مجموعة الكذب

يتطلب التعريف الأصلي الذي وضعه إهريسمان${\displaystyle G}$و${\displaystyle M}$أن يمتلك بنية ناعمة بحيث فقط${\displaystyle m}$سلسة والخرائط${\displaystyle g\mapsto 1_{s(g)}}$و${\displaystyle g\mapsto 1_{t(g)}}$هي عمليات غمر جزئي (أي لها رتبة ثابتة محليًا ). وقد ثبت أن هذا التعريف ضعيف للغاية، فاستبدله برادين بالتعريف المستخدم حاليًا. ^{[ 4 ]}

بينما قدم بعض المؤلفين ^{[ 5 ]} تعريفات أضعف لم تتطلب${\displaystyle s}$و${\displaystyle t}$لكي تكون غمرًا، فإن هذه الخصائص أساسية لتطوير نظرية لي الكاملة للمجموعات الجزئية والجبرية.

حقيقة أن خريطة المصدر وخريطة الهدف لمجموعة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$للغمر السلس بعض العواقب المباشرة:

• ال${\displaystyle s}$الألياف${\displaystyle s^{-1}(x)\subseteq G}$، ال${\displaystyle t}$الألياف${\displaystyle t^{-1}(x)\subseteq G}$ومجموعة التشكلات القابلة للتركيب${\displaystyle G^{(2)}\subseteq G\times G}$هي فضاءات فرعية ؛
• خريطة الانعكاس${\displaystyle i}$هو تماثل تفاضلي ؛
• خريطة الوحدة${\displaystyle u}$هو تضمين سلس ؛
• مجموعات التناظر${\displaystyle G_{x}}$هي مجموعات لي ؛
• المدارات${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\subseteq M}$هي مشعبات فرعية مغمورة ؛
• ال${\displaystyle s}$-الفيبر${\displaystyle s^{-1}(x)}$في نقطة${\displaystyle x\in M}$هو مدير${\displaystyle G_{x}}$-حزمة فوق المدار${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$عند تلك النقطة.

زمرة فرعية من زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$هي مجموعة فرعية${\displaystyle H\rightrightarrows N}$(أي فئة فرعية من الفئة)${\displaystyle G}$) مع الشرط الإضافي الذي${\displaystyle H\subseteq G}$هي فضاء فرعي مغمور. أما بالنسبة للفئة الفرعية، فيُطلق على الزمرة الفرعية (لي) اسم واسعة إذا${\displaystyle N=M}$أي مجموعة كذب${\displaystyle G\rightrightarrows M}$يحتوي على مجموعتين فرعيتين واسعتين متعارف عليهما:

• وحدة/هوية مجموعة فرعية لي${\displaystyle u(M)=\{1_{x}\in G\mid x\in M\}}$؛
• المجموعة الفرعية الداخلية${\displaystyle IG:=\{g\in G\mid s(g)=t(g)\}}$، أي حزمة مجموعات التناظر (والتي قد لا تكون ناعمة بشكل عام).

الزمرة الجزئية العادية من نوع لي هي زمرة جزئية واسعة من نوع لي${\displaystyle H\subseteq G}$داخل${\displaystyle IG}$بحيث يكون لكل${\displaystyle h\in H,g\in G}$مع${\displaystyle s(h)=t(h)=s(g)}$، لدى المرء${\displaystyle ghg^{-1}\in H}$مجموعات التناظر لـ${\displaystyle H}$وبالتالي فهي مجموعات فرعية طبيعية من مجموعات التناظر لـ${\displaystyle G}$.

تشاكل زمرة لي بين زمرتين لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$و${\displaystyle H\rightrightarrows N}$هو تشاكل زمر${\displaystyle F:G\to H,f:M\to N}$(أي دالة بين الفئات)${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$حيث كلاهما${\displaystyle F}$و${\displaystyle f}$ناعمة. النواة${\displaystyle \ker(F):=\{g\in G\mid F(g)=1_{s(g)}\}}$إن التشكل بين زمر لي على نفس مشعب القاعدة هو تلقائيًا زمرة لي جزئية طبيعية.

الناتج​${\displaystyle G/\ker(F)\rightrightarrows M}$له بنية زمرية طبيعية بحيث يكون الإسقاط${\displaystyle G\to G/\ker(F)}$هو تشاكل زمر جزئي؛ ومع ذلك، على عكس قسمة زمر لي ،${\displaystyle G/\ker(F)}$قد لا يكون زمرة لي بشكل عام. وبناءً على ذلك، لا يمكن تخصيص نظريات التشاكل للزمر الجزئية لفئة زمر لي الجزئية بأكملها، بل لفئات خاصة فقط. ^{[ 6 ]}

تُسمى زمرة لي شبه تبديلية إذا كانت زمر لي المتناحية الخاصة بها تبديلية . ولأسباب مشابهة لما سبق، فبينما يمتد تعريف التبديلية لزمرة ما إلى الزمر شبهية في نظرية المجموعات، فإن نظير القسمة في حالة زمر لي هو${\displaystyle G^{ab}=G/(IG,IG)}$قد لا يكون موجودًا أو يكون سلسًا. ^{[ 7 ]}

تنصيف زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$هي خريطة سلسة${\displaystyle b:M\to G}$بحيث${\displaystyle s\circ b=id_{M}}$و${\displaystyle t\circ b}$هو تماثل تفاضلي لـ${\displaystyle M}$للتغلب على عدم التناظر بين المصدر والهدف، يمكن تعريف التنصيف بشكل مكافئ على أنه متعدد الشعب الفرعي${\displaystyle B\subseteq G}$بحيث${\displaystyle s_{\mid B}:B\to M}$و${\displaystyle t_{\mid B}:B\to M}$هي تحويلات تماثلية؛ والعلاقة بين التعريفين معطاة بواسطة${\displaystyle B=b(M)}$[ ^{8 ]​}

تشكل مجموعة التنصيفات زمرة ، مع الضرب${\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}}$يُعرَّف بأنه$${\displaystyle (b_{1}\cdot b_{2})(x):=b_{1}(b_{2}(x))b_{2}(x).}$$والانعكاس يُعرَّف على النحو التالي$${\displaystyle b_{1}^{-1}(x):=i\circ b_{1}\left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)}$$لاحظ أن التعريف مُعطى بطريقة تجعله، إذا${\displaystyle t\circ b_{1}=\phi _{1}}$و${\displaystyle t\circ b_{2}=\phi _{2}}$، ثم${\displaystyle t\circ (b_{1}\cdot b_{2})=\phi _{1}\circ \phi _{2}}$و${\displaystyle t\circ b_{1}^{-1}=\phi _{1}^{-1}}$.

يمكن إعطاء مجموعة التنصيفات الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة ، بالإضافة إلى بنية (لا نهائية الأبعاد) لمتشعب فريشيه متوافقة مع بنية المجموعة، مما يجعلها مجموعة فريشيه-لي.

تقسيم محلي${\displaystyle b:U\subseteq M\to G}$يتم تعريفها بشكل مماثل، ولكن الضرب بين التنصيفات المحلية يتم تعريفه جزئيًا فقط بالطبع.

• مجموعات الكذب${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$إن وجود عنصر واحد هو نفسه ما يسمى بمجموعات لي.
• بالنظر إلى أي متعدد${\displaystyle M}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$يُطلق عليها اسم مجموعة الأزواج ، والتي تحتوي على تشاكل واحد فقط من أي كائن إلى أي كائن آخر.
• المثالان السابقان هما حالتان خاصتان من الزمرة التافهة${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$، مع خرائط هيكلية${\displaystyle s(x,g,y)=y}$،${\displaystyle t(x,g,y)=x}$،${\displaystyle m((x,g,y),(y,h,z))=(x,gh,z)}$،${\displaystyle u(x)=(x,1,x)}$و${\displaystyle i(x,g,y)=(y,g^{-1},x)}$.
• بالنظر إلى أي متعدد${\displaystyle M}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$تسمى المجموعة الوحدوية ، مع وجود شكل واحد فقط من كائن إلى نفسه، وهو الشكل المحايد، ولا توجد أشكال بين الكائنات المختلفة.
• وبشكل أعم، زمر لي ذات${\displaystyle s=t}$هي نفسها حزمة زمر لي (ليست بالضرورة تافهة محليًا). على سبيل المثال، أي حزمة متجهة هي حزمة من الزمر الأبيلية، لذا فهي على وجه الخصوص زمرة لي (أبيلية).

• بالنظر إلى أي زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$وغمر شامل${\displaystyle \mu :N\to M}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$، والتي تسمى مجموعة السحب العكسي أو المجموعة المستحثة ، حيث${\displaystyle \mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N}$يحتوي على ثلاثيات${\displaystyle (x,g,y)}$بحيث${\displaystyle s(g)=\mu (y)}$و${\displaystyle t(g)=\mu (x)}$ويتم تعريف عملية الضرب باستخدام ضرب${\displaystyle G}$على سبيل المثال، سحب مجموعة الزوج من${\displaystyle M}$هو زمرة الأزواج لـ${\displaystyle N}$.
• بفرض أي مجموعتين من مجموعات لي${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows M_{1}}$و${\displaystyle G_{2}\rightrightarrows M_{2}}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\rightrightarrows M_{1}\times M_{2}}$، والتي تسمى ناتجها المباشر ، بحيث تكون مورفولوجيات الزمرة${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}G_{1}}$و${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}G_{2}}$هي عمليات غمر شاملة.
• بالنظر إلى أي زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$، والتي تسمى مجموعة المماس الخاصة بها ، والتي تم الحصول عليها من خلال النظر في حزمة المماس لـ${\displaystyle G}$و${\displaystyle M}$وتفاضل خرائط البنية.
• بالنظر إلى أي زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle T^{*}G\rightrightarrows A^{*}}$، والتي تسمى مجموعة الظل التمام التي تم الحصول عليها من خلال النظر في حزمة الظل التمام لـ${\displaystyle G}$، ثنائي جبر لي${\displaystyle A}$(انظر أدناه)، وخرائط هيكلية مناسبة تتضمن الفروق بين الإزاحات اليسرى واليمنى.
• بالنظر إلى أي زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$، والتي تسمى مجموعة النفاثات الخاصة بها ، والتي تم الحصول عليها من خلال النظر في النفاثات k للتقسيمات المحلية لـ${\displaystyle G}$(مع بنية سلسة موروثة من حزمة النفاثات لـ${\displaystyle s:G\to M}$) والضبط${\displaystyle s(j_{x}^{k}b)=x}$،${\displaystyle t(j_{x}^{k}b)=t(b(x))}$،${\displaystyle m(j_{t(b(x))}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})}$،${\displaystyle u(x)=j_{x}^{k}u}$و${\displaystyle i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))}^{k}b^{-1}}$.

• عند الغمر${\displaystyle \mu :M\to N}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle M\times _{\mu }M:=\{(x,y)\in M\times M\mid \mu (x)=\mu (y)\}\rightrightarrows M}$، والتي تسمى مجموعة الغمر أو مجموعة الزوج الليفية ، والتي يتم استنتاج خرائط بنيتها من مجموعة الزوج${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$(الشرط الذي${\displaystyle \mu }$يضمن الغمر نعومة${\displaystyle M\times _{\mu }M}$). لو${\displaystyle N}$عند نقطة معينة، يستعيد المرء المجموعة الزوجية.
• بالنظر إلى مجموعة لي${\displaystyle G}$يعمل على متعدد${\displaystyle M}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$، والتي تسمى مجموعة الفعل أو مجموعة الإزاحة ، مع وجود شكل واحد لكل ثلاثية${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$مع${\displaystyle gx=y}$.
• بالنظر إلى أي حزمة متجهة${\displaystyle E\to M}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$، والتي تسمى المجموعة الخطية العامة ، مع وجود تشاكلات بين${\displaystyle x,y\in M}$كونها تماثلات خطية بين الألياف${\displaystyle E_{x}}$و${\displaystyle E_{y}}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} ^{n}}$هي حزمة المتجهات التافهة من الرتبة${\displaystyle k}$، ثم${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$هي مجموعة الأفعال.
• أي حزمة رئيسية${\displaystyle P\to M}$مع مجموعة هيكلية${\displaystyle G}$يُعرّف زمرة لي${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$، أين${\displaystyle G}$تؤثر على الأزواج${\displaystyle (p,q)\in P\times P}$يُطلق على هذا اسم مجموعة القياس ، وذلك على مستوى المكونات . ويتم تعريف عملية الضرب من خلال ممثلين متوافقين كما هو الحال في مجموعة الزوج.
• أي توريق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على مشعب${\displaystyle M}$يُعرّف مجموعتين جزئيتين من مجموعات لي،${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$(أو${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$) و${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ويُطلق عليهما على التوالي اسم المجموعة الأساسية/المجموعة الأساسية/المجموعة الأساسية/ المجموعة الأساسية/ المجموعة الأساسية .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$، والتي تتكون مورفيزماتها من فئات التماثل ، والتجانس ، والتكافؤ للمسارات التي تقع بالكامل في ورقة من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على سبيل المثال، عندما${\displaystyle {\mathcal {F}}}$في حالة التوريق البسيط ذي الورقة الواحدة فقط، يستعيد المرء، على التوالي، الزمرة الأساسية وزمرة الزوج لـ${\displaystyle M}$من ناحية أخرى، عندما${\displaystyle {\mathcal {F}}}$هو توريق بسيط، أي توريق بواسطة ألياف (متصلة) لغمر${\displaystyle \mu :M\to N}$، إن مجموعة التماثل الخاصة بها هي بالضبط مجموعة الغمر${\displaystyle M\times _{\mu }M}$لكن قد لا تكون زمرة المونودرومي الخاصة بها زمرة هاوسدورف، وذلك بسبب معيار عام يتعلق بالدورات المتلاشية. ^{[ 9 ]} بشكل عام، تُنتج العديد من التوريقات الأولية زمر مونودرومي وهولونومي غير هاوسدورف.
• بالنظر إلى أي زمرة زائفة${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)}$، هناك مجموعة كذب${\displaystyle G=\mathrm {Germ} (\Gamma )\rightrightarrows M}$يُطلق عليه اسم زمرة لي الأولية ، وهو مزود بطوبولوجيا الحزم وخرائط البنية المشابهة لتلك الخاصة بزمرة لي النفاثة. وهذا مثال طبيعي آخر لزمرة لي التي لا يكون فضاء أسهمها هاوسدورف ولا قابلاً للعد الثاني.

تكون زمرة لي متعدية (وتسمى أيضاً متصلة في الأدبيات القديمة) إذا استوفت أحد الشروط المتكافئة التالية:

• لا يوجد سوى مدار واحد؛
• يوجد على الأقل شكل من أشكال التشكل بين أي كائنين؛
• الخريطة${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$(المعروف أيضًا باسم مرساة${\displaystyle G\rightrightarrows M}$) شاملة.

تُشكّل زمر القياس أمثلة نموذجية لزمر لي المتعدية: في الواقع، أي زمرة لي متعدية متماثلة مع زمرة القياس لحزمة رئيسية ما، وهي${\displaystyle G_{x}}$-باقة${\displaystyle t:s^{-1}(x)\to M}$، لأي نقطة${\displaystyle x\in M}$. على سبيل المثال:

• مجموعة لي التافهة${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$متعدٍ وينشأ من المبدأ التافه${\displaystyle G}$-باقة${\displaystyle G\times M\to M}$كحالات خاصة، مجموعات الكذب${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$ومجموعات الأزواج${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$وهي متعدية بشكل بديهي، وتنشأ، على التوالي، من المبدأ${\displaystyle G}$-باقة${\displaystyle G\to {*}}$ومن المدير${\displaystyle \{e\}}$-باقة${\displaystyle M\to M}$؛
• مجموعة عمل${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$تكون العملية متعدية إذا وفقط إذا كان فعل المجموعة متعديًا ، وفي هذه الحالة تنشأ من الحزمة الرئيسية${\displaystyle G\to M}$مع مجموعة البنية ومجموعة التناظر (عند نقطة عشوائية)؛
• الزمرة الخطية العامة لـ${\displaystyle E}$وهي متعدية، وتنشأ من حزمة الإطار${\displaystyle Fr(E)\to M}$؛
• مجموعات السحب العكسي، ومجموعات النفاثات، ومجموعات المماس لـ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$تكون متعدية إذا وفقط إذا${\displaystyle G\rightrightarrows M}$فعل متعدٍ.

كمثال أقل تفاهةً على التطابق بين زمر لي المتعدية والحزم الرئيسية، ضع في اعتبارك الزمرة الأساسية${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$من مشعب أملس (متصل)${\displaystyle M}$هذا بطبيعته زمرة طوبولوجية، وهي متعدية أيضًا؛ يمكن للمرء أن يرى ذلك.${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$متماثل مع زمرة القياس للغطاء الشامل لـ${\displaystyle M}$. وفقاً لذلك،${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$يرث بنية سلسة تجعله زمرة لي.

مجموعات الغمر${\displaystyle M\times _{\mu }M\rightrightarrows M}$تُعدّ مثالاً على زمر لي غير المتعدية، التي تكون مداراتها هي ألياف${\displaystyle \mu }$.

يتطلب مفهوم أقوى للتعدي وجود نقطة ارتكاز${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$أن يكون غمرًا شاملًا. يُطلق على هذا الشرط أيضًا اسم التفاهة المحلية ، لأن${\displaystyle G}$يصبح متماثلاً محلياً (كزمرة لي) إلى زمرة تافهة على أي فضاء مفتوح${\displaystyle U\subseteq M}$(نتيجةً لتفاهة الحزم الرئيسية محلياً). ^{[ 6 ]}

عندما المساحة${\displaystyle G}$إذا كان العدد الثاني قابلاً للعد، فإن التعدي يستلزم التفاهة المحلية. وبناءً على ذلك، فإن هذين الشرطين متكافئان في العديد من الأمثلة ولكن ليس في جميعها: على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \Gamma }$هي زمرة زائفة متعدية، وزمرة جرثومية${\displaystyle \mathrm {Germ} (\Gamma )}$هي متعدية ولكنها ليست تافهة محلياً.

يُطلق على الزمرة الكاذبة اسم الزمرة الصحيحة إذا${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$هي خريطة مناسبة . ونتيجة لذلك

• جميع مجموعات التناظر لـ${\displaystyle G}$مضغوطة ؛​
• جميع مدارات${\displaystyle G}$هي فضاءات فرعية مغلقة؛
• الفضاء المداري${\displaystyle M/G}$هو هاوسدورف .

على سبيل المثال:

• تكون مجموعة لي مناسبة إذا وفقط إذا كانت متراصة؛
• تكون المجموعات الزوجية دائمًا مجموعات فعلية؛
• تكون المجموعات الجزئية الوحدوية دائماً مناسبة؛
• تكون مجموعة الأفعال صحيحة إذا وفقط إذا كان الفعل صحيحًا ؛
• تكون المجموعة الأساسية جزئية إذا وفقط إذا كانت المجموعات الأساسية منتهية .

كما رأينا أعلاه، فإن خاصية التوافق لمجموعات لي الجزئية هي النظير "الصحيح" لخاصية التراص لمجموعات لي. ويمكن أيضًا النظر في شروط "طبيعية" أكثر، مثل اشتراط أن تكون خريطة المصدر${\displaystyle s:G\to M}$مناسب (ثم${\displaystyle G\rightrightarrows M}$يُطلق عليه اسم s-proper )، أو أن المساحة بأكملها${\displaystyle G}$مضغوطة (ثم${\displaystyle G\rightrightarrows M}$يُطلق عليها اسم " مضغوطة "، ولكن تبين أن هذه المتطلبات صارمة للغاية بالنسبة للعديد من الأمثلة والتطبيقات. ^{[ 10 ]}

يُطلق على الزمرة الجزئية من نوع لي اسم الزمرة الإيتالية إذا استوفت أحد الشروط المتكافئة التالية:

• أبعاد${\displaystyle G}$و${\displaystyle M}$متساويان؛
• ${\displaystyle s}$هو تحويل تفاضلي محلي ؛
• جميع${\displaystyle s}$-الألياف منفصلة

ونتيجة لذلك، فإن${\displaystyle t}$تصبح الألياف، ومجموعات التناظر، والمدارات منفصلة.

على سبيل المثال:

• تكون مجموعة لي إيتال إذا وفقط إذا كانت منفصلة؛
• المجموعات الزوجية ليست أبدًا étale؛
• مجموعات الوحدة دائمًا ما تكون étale؛
• تكون مجموعة الأفعال إيتال إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$منفصل؛
• تكون المجموعات الجرثومية للمجموعات الزائفة دائمًا إيتالية.

يُطلق على الزمرة الإيتالية اسم الزمرة الفعالة إذا كان، لأي قسمين محليين${\displaystyle b_{1},b_{2}}$، الحالة${\displaystyle t\circ b_{1}=t\circ b_{2}}$يشير إلى${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$. على سبيل المثال:

• تكون جماعات الكذب فعالة إذا وفقط إذا كانت تافهة؛
• تكون المجموعات الجزئية الوحدوية فعالة دائمًا؛
• تكون مجموعة الأفعال فعالة إذا كانت${\displaystyle G}$-العمل مجاني و${\displaystyle G}$منفصل.

بشكل عام، تنشأ أي زمرة إيتالية فعالة كزمرة جرثومية لبعض الزمر الزائفة. ^{[ 11 ]} ومع ذلك، يمكن أيضًا تقديم تعريف (أكثر تعقيدًا) للفعالية، لا يفترض خاصية الإيتالية.

يُطلق على مجموعة لي اسم${\displaystyle s}$-متصل إذا كان كل شيء${\displaystyle s}$الألياف متصلة . وبالمثل، يتحدث المرء عن${\displaystyle s}$- المجموعات المتصلة ببساطة (عندما${\displaystyle s}$الألياف متصلة ببساطة ) أو مجموعات متصلة بمصدر-k (عندما${\displaystyle s}$الألياف متصلة من النوع k ، أي الأولى${\displaystyle k}$مجموعات التماثل تافهة).

لاحظ أن المساحة الكاملة للأسهم${\displaystyle G}$لا يُطلب منه استيفاء أي فرضية ترابط. ومع ذلك، إذا${\displaystyle G}$هو مصدر-${\displaystyle k}$مجموعة لي متصلة على${\displaystyle k}$-مشعب متصل، ثم${\displaystyle G}$هو نفسه تلقائياً${\displaystyle k}$متصل.

على سبيل المثال

• تُعدّ جماعات الكذب مصدرًا للكذب.${\displaystyle k}$-متصلون إذا وفقط إذا كانوا${\displaystyle k}$متصل؛
• مجموعة أزواج هي مصدر${\displaystyle k}$متصل إذا وفقط إذا${\displaystyle M}$يكون${\displaystyle k}$متصل؛
• تُعتبر مجموعات الوحدات دائمًا مصدرًا${\displaystyle k}$متصل؛
• مجموعات العمل هي المصدر${\displaystyle k}$متصل إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$يكون${\displaystyle k}$متصل؛
• الزمر أحادية المسار (وبالتالي الزمر الأساسية أيضًا) متصلة ببساطة من المصدر؛
• مجموعة قياس مرتبطة بحزمة رئيسية${\displaystyle P\to M}$المصدر${\displaystyle k}$-متصل إذا وفقط إذا كانت المساحة الكلية${\displaystyle P}$يكون.

تذكر أن فعل الزمرة الجزئية${\displaystyle G\rightrightarrows M}$على مجموعة${\displaystyle P}$على طول دالة${\displaystyle \mu :P\rightarrow M}$يتم تعريفها من خلال مجموعة من الخرائط${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p}$لكل تشاكل${\displaystyle g\in G}$بين${\displaystyle x,y\in M}$وبناءً على ذلك، فإن فعل زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$على مشعب${\displaystyle P}$على طول خريطة سلسة${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$يتكون من فعل مجموعة جزئية حيث الخرائط${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)}$سلسة. بالطبع، لكل${\displaystyle x\in M}$يوجد تأثير سلس مستحث لمجموعة التناظر${\displaystyle G_{x}}$على الألياف${\displaystyle \mu ^{-1}(x)}$.

بالنظر إلى زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$مدير​${\displaystyle G}$تتكون الحزمة من${\displaystyle G}$-فضاء${\displaystyle P}$و أ${\displaystyle G}$غمر شامل ثابت${\displaystyle \pi :P\to N}$بحيث$${\displaystyle P\times _{N}G\to P\times _{\pi }P,\quad (p,g)\mapsto (p,p\cdot g)}$$هو تماثل تفاضلي. يمكن تقديم تعريفات مكافئة (لكنها أكثر تعقيدًا) باستخدام${\displaystyle G}$دورات مشتركة ذات قيم - أو تبسيطات محلية.

متى${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة لي فوق نقطة، فإن المرء يستعيد، على التوالي، تأثيرات مجموعة لي القياسية والحزم الرئيسية .

تمثيل لمجموعة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$يتكون من فعل زمرة لي على حزمة متجهة${\displaystyle \pi :E\to M}$بحيث يكون الفعل خطيًا على طول الألياف، أي كل تقابل${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)}$هو تماثل خطي. أو بصورة مكافئة، تمثيل لـ${\displaystyle G}$على${\displaystyle E}$يمكن وصفها بأنها تشاكل زمرة لي من${\displaystyle G}$إلى المجموعة الخطية العامة${\displaystyle GL(E)}$.

بالطبع، أي نوع من الألياف${\displaystyle E_{x}}$يصبح تمثيلاً لمجموعة التناظر${\displaystyle G_{x}}$. بشكل عام، يتم تحديد تمثيلات زمر لي المتعدية بشكل فريد من خلال تمثيلات زمر التناظر الخاصة بها، عبر بناء حزمة المتجهات المرتبطة بها .

تتضمن أمثلة تمثيلات زمر لي ما يلي:

• تمثيلات مجموعات لي${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$استعادة تمثيلات مجموعة لي القياسية
• تمثيلات المجموعات الزوجية${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$هي حزم متجهة تافهة
• تمثيلات المجموعات الجزئية الوحدوية${\displaystyle M\rightrightarrows M}$هي حزم متجهة
• تمثيلات مجموعة الفعل${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$نكون${\displaystyle G}$- حزم المتجهات المتغيرة
• تمثيلات المجموعات الأساسية${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$هي حزم متجهة مزودة بوصلات مسطحة

المجموعة${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)}$من فئات التشاكل لتمثيلات زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$لها بنية طبيعية لشبه الحلقة ، مع مجاميع مباشرة وحاصل ضرب موترات لحزم المتجهات.

إن مفهوم التماثل التفاضلي لمجموعات لي يُعمم بشكل طبيعي ليشمل أيضًا مجموعات لي الجزئية: يعتمد التعريف على البنية التبسيطية للعصب${\displaystyle N(G)_{n}=G^{(n)}}$ل${\displaystyle G\rightrightarrows M}$، باعتبارها فئة.

وبشكل أدق، تذكر أن الفضاء${\displaystyle G^{(n)}}$يتكون من سلاسل من${\displaystyle n}$التشكلات القابلة للتركيب، أي

${\displaystyle G^{(n)}:=\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G\times \ldots \times G\mid s(g_{i})=t(g_{i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},}$

وانظر إلى الخريطة${\displaystyle t^{(n)}=t\circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto t(g_{1})}$.

قابل للتفاضل${\displaystyle n}$- سلسلة مشتركة من${\displaystyle G\rightrightarrows M}$بمعاملات في تمثيل ما${\displaystyle E\to M}$هو جزء سلس من حزمة متجه السحب الخلفي${\displaystyle (t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}}$يشير المرء إلى${\displaystyle C^{n}(G,E)}$مساحة مثل هذه${\displaystyle n}$-سلاسل مشتركة، ويأخذ في الاعتبار التفاضلي${\displaystyle d_{n}:C^{n}(G,E)\to C^{n+1}(G,E)}$، كما هو مُعرَّف

${\displaystyle d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

ثم${\displaystyle (C^{n}(G,E),d^{n})}$يصبح مُركبًا مُشتركًا وتماثله، ويُرمز إليه بـ${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)}$يُطلق عليه اسم علم التماثل التفاضلي لـ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$بمعاملات في${\displaystyle E\to M}$لاحظ أن التفاضل عند الدرجة الصفرية هو${\displaystyle d_{0}(c)(g)=g\cdot c(s(g))-c(t(g))}$لطالما كان المرء${\displaystyle H_{d}^{0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}}$.

بالطبع، التماثل التفاضلي لـ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$باعتبارها زمرة لي، فإنها تتطابق مع علم التماثل التفاضلي القياسي لـ${\displaystyle G}$كمجموعة لي (على وجه الخصوص، بالنسبة للمجموعات المنفصلة، ​​يتم استعادة علم التماثل المعتاد للمجموعة ). من ناحية أخرى، لأي زمرة لي مناسبة${\displaystyle G\rightrightarrows M}$يمكن للمرء أن يثبت ذلك${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)=0}$لكل${\displaystyle n>0}$[ ^{12 ]​}

أي مجموعة كذب${\displaystyle G\rightrightarrows M}$له جبر لي مرتبط به${\displaystyle A\to M}$، تم الحصول عليها من خلال بناء مشابه للبناء الذي يربط جبر لي بأي زمرة لي ː

• حزمة المتجهات${\displaystyle A\to M}$هي الحزمة الرأسية بالنسبة لخريطة المصدر، وتقتصر على العناصر المماسية للعناصر المتطابقة، أي${\displaystyle A:=\ker(ds)_{\mid M}}$؛
• يتم الحصول على قوس لي عن طريق تحديد${\displaystyle \Gamma (A)}$مع حقول المتجهات الثابتة من اليسار على${\displaystyle G}$ونقل قوس الكذب الخاص بهم إلى${\displaystyle A}$؛
• خريطة المرتكزات${\displaystyle A\to TM}$هو تفاضل الخريطة المستهدفة${\displaystyle t:G\to M}$يقتصر على${\displaystyle A}$.

إن تطابق مجموعة لي - جبر لي يمتد إلى حد ما ليشمل زمر لي الجزئية: يمكن بالفعل تكييف أول نظريتين من نظريات لي (المعروفة أيضًا باسم نظرية الزمر الجزئية - الجبر الجزئي ونظرية التشاكلات) بسهولة مع هذا الإطار.

على وجه الخصوص، كما هو الحال في نظرية لي القياسية، لأي زمرة لي متصلة من النوع s${\displaystyle G}$يوجد زمرة لي بسيطة الاتصال فريدة (حتى التشاكل) من النوع s${\displaystyle {\tilde {G}}}$بنفس جبر لي من${\displaystyle G}$، وتماثل موضعي${\displaystyle {\tilde {G}}\to G}$وهو تشاكل زمروي. على سبيل المثال،

• بالنظر إلى أي مشعب متصل${\displaystyle M}$مجموعته الزوجية${\displaystyle M\times M}$هي متصلة من النوع s ولكنها ليست متصلة ببساطة من النوع s، في حين أن مجموعتها الأساسية${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$كلاهما لهما نفس الجبر اللي، وهو حزمة المماس.${\displaystyle TM\to M}$والتماثل الموضعي${\displaystyle \Pi _{1}(M)\to M\times M}$يُعطى بواسطة${\displaystyle [\gamma ]\mapsto (\gamma (0),\gamma (1))}$.
• بغض النظر عن أي توريق${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على${\displaystyle M}$، مجموعة التماثل الخاصة بها${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$متصلة من النوع s ولكنها ليست متصلة ببساطة من النوع s، بينما زمرة المونودرومي الخاصة بها${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})}$كلاهما لهما نفس الجبر الليي، وهو جبر التوريق.${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$والتماثل الموضعي${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\to \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$يُعطى بواسطة${\displaystyle [\gamma ]\mapsto [\gamma ]}$(لأن فئات التماثل أصغر من فئات التماثل التام).

مع ذلك، لا يوجد نظير لنظرية لي الثالثة ، فبينما تكون عدة فئات من جبر لي قابلة للتكامل، توجد أمثلة على جبر لي، على سبيل المثال تلك المتعلقة بنظرية التوريق ، والتي لا تقبل زمرة لي متكاملة. ^{[ 13 ]} وتعتمد العوائق العامة أمام وجود مثل هذا التكامل على طوبولوجيا${\displaystyle G}$[ ^{14 ]​}

العديد من خصائص زمر لي الجزئية، مثل كونها زمرة حقيقية، أو زمرة هاوسدورف، أو زمرة متعدية، هي خصائص ثابتة تحت تأثير موريتا. من ناحية أخرى، فإن كونها زمرة إيتال ليس خاصية ثابتة تحت تأثير موريتا.

بالإضافة إلى ذلك، يوجد تكافؤ موريتا بين${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$و${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$يحافظ على هندستها المستعرضة ، أي أنه يؤدي إلى:

• تماثل بين فضاءات المدار${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$و${\displaystyle H_{0}/H_{1}}$؛
• التماثل${\displaystyle G_{x}\cong H_{y}}$بين مجموعات التناظر عند النقاط المتناظرة${\displaystyle x\in G_{0}}$و${\displaystyle y\in H_{0}}$؛
• التماثل${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\cong {\mathcal {N}}_{y}}$بين التمثيلات الطبيعية لمجموعات التناظر عند النقاط المتناظرة${\displaystyle x\in G_{0}}$و${\displaystyle y\in H_{0}}$.

وأخيرًا، فإن التماثلات التفاضلية لمجموعتين من مجموعات لي المتكافئة لموريتا متماثلة. ^{[ 12 ]}

• تكون مجموعات لي المتماثلة متكافئة بشكل بديهي وفقًا لموريتا.
• تكون مجموعتا لي متكافئتين من نوع موريتا إذا وفقط إذا كانتا متماثلتين كمجموعات لي.
• تكون مجموعتان من مجموعات الوحدة متكافئتين من نوع موريتا إذا وفقط إذا كانت مشعبات القاعدة متماثلة.
• أي زمرة لي متعدية هي مكافئة موريتا لزمر التناظر الخاصة بها.
• بالنظر إلى زمرة لي${\displaystyle G\rightrightarrows M}$وغمر شامل${\displaystyle \mu :N\to M}$، مجموعة السحب الخلفي${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$هل موريتا مكافئ لـ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$.
• بافتراض وجود دعوى جماعية حرة ومناسبة من${\displaystyle G}$على${\displaystyle M}$(وبالتالي فإن الناتج${\displaystyle M/G}$(متعدد الشعب)، مجموعة الفعل${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$موريتا مكافئ لمجموعة الوحدة${\displaystyle u(M/G)\rightrightarrows M/G}$.
• مجموعة أكاذيب${\displaystyle G}$يكون موريتا مكافئًا لمجموعة إيتال إذا وفقط إذا كانت جميع مجموعات التناظر لـ${\displaystyle G}$منفصلة. ^{[ 16 ]}

يُمكن تقديم مثال عملي على المثال الأخير كما يلي: ليكن M مشعبًا أملسًا و${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$غطاء مفتوح لـ${\displaystyle M}$. مجموعتها التشيكية${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$يتم تعريفها من خلال الاتحادات المنفصلة${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$و${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$، أين${\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M}$يتم تعريف خريطة المصدر وخريطة الهدف على أنهما تمثيلات مضمنة${\displaystyle s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }}$و${\displaystyle t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$وعملية الضرب هي العملية الواضحة إذا قرأنا${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$كمجموعات فرعية من M (نقاط متوافقة في${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$و${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$في الواقع هما متطابقان في${\displaystyle M}$وتقع أيضًا في${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$). إن مجموعة تشيك هي في الواقع مجموعة السحب العكسي، تحت الغمر الواضح${\displaystyle p:G_{0}\to M}$، من مجموعة الوحدة${\displaystyle M\rightrightarrows M}$وبالتالي، فإن المجموعات التشيكية المرتبطة بأغطية مفتوحة مختلفة من${\displaystyle M}$هي مكافئة لموريتا.

يؤدي استكشاف بنية فضاء المدارات لزمرة لي إلى مفهوم الرزمة الملساء. فعلى سبيل المثال، يكون فضاء المدارات متعدد الشعب أملسًا إذا كانت زمر التناظر تافهة (كما في مثال زمرة تشيك)، ولكنه ليس أملسًا بشكل عام. يكمن الحل في عكس المسألة وتعريف الرزمة الملساء كفئة تكافؤ موريتا لزمرات لي. الكائنات الهندسية الطبيعية الموجودة على الرزمة هي الكائنات الهندسية على زمر لي الثابتة تحت تكافؤ موريتا: ومن الأمثلة على ذلك تماثل زمر لي.

بما أن مفهوم الرزمة الملساء عامٌّ للغاية، فمن البديهي أن جميع المشعبات الملساء هي رزم ملساء. ومن الأمثلة الأخرى على ذلك الفضاءات المدارية ، وهي (فئات تكافؤ) زمر لي إيتالية مناسبة، وفضاءات مدارات التوريقات.