الحد النظري للمجموعات

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 95 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، نهاية متتالية من المجموعات​أ1،أ2،...{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }( مجموعات جزئية من مجموعة مشتركة)X{\displaystyle X}) هي مجموعة تُحدد عناصرها بواسطة المتتالية بإحدى طريقتين متكافئتين: (1) بواسطة حدود عليا وسفلى للمتتالية تتقارب بشكل رتيب إلى نفس المجموعة (على غرار تقارب المتتاليات ذات القيم الحقيقية )، و (2) بواسطة تقارب متتالية من دوال المؤشر التي هي نفسها ذات قيم حقيقية . وكما هو الحال مع متتاليات الكائنات الأخرى، فإن التقارب ليس ضروريًا أو حتى شائعًا.

وبشكل أعم، وكما هو الحال مع المتتابعات ذات القيم الحقيقية، فإن الحد الأدنى والحد الأعلى الأقل تقييدًا لمتتابعة مجموعة موجودان دائمًا، ويمكن استخدامهما لتحديد التقارب: فالحد موجود إذا كان الحد الأدنى والحد الأعلى متطابقين. (انظر أدناه). وتُعدّ هذه الحدود للمجموعات أساسية في نظرية القياس والاحتمالات .

من المفاهيم الخاطئة الشائعة أن الحدين الأدنى والأعلى الموصوفين هنا يتضمنان مجموعات من نقاط التراكم، أي مجموعات منx=ليمك→∞xك،{\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x_{k},}حيث كلxك{\displaystyle x_{k}}موجود في بعضأنك.{\displaystyle A_{n_{k}}.}هذا صحيح فقط إذا تم تحديد التقارب بواسطة المقياس المنفصل (أي،xن→x{\displaystyle x_{n}\to x}إذا كان هناكشمال{\displaystyle N}بحيثxن=x{\displaystyle x_{n}=x}للجميعن≥شمال{\displaystyle n\geq N}يقتصر هذا المقال على تلك الحالة لأنها الحالة الوحيدة ذات الصلة بنظرية القياس والاحتمالات. انظر الأمثلة أدناه. (من جهة أخرى، توجد مفاهيم طوبولوجية أكثر عمومية لتقارب المجموعات تتضمن نقاط تراكمية في ظل مقاييس أو طوبولوجيات مختلفة ).

التعريفات

التعريفان

لنفترض أن(أن)ن=1∞{\displaystyle \left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}هي سلسلة من المجموعات. التعريفان المتكافئان هما كما يلي.

  • باستخدام الاتحاد والتقاطع : تعريف [ 1 ] [ 2 ]الحد الأقصى غير محدودن→∞أن=⋃ن≥1⋂ج≥نأج{\displaystyle \liminf _{n\to \infty}A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}}وليم سوبن→∞أن=⋂ن≥1⋃ج≥نأج{\displaystyle \limsup _{n\to \infty}A_{n}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}}إذا كانت هاتان المجموعتان متساويتين، فإن النهاية النظرية للمجموعات للمتتاليةأن{\displaystyle A_{n}}توجد مجموعة مشتركة وتساوي تلك المجموعة. يمكن استخدام أي من المجموعتين المذكورتين أعلاه للحصول على النهاية، وقد توجد طرق أخرى للحصول على النهاية أيضًا.
  • باستخدام دوال المؤشر : let1أن(x){\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x)}متساوي1{\displaystyle 1}لوx∈أن،{\displaystyle x\in A_{n},}و0{\displaystyle 0}وإلا. عرّف [ 1 ]الحد الأقصى غير محدودن→∞أن={x∈X:الحد الأقصى غير محدودن→∞1أن(x)=1}{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}}}وليم سوبن→∞أن={x∈X:ليم سوبن→∞1أن(x)=1}،{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}},}حيث تمثل التعبيرات الموجودة داخل الأقواس على اليمين، على التوالي، الحد الأدنى والحد الأعلى للمتتالية ذات القيم الحقيقية1أن(x).{\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x).}ومرة أخرى، إذا كانت هاتان المجموعتان متساويتين، فإن النهاية النظرية للمجموعات للمتتاليةأن{\displaystyle A_{n}}موجود ويساوي تلك المجموعة المشتركة، ويمكن استخدام أي من المجموعتين كما هو موضح أعلاه للحصول على النهاية.

لإثبات تكافؤ التعريفات، انظر إلى الحد الأدنى. يوضح استخدام قانون دي مورغان أدناه سبب كفاية هذا للحد الأعلى. بما أن دوال المؤشر لا تأخذ إلا قيمًا0{\displaystyle 0}و1،{\displaystyle 1,}الحد الأقصى غير محدودن→∞1أن(x)=1{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1}إذا وفقط إذا1أن(x){\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x)}يأخذ قيمة0{\displaystyle 0}مرات محدودة فقط. أو بعبارة أخرى، x∈⋃ن≥1⋂ج≥نأج{\textstyle x\in \bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}} إذا وفقط إذا كان هناكن{\displaystyle n}بحيث يكون العنصر فيأم{\displaystyle A_{m}}لكلم≥ن،{\displaystyle m\geq n,}أي إذا وفقط إذاx∉أن{\displaystyle x\not \in A_{n}}لعدد محدود فقطن.{\displaystyle n.} لذلك،x{\displaystyle x}موجود فيالحد الأقصى غير محدودن→∞أن{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}}إذا وفقط إذاx{\displaystyle x}موجود في كل شيء إلا في عدد محدود منأن.{\displaystyle A_{n}.}ولهذا السبب، فإن العبارة المختصرة للحد الأدنى هي "x{\displaystyle x}هو فيأن{\displaystyle A_{n}}"في أغلب الأحيان تقريبًا"، وعادةً ما يتم التعبير عنها بكتابة "أن{\displaystyle A_{n}}abfo".

وبالمثل، عنصرx{\displaystyle x}تكون في الحد الأعلى إذا، بغض النظر عن حجمهان{\displaystyle n}أي، يوجدم≥ن{\displaystyle m\geq n}بحيث يكون العنصر فيأم.{\displaystyle A_{m}.}إنه،x{\displaystyle x}تكون في الحد الأعلى إذا وفقط إذاx{\displaystyle x}يوجد في عدد لا نهائي منأن.{\displaystyle A_{n}.}ولهذا السبب، فإن العبارة المختصرة للحد الأعلى هي "x{\displaystyle x}هو فيأن{\displaystyle A_{n}}"بشكل متكرر إلى ما لا نهاية"، وعادة ما يتم التعبير عنها بكتابة "أن{\displaystyle A_{n}}io".

وبعبارة أخرى، تتكون النهاية الدنيا من عناصر "تبقى إلى الأبد" (تبقى في كل مجموعة بعد حد معين) .ن{\displaystyle n}بينما تتكون القيمة العليا الحدية من عناصر "لا تغادر أبدًا" (توجد في مجموعة ما بعد كلن{\displaystyle n}أو بشكل أكثر رسمية:

ليمن∈شمالأن=ل⟺{\textstyle \lim _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=L\quad \Longleftrightarrow }  لكلx∈ل{\displaystyle x\in L}  يوجدن0∈شمال{\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }معx∈أن{\displaystyle x\in A_{n}}للجميعن≥ن0{\displaystyle n\geq n_{0}}و
لكلy∈X∖ل{\displaystyle y\in X\!\setminus \!L}يوجدص0∈شمال{\displaystyle p_{0}\in \mathbb {N} }معy∉أص{\displaystyle y\not \in A_{p}}للجميعص≥ص0{\displaystyle p\geq p_{0}}.

متواليات رتيبة

التسلسل(أن){\displaystyle \left(A_{n}\right)}يُقال إنها غير متزايدة إذاأن+1⊆أن{\displaystyle A_{n+1}\subseteq A_{n}}لكلن،{\displaystyle n,}وغير متناقصة إذاأن⊆أن+1{\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}لكلن.{\displaystyle n.}في كل حالة من هذه الحالات، توجد نهاية المجموعة. لنأخذ على سبيل المثال متتالية غير متزايدة(أن).{\displaystyle \left(A_{n}\right).}ثم ⋂ج≥نأج=⋂ج≥1أج و ⋃ج≥نأج=أن.{\displaystyle \bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}{\text{ and }}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=A_{n}.} ويترتب على ذلك أن الحد الأقصى غير محدودن→∞أن=⋃ن≥1⋂ج≥نأج=⋂ج≥1أج=⋂ن≥1⋃ج≥نأج=ليم سوبن→∞أن.{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.} وبالمثل، إذا(أن){\displaystyle \left(A_{n}\right)}إذا كانت غير متناقصة ليمن→∞أن=⋃ج≥1أج.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{j\geq 1}A_{j}.}

يتم تعريف مجموعة كانتور بهذه الطريقة.

ملكيات

  • إذا كان الحد1أن(x)،{\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x),}مثلن{\displaystyle n}يمتد إلى ما لا نهاية، موجود للجميعx{\displaystyle x}ثمليمن→∞أن={x∈X:ليمن→∞1أن(x)=1}.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\left\{x\in X:\lim _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1\right\}.}وإلا، فإن الحد الأقصى لـ(أن){\displaystyle \left(A_{n}\right)}غير موجود.
  • يمكن إثبات أن الحد الأدنى موجود في الحد الأعلى:الحد الأقصى غير محدودن→∞أن⊆ليم سوبن→∞أن،{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }A_{n},}على سبيل المثال، بمجرد ملاحظة ذلكx∈أن{\displaystyle x\in A_{n}}يشير مصطلح "جميعها تقريبًا" إلى "غالبًا ما يكون محدودًا".x∈أن{\displaystyle x\in A_{n}}بشكل متكرر لا نهائياً.
  • باستخدام خاصية الرتابة لـبن=⋂ج≥نأج{\textstyle B_{n}=\bigcap _{j\geq n}A_{j}}و منجن=⋃ج≥نأج،{\textstyle C_{n}=\bigcup _{j\geq n}A_{j},}الحد الأقصى غير محدودن→∞أن=ليمن→∞⋂ج≥نأج و ليم سوبن→∞أن=ليمن→∞⋃ج≥نأج.{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}\quad {\text{ and }}\quad \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j}.}
  • باستخدام قانون دي مورغان مرتين، مع متمم المجموعةأج:=X∖أ،{\displaystyle A^{c}:=X\setminus A,}الحد الأقصى غير محدودن→∞أن=⋃ن(⋃ج≥نأجج)ج=(⋂ن⋃ج≥نأجج)ج=(ليم سوبن→∞أنج)ج.{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\left(\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}^{c}\right)^{c}.}إنه،x∈أن{\displaystyle x\in A_{n}}عبارة "في أغلب الأحيان، باستثناء الحالات المحدودة" هي نفسها عبارة "في أغلب الأحيان".x∉أن{\displaystyle x\not \in A_{n}}بشكل محدود في كثير من الأحيان.
  • انطلاقاً من التعريف الثاني أعلاه وتعريفات الحد الأدنى والحد الأعلى لمتتالية ذات قيم حقيقية،1الحد الأقصى غير محدودن→∞أن(x)=الحد الأقصى غير محدودن→∞1أن(x)=رشفةن≥1معلوماتج≥ن1أج(x){\displaystyle \mathbb {1} _{\liminf _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\sup _{n\geq 1}\inf _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x)}و1ليم سوبن→∞أن(x)=ليم سوبن→∞1أن(x)=معلوماتن≥1رشفةج≥ن1أج(x).{\displaystyle \mathbb {1} _{\limsup _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\inf _{n\geq 1}\sup _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x).}
  • يفترضF{\displaystyle {\mathcal {F}}}هي جبر 𝜎 من مجموعات جزئية منX.{\displaystyle X.}إنه،F{\displaystyle {\mathcal {F}}}هي مجموعة غير فارغة ومغلقة تحت المكمل وتحت اتحادات وتقاطعات مجموعات قابلة للعد . إذن، وفقًا للتعريف الأول أعلاه، إذا كان كلأن∈F{\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}}}ثم كلاهماالحد الأقصى غير محدودن→∞أن{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}}وليم سوبن→∞أن{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}}هي عناصر منF.{\displaystyle {\mathcal {F}}.}

أمثلة

  • يتركأن=(-1ن،1-1ن].{\displaystyle A_{n}=\left(-{\tfrac {1}{n}},1-{\tfrac {1}{n}}\right].}ثم

الحد الأقصى غير محدودن→∞أن=⋃ن⋂ج≥ن(-1ج،1-1ج]=⋃ن[0،1-1ن]=[0،1){\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left[0,1-{\tfrac {1}{n}}\right]=[0,1)} و ليم سوبن→∞أن=⋂ن⋃ج≥ن(-1ج،1-1ج]=⋂ن(-1ن،1)=[0،1){\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{n}},1\right)=[0,1)} لذاليمن→∞أن=[0،1){\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=[0,1)}موجود.

  • غيّر الأمثلة السابقة إلىأن=((-1)نن،1-(-1)نن].{\displaystyle A_{n}=\left({\tfrac {(-1)^{n}}{n}},1-{\tfrac {(-1)^{n}}{n}}\right].}ثم

الحد الأقصى غير محدودن→∞أن=⋃ن⋂ج≥ن((-1)جج،1-(-1)جج]=⋃ن(12ن،1-12ن]=(0،1){\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left({\tfrac {1}{2n}},1-{\tfrac {1}{2n}}\right]=(0,1)} و ليم سوبن→∞أن=⋂ن⋃ج≥ن((-1)جج،1-(-1)جج]=⋂ن(-12ن-1،1+12ن-1]=[0،1]،{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{2n-1}},1+{\tfrac {1}{2n-1}}\right]=[0,1],} لذاليمن→∞أن{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}لا يوجد، على الرغم من حقيقة أن النهايات اليسرى واليمنى للفترات تتقارب إلى 0 و1 على التوالي.

  • يتركأن={0،1ن،2ن،...،ن-1ن،1}.{\displaystyle A_{n}=\left\{0,{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {2}{n}},\ldots ,{\tfrac {n-1}{n}},1\right\}.}ثم

⋃ج≥نأج=سؤال∩[0،1]{\displaystyle \bigcup _{j\geq n}A_{j}=\mathbb {Q} \cap [0,1]} هي مجموعة جميع الأعداد النسبية بين 0 و1 (شاملة)، لأنه حتى بالنسبة لـج<ن{\displaystyle j<n}و0≤ك≤ج،{\displaystyle 0\leq k\leq j,}كج=نكنج{\displaystyle {\tfrac {k}{j}}={\tfrac {nk}{nj}}}يُعدّ هذا عنصراً مما سبق. لذلك، ليم سوبن→∞أن=سؤال∩[0،1].{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\mathbb {Q} \cap [0,1].} على الجانب الآخر،⋂ج≥نأج={0،1}،{\displaystyle \bigcap _{j\geq n}A_{j}=\{0,1\},}وهذا يعني الحد الأقصى غير محدودن→∞أن={0،1}.{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\{0,1\}.} في هذه الحالة، التسلسلأ1،أ2،...{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }ليس له حد أقصى. لاحظ أنليمن→∞أن{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}ليست مجموعة نقاط التراكم، والتي ستكون الفترة بأكملها[0،1]{\displaystyle [0,1]}(وفقًا للمقياس الإقليدي المعتاد ).

استخدامات الاحتمالات

تُعدّ حدود المجموعات، ولا سيما الحد الأدنى والحد الأعلى، أساسيةً في نظرية الاحتمالات والقياس . تُستخدم هذه الحدود لحساب (أو إثبات) احتمالات وقياسات مجموعات أخرى ذات غايةٍ أسمى. فيما يلي،(X،F،P){\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}هو فضاء احتمالي ، مما يعنيF{\displaystyle {\mathcal {F}}}هي جبر سيجما لمجموعات جزئية منX{\displaystyle X}وP{\displaystyle \mathbb {P} }هو مقياس احتمالي مُعرَّف على جبر سيجما هذا. تُعرف المجموعات في جبر سيجما بالأحداث .

لوأ1،أ2،...{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }هو تسلسل رتيب للأحداث فيF{\displaystyle {\mathcal {F}}}ثمليمن→∞أن{\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}موجود و P(ليمن→∞أن)=ليمن→∞P(أن).{\displaystyle \mathbb {P} \left(\lim _{n\to \infty }A_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right).}

معضلات بوريل-كانتيلي

في الاحتمالات، يمكن أن تكون لميتا بوريل-كانتيلي مفيدتين لإثبات أن احتمال النهاية العليا لتسلسل من الأحداث يساوي 1 أو 0. نص لميتا بوريل-كانتيلي الأولى (الأصلية) هو

أول بوريل-كانتيلي ليما – إذا∑ن=1∞P(أن)<∞{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)<\infty }ثمP(ليم سوبن→∞أن)=0.{\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0.}

إن معضلة بوريل-كانتيلي الثانية هي عكس جزئي لما يلي:

بوريل-كانتيلي ليما الثانية - إذاأ1،أ2،...{\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }هي أحداث مستقلة و∑ن=1∞P(أن)=∞{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)=\infty }ثمP(ليم سوبن→∞أن)=1.{\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=1.}

تقارب شبه مؤكد

يُعدّ إثبات التقارب شبه المؤكد لسلسلة من المتغيرات العشوائية أحد أهم تطبيقات الاحتمالات . ويُعرف هذا الحدث بأنه حدث تحقق سلسلة من المتغيرات العشوائية.Y1،Y2،...{\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots }يتقارب إلى متغير عشوائي آخرY{\displaystyle Y}يُعبَّر عنه رسميًا على النحو التالي{ليم سوبن→∞|Yن-Y|=0}.{\textstyle \left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}.}لكن سيكون من الخطأ كتابة هذا ببساطة على أنه سرد للأحداث. أي أن هذا ليس الحدثليم سوبن→∞{|Yن-Y|=0}{\textstyle \limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}}بل إن مكمل الحدث هو {ليم سوبن→∞|Yن-Y|≠0}={ليم سوبن→∞|Yن-Y|>1ك بالنسبة للبعض ك}=⋃ك≥1⋂ن≥1⋃ج≥ن{|Yج-Y|>1ك}=ليمك→∞ليم سوبن→∞{|Yن-Y|>1ك}.{\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}&=\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|>{\frac {1}{k}}{\text{ for some }}k\right\}\\&=\bigcup _{k\geq 1}\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}\left\{\left|Y_{j}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\\&=\lim _{k\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}.\end{aligned}}} لذلك، P({ليم سوبن→∞|Yن-Y|≠0})=ليمك→∞P(ليم سوبن→∞{|Yن-Y|>1ك}).{\displaystyle \mathbb {P} \left(\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}\right)=\lim _{k\to \infty }\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\right).}

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 ريسنيك، سيدني آي. (1998). مسار الاحتمالات . بوسطن: بيركهاوزر. ISBN 3-7643-4055-X.
  2. ↑ غوت، آلان (2013). الاحتمالات: دورة دراسات عليا . نصوص سبرينغر في الإحصاء. المجلد 75. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4614-4708-5 . ISBN  978-1-4614-4707-8.