المجموعة الأساسية

في الطوبولوجيا الجبرية ، تُعدّ الزمرة الأساسية شبه الثابتة مُتغيرًا طوبولوجيًا مُحددًا للفضاء الطوبولوجي . يُمكن اعتبارها امتدادًا للزمرة الأساسية الأكثر شيوعًا ؛ وبذلك، فهي تُجسّد معلومات حول نوع التماثل الطوبولوجي للفضاء الطوبولوجي. أما في نظرية الفئات ، فالزمرة الأساسية شبه الثابتة هي دالة مُحددة من فئة الفضاءات الطوبولوجية إلى فئة الزمر شبه الثابتة .

[...] لا يزال بعض الباحثين يصرّون، عند إجراء الحسابات باستخدام الزمر الأساسية، على تثبيت نقطة أساسية واحدة، بدلاً من اختيار مجموعة كاملة من النقاط التي تظل ثابتة تحت تناظرات الحالة، والتي تُفقد بالتالي في هذه العملية. في بعض الحالات (مثل نظريات النزول للزمر الأساسية على طريقة فان كامبن)، يكون من الأنسب، بل من الضروري لفهم شيء ما، التعامل مع الزمر الجزئية الأساسية بالنسبة لمجموعة مناسبة من النقاط الأساسية.

ليكن X فضاءً طوبولوجيًا . لننظر في علاقة التكافؤ على المسارات المتصلة في X _، حيث يكون مساران متصلان متكافئين إذا كانا متماثلين بنيويًا بنقاط نهاية ثابتة. تُعيّن الزمرة الأساسية Π( X ) ، أو Π₁ ( X ) ، لكل زوج مرتب من النقاط ( p , q ) في X مجموعة فئات التكافؤ للمسارات المتصلة من p إلى q . وبشكل أعم، فإن الزمرة الأساسية لـ X على مجموعة S تُقيّد الزمرة الأساسية بالنقاط التي تقع في كل من X و S. وهذا يسمح بتعميم نظرية فان كامبن باستخدام نقطتي أساس لحساب الزمرة الأساسية للدائرة. ^{[ 1 ]}

كما يوحي اسمه، فإن الزمرة الأساسية لـ X لها بطبيعتها بنية الزمرة . وعلى وجه الخصوص، فهي تُشكّل فئة؛ حيث تُعتبر نقاط X هي العناصر ، ومجموعة التشكلات من p إلى q هي مجموعة فئات التكافؤ المذكورة أعلاه. إن كون هذا يُحقق تعريف الفئة يُعادل الحقيقة القياسية بأن فئة تكافؤ دمج مسارين تعتمد فقط على فئات تكافؤ المسارين الفرديين. ^{[ 2 ]} وبالمثل، فإن كون هذه الفئة زمرة، مما يؤكد أن كل تشكل قابل للعكس، يُعادل الحقيقة القياسية بأنه يُمكن عكس اتجاه المسار، وأن فئة تكافؤ الدمج الناتج تحتوي على المسار الثابت. ^{[ 3 ]}

لاحظ أن المجموعة الأساسية تعيّن، للزوج المرتب ( p ، p ) ، المجموعة الأساسية لـ X التي تستند إلى p .

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي X ، فإن مكوناته المتصلة بالمسارات تُشفّر بشكل طبيعي في زمرته الأساسية؛ والملاحظة هي أن p و q ينتميان إلى نفس المكون المتصل بالمسارات في X إذا وفقط إذا كانت مجموعة فئات التكافؤ للمسارات المتصلة من p إلى q غير فارغة. وبعبارة أخرى، فإن التأكيد هو أن الكائنين p و q ينتميان إلى نفس مكون الزمرة إذا وفقط إذا كانت مجموعة التشكلات من p إلى q غير فارغة. ^{[ 4 ]}

لنفترض أن X متصلة مساريًا _، ولنثبت عنصرًا p من X. يمكن اعتبار المجموعة الأساسية π₁ ( X , p ) فئةً؛ يوجد عنصر واحد، والتشاكلات منه إلى نفسه هي عناصر _π₁ ( X , p ) . يسمح اختيار مسار متصل من p إلى q لكل q في M باستخدام التسلسل لاعتبار أي مسار في X حلقةً تبدأ من p . يُعرّف هذا تكافؤًا بين الفئات π₁ ( X , p ) والزمرة الأساسية لـ ^X. بتعبير أدق، يُظهر ^هذا π₁ ( X , p ) _كهيكل للزمرة الأساسية لـ X. [ ⁵ _]

إن الزمرة الأساسية لمتشعب قابل للتفاضل (متصل بالمسار) X هي في الواقع ^زمرة لي ، تنشأ كزمرة قياس للغطاء الشامل لـ X. ^{[ 6} ]

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي X ، فإن النظام المحلي هو دالة من الزمرة الأساسية لـ X إلى فئة معينة. ^{[ 7 ]} كحالة خاصة مهمة، تُعد حزمة الزمر (الأبيلية) على X نظامًا محليًا مُقَيَّمًا في فئة الزمر (الأبيلية). وهذا يعني أن حزمة الزمر على X تُسند زمرة G _{_p} إلى كل عنصر p من X ، وتُسند تشاكل زمر G_{_p} → G_{_q} إلى كل مسار متصل من p إلى q . ولكي تكون هذه التشاكلات الزمرية دالة، يجب أن تكون متوافقة مع البنية الطوبولوجية، بحيث تُعرِّف المسارات المتماثلة ذات النهايات الثابتة التشاكل نفسه؛ علاوة على ذلك، يجب أن تتكامل التشاكلات الزمرية وفقًا لتسلسل المسارات وانعكاسها. ^{[ 8 ]} يمكن تعريف التماثل بمعاملات في حزمة الزمر الأبيلية. ^{[ 9 ]}

عندما يستوفي X شروطًا معينة، يمكن وصف النظام المحلي بشكل مكافئ بأنه حزمة ثابتة محليًا .

• الزمرة الأساسية للفضاء الأحادي هي الزمرة التافهة (زمرة تحتوي على عنصر واحد * وتشاكل واحد Hom(*, *) = { id _*  : * → * }
• الزمرة الأساسية للدائرة متصلة ، وجميع زمر رؤوسها متماثلة مع${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$، المجموعة الجمعية للأعداد الصحيحة .

تنص فرضية التماثل ، وهي تخمين معروف في نظرية التماثل صاغه ألكسندر غروتينديك ، على أن التعميم المناسب للمجموعة الأساسية، والمعروف باسم المجموعة الأساسية اللانهائية ، يلتقط جميع المعلومات حول الفضاء الطوبولوجي حتى التكافؤ الضعيف للتماثل .

• فئة التماثل لفئة ∞
• جوهر الفئة (بينما يكون الزمرة الأساسية مرافقًا يساريًا لتضمين Gprd، فإن الجوهر هو مرافق يميني)

• رونالد براون . الطوبولوجيا والمجموعات الجزئية. الطبعة الثالثة من كتاب عناصر الطوبولوجيا الحديثة [ماكجرو هيل، نيويورك، 1968]. مع قرص مضغوط واحد (ويندوز، ماكنتوش، ويونكس). بوك سيرج، ذ.م.م، تشارلستون، كارولاينا الجنوبية، 2006. 512 صفحة + 26 صفحة تمهيدية. رقم ISBN 1-4196-2722-8
• براون، ر.، هيغينز، ب. ج.، وسيفيرا، ر.، الطوبولوجيا الجبرية غير التبادلية: الفضاءات المُرشَّحة، والمُركَّبات المُتقاطعة، وزمر التماثل المكعبة. سلسلة "مُخرجات في الرياضيات"، المجلد 15. الجمعية الرياضية الأوروبية (2011). (663+25 صفحة) ISBN 978-3-03719-083-8
• ج. بيتر ماي . دورة موجزة في الطوبولوجيا الجبرية. محاضرات شيكاغو في الرياضيات. مطبعة جامعة شيكاغو، شيكاغو، إلينوي، 1999. 243 صفحة + 10 صفحات تمهيدية. رقم ISBN 0-226-51182-0،0-226-51183-9
• إدوين هـ. سبانير . الطوبولوجيا الجبرية. طبعة منقحة من الطبعة الأصلية لعام 1966. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك-برلين، 1981. 528 صفحة + 16 صفحة تمهيدية. ISBN 0-387-90646-0
• جورج دبليو وايتهيد . عناصر نظرية التماثل. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، 61. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك-برلين، 1978. 744 صفحة + 21 صفحة تمهيدية. ISBN 0-387-90336-4

• موقع رونالد براون الإلكتروني، وهو مؤلف بارز في موضوع الزمر الجزئية في علم الطوبولوجيا: http://groupoids.org.uk/
• الزمرة الأساسية في مختبر n
• مجموعة اللانهاية الأساسية عند المختبر n