الاستمرارية الدقيقة

في التحليل غير القياسي ، وهو فرع من فروع الرياضيات الكلاسيكية، يتم تعريف الاستمرارية الجزئية (أو الاستمرارية S ) للدالة الداخلية f عند النقطة a على النحو التالي:

لكل x قريب بشكل لانهائي من a ، فإن قيمة f ( x ) قريبة بشكل لانهائي من f ( a ).

هنا، يمر المتغير x عبر مجال الدالة f . ويمكن التعبير عن ذلك بالصيغ الرياضية كما يلي:

لو${\displaystyle x\approx a}$ثم${\displaystyle f(x)\approx f(a)}$.

للدالة f المعرفة على${\displaystyle \mathbb {R} }$، ويمكن التعبير عن التعريف بدلالة الهالة على النحو التالي: f متصلة ميكرويًا عند${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(hal(c))\subseteq hal(f(c))}$حيث لا يزال يُرمز إلى الامتداد الطبيعي لـ f إلى الأعداد الفائقة الحقيقية بـ f . وبدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن خاصية الاستمرارية الجزئية عند c بالقول إن التركيب${\displaystyle {\text{st}}\circ f}$ثابت على هالة c ، حيث "st" هي دالة الجزء القياسية .

عرّف بولزانو خاصية استمرارية الدالة لأول مرة عام 1817. إلا أن عمل بولزانو لم يلقَ رواجاً واسعاً في الأوساط الرياضية إلا بعد إعادة اكتشافه في كتاب هاينه في ستينيات القرن التاسع عشر. وفي الوقت نفسه، عرّف كوشي في كتابه " دروس التحليل" (Cours d'Analyse) خاصية الاستمرارية عام 1821 باستخدام المتناهيات في الصغر كما سبق ذكره. ^{[ 1 ]}

تُطبَّق خاصية الاستمرارية الجزئية عادةً على الامتداد الطبيعي f* لدالة حقيقية f . وبالتالي، تكون f المعرفة على فترة حقيقية I مستمرة إذا وفقط إذا كانت f* مستمرة جزئيًا عند كل نقطة من I. في الوقت نفسه، تكون f مستمرة بانتظام على I إذا وفقط إذا كانت f* مستمرة جزئيًا عند كل نقطة (قياسية وغير قياسية) من الامتداد الطبيعي I* لمجالها I (انظر ديفيس، 1977، ص  96).

الوظيفة الحقيقية${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$لا تكون الدالة f على الفترة المفتوحة (0,1) متصلة بانتظام لأن الامتداد الطبيعي f* للدالة f لا يكون متصلاً على المستوى الميكروي عند قيمة متناهية الصغر${\displaystyle a>0}$في الواقع، بالنسبة لقيمة a هذه ، تكون قيمتا a و 2a متقاربتين للغاية، لكن قيم f* ، أي${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$و${\displaystyle {\tfrac {1}{2a}}}$ليست قريبة إلى ما لا نهاية.

الوظيفة${\displaystyle f(x)=x^{2}}$على${\displaystyle \mathbb {R} }$ليست متصلة بشكل منتظم لأن f* لا تكون متصلة جزئيًا عند نقطة لانهائية${\displaystyle H\in \mathbb {R} ^{*}}$أي، تحديد${\displaystyle e={\tfrac {1}{H}}}$و K  = H + e ، يمكن للمرء أن يرى بسهولة أن H و K قريبتان إلى ما لا نهاية ولكن f *( H ) و f *( K ) ليستا قريبتين إلى ما لا نهاية.   

وبالمثل، يسمح التقارب المنتظم بتعريف مبسط في بيئة الواقعية المفرطة. وبالتالي، فإن المتتالية${\displaystyle f_{n}}$يتقارب إلى f بشكل منتظم إذا كان لكل x في مجال f* ولكل n اللانهائي ،${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$قريب جدًا من${\displaystyle f^{*}(x)}$.

• وظيفة الجزء القياسية

• مارتن ديفيس (1977) التحليل غير القياسي التطبيقي. الرياضيات البحتة والتطبيقية. وايلي-إنترساينس [جون وايلي وأولاده]، نيويورك-لندن-سيدني. 181 صفحة + 12 صفحة تمهيدية. ISBN 0-471-19897-8
• غوردون، إي آي؛ كوسرايف، إيه جي؛ كوتاتيلادزه ، إس إس: التحليل المتناهي الصغر. ترجمة محدثة ومنقحة للأصل الروسي الصادر عام 2001. ترجمة كوتاتيلادزه. الرياضيات وتطبيقاتها، 544. دار نشر كلوير الأكاديمية، دوردريخت، 2002.