعبير عنها عبر دوال لعدد محدود من المتغيرات (مثل ( x , y ) ↦ x + y )، وعلاقات بين عدد محدود من المتغيرات (مثل x ≤ y )، وروابط منطقية محدودة مثل " و "، و" أو" ، و" ليس "، و"إذا...إذن..." ، والمحددات الكمية.       

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\exists x\in \mathbb {R} .}$

على سبيل المثال، أحد هذه الافتراضات هو

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ \exists y\in \mathbb {R} \ x+y=0.}$

تكون هذه القضية صحيحة في R إذا وفقط إذا كانت صحيحة في ^* R عندما يكون المُكمِّم

${\displaystyle \forall x\in {^{*}\!\mathbb {R} }}$

يستبدل

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,}$

وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle \exists }$.

• لنفترض أن قضية يمكن التعبير عنها ببساطة مثل تلك التي تم تناولها أعلاه تذكر بعض المجموعات المحددة${\displaystyle \scriptstyle A\,\subseteq \,\mathbb {R} }$تكون هذه القضية صحيحة في R إذا وفقط إذا كانت صحيحة في ^* R مع استبدال كل " A " من هذا القبيل بـ ^* A المقابل . إليك مثالان:

• المجموعة

${\displaystyle [0,1]^{\ast }=\{\,x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\,\}^{\ast }}$

يجب أن يكون

${\displaystyle \{\,x\in {^{*}\mathbb {R} }:0\leq x\leq 1\,\},}$

لا يقتصر ذلك على عناصر R بين 0 و1 شاملةً، بل يشمل أيضًا عناصر ^* R بين 0 و1 التي تختلف عن تلك العناصر بمقادير متناهية الصغر. ولتوضيح ذلك، لاحظ أن الجملة

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \ (x\in [0,1]{\text{ if and only if }}0\leq x\leq 1)}$

ينطبق هذا في لغة R ، ونطبق مبدأ النقل.

• يجب ألا يكون للمجموعة ^* N حد أعلى في ^* R (لأن الجملة التي تعبر عن عدم وجود حد أعلى لـ N في R بسيطة بما يكفي لتطبيق مبدأ النقل عليها)، ويجب أن تحتوي على n  +  1 إذا كانت تحتوي على n ، ولكن يجب ألا تحتوي على أي شيء بين n و n  +  1. أعضاء

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

هي "أعداد صحيحة لا نهائية".

• لنفترض أن قضية يمكن التعبير عنها ببساطة مثل تلك التي تم تناولها أعلاه تحتوي على المُكمِّم

${\displaystyle \forall A\subseteq \mathbb {R} \dots {\text{ or }}\exists A\subseteq \mathbb {R} \dots \ .}$

تكون هذه الفرضية صحيحة في R إذا وفقط إذا كانت صحيحة في ^* R بعد التغييرات المحددة أعلاه واستبدال المحددات الكمية بـ

${\displaystyle [\forall {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]}$

و

${\displaystyle [\exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {R} }\dots ]\ .}$

يُعد عالم الكيانات الداخلية الإطار المناسب لمبدأ النقل في الأعداد الحقيقية الفائقة . وبالتالي، فإن خاصية الترتيب الجيد للأعداد الطبيعية عن طريق النقل تُؤدي إلى حقيقة أن كل مجموعة فرعية داخلية من${\displaystyle \mathbb {N} }$يحتوي على أصغر عنصر. في هذا القسم، تتم مناقشة المجموعات الداخلية بمزيد من التفصيل.

• كل مجموعة جزئية داخلية غير فارغة من ^* R لها حد أعلى في ^* R لها حد أعلى أصغر في ^* R . وبالتالي، فإن مجموعة جميع المتناهيات في الصغر هي مجموعة خارجية.
  • ينص مبدأ الترتيب الجيد على أن كل مجموعة جزئية داخلية غير فارغة من ^* N تحتوي على أصغر عنصر. وبالتالي، فإن المجموعة

${\displaystyle {^{*}\mathbb {N} }\setminus \mathbb {N} }$

جميع الأعداد الصحيحة اللانهائية خارجية.

• إذا كان n عددًا صحيحًا لانهائيًا، فإن المجموعة {1،  ...، n } (وهي ليست مجموعة قياسية) يجب أن تكون مجموعة داخلية. لإثبات ذلك، لاحظ أولًا أن ما يلي صحيح بشكل بديهي: 

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \ \exists A\subseteq \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {N} \ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

بالتالي

${\displaystyle \forall n\in {^{*}\mathbb {N} }\ \exists {\text{ internal }}A\subseteq {^{*}\mathbb {N} }\ \forall x\in {^{*}\mathbb {N} }\ [x\in A{\text{ iff }}x\leq n].}$

• كما هو الحال مع المجموعات الداخلية، كذلك مع الدوال الداخلية: استبدل

${\displaystyle \forall f:A\rightarrow \mathbb {R} \dots }$

مع

${\displaystyle \forall {\text{ internal }}f:{^{*}\!A}\rightarrow {^{*}\mathbb {R} }\dots }$

عند تطبيق مبدأ النقل، وبالمثل مع${\displaystyle \exists }$بدلاً من${\displaystyle \forall }$.

على سبيل المثال: إذا كان n عددًا صحيحًا لانهائيًا، فإن متمم صورة أي دالة أحادية داخلية ƒ من المجموعة اللانهائية {1،  ...، n } إلى {1، ...، n ، n + 1، n + 2، n + 3} يحتوي على ثلاثة عناصر بالضبط وفقًا لمبدأ النقل. نظرًا لأن المجال لانهائي، فإن متممات صور الدوال الأحادية من المجموعة الأولى إلى المجموعة الثانية تأتي بأحجام مختلفة، ولكن معظم هذه الدوال خارجية.            

هذا المثال الأخير يحفز تعريفًا مهمًا: المجموعة الفرعية *-المنتهية (تُنطق ستار-فينيت ) من ^* R هي مجموعة يمكن وضعها في تناظر داخلي واحد لواحد مع {1،  ...، n } لبعض n ∈ ^* N.   

• حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل إلى الكميات المتناهية الصغر
• مبدأ الديمومة
• عمومية الجبر

• تشانغ، تشين تشونغ؛ كيسلر، هـ. جيروم (1990) [1973]، نظرية النماذج ، دراسات في المنطق وأسس الرياضيات (  الطبعة الثالثة)، إلسيفير ، ISBN 978-0-444-88054-3
• هاردي، مايكل: "الجبر البولياني المقياس". التقدم في الرياضيات التطبيقية 29 (2002)، العدد 2، 243 – 292.
• كانوفي، فلاديمير؛ شيلاه، ساهارون (2004)، "نموذج غير قياسي قابل للتعريف للأعداد الحقيقية" ، مجلة المنطق الرمزي ، 69 : 159-164 ، arXiv : math/0311165 ، doi : 10.2178/jsl/1080938834 ، S2CID 15104702 
• كيسلر، إتش. جيروم (2000). "حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: نهج متناهي الصغر" .
• كولمان، ف.-ف. (2001) [1994]، "مبدأ النقل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• Łoś، Jerzy (1955) بعض الملاحظات والنظريات والمشكلات حول فئات الجبر المحددة. التفسير الرياضي للأنظمة الرسمية، الصفحات من  98 إلى 113. شركة شمال هولندا للنشر، أمستردام.
• روبنسون، أبراهام (1996)، التحليل غير القياسي ، مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN 978-0-691-04490-3، MR 0205854