جيت (الرياضيات)

لنفترض أن${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$هي دالة حقيقية لها على الأقل k  +  1 مشتقة في جوار U للنقطة${\displaystyle x_{0}}$ثم بحسب نظرية تايلور،

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}}$

أين

${\displaystyle |R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.}$

ثم k -jet للدالة f عند النقطة${\displaystyle x_{0}}$يُعرَّف بأنه متعدد الحدود

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}.}$

تُعتبر النفاثات عادةً كثيرات حدود مجردة في المتغير z ، وليست دوالًا متعددة الحدود فعلية في ذلك المتغير. بعبارة أخرى، z متغير غير محدد يسمح بإجراء عمليات جبرية متنوعة على النفاثات. وهو في الواقع نقطة الأساس.${\displaystyle x_{0}}$ومنها تستمد النفاثات اعتمادها الوظيفي . وبالتالي، بتغيير نقطة الأساس، تُنتج النفاثة متعددة حدود من الرتبة k على الأكثر عند كل نقطة. وهذا يُمثل تمييزًا مفاهيميًا هامًا بين النفاثات ومتسلسلات تايلور المقتطعة : ففي العادة، تُعتبر متسلسلة تايلور معتمدة وظيفيًا على متغيرها، وليس على نقطة أساسها. أما النفاثات، من ناحية أخرى، فتفصل الخصائص الجبرية لمتسلسلات تايلور عن خصائصها الوظيفية. وسنتناول أسباب هذا الفصل وتطبيقاته لاحقًا في هذه المقالة.

لنفترض أن${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$هي دالة من فضاء إقليدي إلى آخر لها على الأقل ( k  +  1) مشتقة. في هذه الحالة، تنص نظرية تايلور على أن

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}}$

ثم يُعرَّف النفاث k للدالة f بأنه متعدد الحدود

${\displaystyle (J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot z^{\otimes k}}$

في${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]}$، أين${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})}$.

هناك بنيتان جبريتان أساسيتان يمكن أن تحملهما النفاثات. الأولى هي بنية الضرب، على الرغم من أنها في النهاية الأقل أهمية. أما الثانية فهي بنية تركيب النفاثات.

لو${\displaystyle f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$إذا كان لدينا زوج من الدوال ذات القيم الحقيقية، فيمكننا تعريف حاصل ضرب نفاثاتها عبر

${\displaystyle J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g).}$

لقد حذفنا هنا المتغير z غير المحدد ، لأنه من المفهوم أن النفاثات هي كثيرات حدود شكلية. هذا الناتج هو مجرد ناتج كثيرات حدود عادية في z ، بتردد${\displaystyle z^{k+1}}$بعبارة أخرى، إنها عملية ضرب في الحلقة${\displaystyle {\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})}$، أين${\displaystyle (z^{k+1})}$هو المثالي الناتج عن كثيرات الحدود المتجانسة من الرتبة ≥ ​​k + 1.    

ننتقل الآن إلى تركيب النفاثات. ولتجنب التعقيدات التقنية غير الضرورية، سنعتبر نفاثات الدوال التي تربط نقطة الأصل بنقطة الأصل. إذا${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$و${\displaystyle g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$إذا كانت f (0)  =  0 و g (0)  =  0، فإن${\displaystyle f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }}$يتم تحديد تركيب النفاثات بواسطة${\displaystyle J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).}$ يمكن التحقق بسهولة، باستخدام قاعدة السلسلة ، من أن هذا يشكل عملية غير تبادلية ترابطية على فضاء النفاثات عند الأصل.

في الواقع، إن تركيب k -jets ليس أكثر من تركيب كثيرات الحدود modulo المثالي لكثيرات الحدود المتجانسة من الرتبة ≥ ​​k + 1.    

أمثلة:

• في بُعد واحد، لنفترض${\displaystyle f(x)=\log(1-x)}$و${\displaystyle g(x)=\sin \,x}$. ثم

${\displaystyle (J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}}$

${\displaystyle (J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

يستخدم التعريف التالي مفاهيم من التحليل الرياضي لتحديد النفاثات وفضاءات النفاثات. ويمكن تعميمه ليشمل الدوال الملساء بين فضاءات باناخ ، والدوال التحليلية بين المجالات الحقيقية أو المركبة ، والتحليل p-adic ، ومجالات تحليلية أخرى.

يترك${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ليكن فضاء المتجهات للدوال الملساء${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$ليكن k عددًا صحيحًا غير سالب ، وليكن p نقطة من${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$نُعرّف علاقة تكافؤ${\displaystyle E_{p}^{k}}$في هذا السياق ، نُعلن أن الدالتين f و g متكافئتان من الرتبة k إذا كانت لهما نفس القيمة عند النقطة p ، وكانت جميع مشتقاتهما الجزئية متطابقة عند النقطة p حتى مشتقاتهما من الرتبة k (بما في ذلك) . باختصار،${\displaystyle f\sim g\,\!}$إذا${\displaystyle f-g=0}$إلى الرتبة k .

فضاء النفاثات من الرتبة k لـ${\displaystyle C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$تُعرَّف النقطة p بأنها مجموعة فئات التكافؤ لـ${\displaystyle E_{p}^{k}}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$.

النفاثة من الرتبة k عند النقطة p لدالة سلسة${\displaystyle f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$يُعرَّف بأنه فئة التكافؤ لـ f في${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$.

يستخدم التعريف التالي مفاهيم من الهندسة الجبرية والجبر التبادلي لتأسيس مفهوم النفاثات وفضاء النفاثات. ورغم أن هذا التعريف ليس مناسبًا تمامًا للاستخدام في الهندسة الجبرية بحد ذاتها، نظرًا لتصنيفه ضمن فئة الأشكال الملساء، إلا أنه يمكن تكييفه بسهولة ليناسب هذه الاستخدامات.

يترك${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ليكن فضاء المتجهات لجراثيم الدوال الملساء${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$عند النقطة p في${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$. يترك${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ليكن المثال الذي يتكون من جراثيم الدوال التي تتلاشى عند النقطة p . (هذا هو المثال الأعظمي للحلقة المحلية)${\displaystyle C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$ثمّ يكون الوضع الأمثل${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$يتألف من جميع دوال الجراثيم التي تتلاشى حتى الرتبة k+1 عند النقطة p . يمكننا الآن تعريف فضاء النفاثات عند النقطة p بواسطة

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$

لو${\displaystyle f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}}$إذا كانت دالة سلسة، فيمكننا تعريف k -jet للدالة f عند النقطة p على أنه عنصر من${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$عن طريق الضبط

${\displaystyle J_{p}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}}}$

هذا بناء أكثر عمومية. لـ${\displaystyle \mathbb {F} }$-فضاء${\displaystyle M}$، يترك${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$كن ساق حزمة الهيكل في${\displaystyle p}$ودع${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ليكن المثالي الأعظم للحلقة المحلية${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$. مساحة النفاثة رقم k في${\displaystyle p}$يُعرَّف بأنه الحلقة${\displaystyle J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$(${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$هو نتاج المُثُل العليا ).

بغض النظر عن التعريف، تُثبت نظرية تايلور وجود تماثل قانوني بين فضاءات المتجهات${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$و${\displaystyle {\mathbb {R} }^{m}[z_{1},\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n})^{k+1}}$لذلك في السياق الإقليدي، يتم عادةً تحديد النفاثات مع ممثليها متعدد الحدود في ظل هذا التشاكل.

لقد حددنا المساحة${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})}$عدد من الطائرات النفاثة في نقطة واحدة${\displaystyle p\in {\mathbb {R} }^{n}}$يُرمز إلى الفضاء الجزئي لهذا، الذي يتكون من نفاثات الدوال f بحيث يكون f ( p )  = q، بالرمز التالي: 

${\displaystyle J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})\mid f(p)=q\right\}}$

لنفترض أن M فضاءٌ أملس يحتوي على نقطة p . سنُعرّف نفاثات المنحنيات المارة بالنقطة p ، والتي نعني بها من الآن فصاعدًا الدوال الملساء.${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\rightarrow M}$بحيث يكون f (0)  = p . عرّف علاقة تكافؤ ${\displaystyle E_{p}^{k}}$كما يلي. ليكن f و g زوجًا من المنحنيات التي تمر بالنقطة p . نقول حينها إن f و g متكافئتان من الرتبة k عند p إذا وُجدت جوار U للنقطة p ، بحيث يكون لكل دالة ملساء${\displaystyle \varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }}$،${\displaystyle J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)}$لاحظ أن هذه النفاثات محددة جيدًا لأن الدوال المركبة${\displaystyle \varphi \circ f}$و${\displaystyle \varphi \circ g}$هي مجرد تحويلات من خط الأعداد الحقيقية إلى نفسه. تُسمى علاقة التكافؤ هذه أحيانًا علاقة التماس من الرتبة k بين المنحنيات عند النقطة p .

نُعرّف الآن النفاث k لمنحنى f يمر عبر p بأنه فئة التكافؤ لـ f تحت${\displaystyle E_{p}^{k}}$، المشار إليه${\displaystyle J^{k}\!f\,}$أو${\displaystyle J_{0}^{k}f}$فضاء النفاثات من الرتبة k${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$إذن، هي مجموعة k -jets عند p .

مع تغير قيمة p على مدى M ،${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$يشكل حزمة ليفية فوق M : حزمة المماس من الرتبة k ، والتي يُرمز إليها غالبًا في المراجع بـ T k M (مع أن هذا الترميز قد يُسبب التباسًا في بعض الأحيان). في حالة k = 1، تكون حزمة المماس من الرتبة الأولى هي حزمة المماس المعتادة: T 1 M = TM .  

لإثبات أن T ^k M عبارة عن حزمة ألياف في الواقع، من المفيد دراسة خصائص${\displaystyle J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}}$في الإحداثيات المحلية. ليكن ( xᵢ ⁾ = ( x₁ , ..., xₙ ⁾ نظام إحداثيات محليًا لـ M في جوار U لـ p . وباستخدام ترميز مبسط، يمكننا اعتبار ( xᵢ ⁾ تماثلًا تفاضليًا محليًا ^.${\displaystyle (x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$.

الادعاء: المنحنيان f و g الماران بالنقطة p متكافئان بتردد${\displaystyle E_{p}^{k}}$إذا وفقط إذا${\displaystyle J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)}$.

في الواقع، الجزء " فقط إذا" واضح، لأن كل دالة من الدوال n، ^x1 ، ...، xn ^، هي دالة سلسة من M إلى${\displaystyle {\mathbb {R} }}$وبناءً على تعريف علاقة التكافؤ${\displaystyle E_{p}^{k}}$يجب أن يكون للمنحنيين المتكافئين${\displaystyle J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)}$.

على العكس من ذلك، لنفترض أن${\displaystyle \varphi }$هي دالة حقيقية ملساء على M في جوار النقطة p . بما أن لكل دالة ملساء تعبيرًا إحداثيًا محليًا، فيمكننا التعبير عن${\displaystyle \varphi }$كدالة في الإحداثيات. تحديدًا، إذا كانت q نقطة من M قريبة من p ، فإن

${\displaystyle \varphi (q)=\psi (x^{1}(q),\dots ,x^{n}(q))}$

بالنسبة لدالة حقيقية سلسة ψ ذات n متغير حقيقي. وبالتالي، بالنسبة لمنحنيين f و g يمران بالنقطة p ، لدينا

${\displaystyle \varphi \circ f=\psi (x^{1}\circ f,\dots ,x^{n}\circ f)}$

${\displaystyle \varphi \circ g=\psi (x^{1}\circ g,\dots ,x^{n}\circ g)}$

تُثبت قاعدة السلسلة الآن الجزء الشرطي من الادعاء. على سبيل المثال، إذا كانت f و g دالتين للمتغير الحقيقي t ، فإن

${\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\left(\varphi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x^{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)}$

وهو ما يساوي نفس التعبير عند تقييمه مقابل g بدلاً من f ، مع التذكير بأن f (0) = g (0) = p وأن f و g في اتصال من الدرجة k في نظام الإحداثيات ( x ⁱ ).

وبالتالي، فإن حزمة الألياف الظاهرية T ^k M تقبل تبسيطًا محليًا في كل جوار إحداثي. عند هذه النقطة، لإثبات أن حزمة الألياف الظاهرية هذه هي في الواقع حزمة ألياف، يكفي إثبات أن لها دوال انتقال غير شاذة عند تغيير الإحداثيات.${\displaystyle (y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$لنفترض نظام إحداثيات مختلفًا ولندع${\displaystyle \rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}}$ليكن التغيير المصاحب للإحداثيات هو التماثل التفاضلي للفضاء الإقليدي إلى نفسه. عن طريق تحويل أفيني لـ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$يمكننا، دون فقدان للعمومية، أن نفترض أن ρ(0)=0. وبناءً على هذا الافتراض، يكفي إثبات أن${\displaystyle J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})}$هو تحويل قابل للعكس تحت تركيب النفاثات. (انظر أيضًا مجموعات النفاثات ). ولكن بما أن ρ هو تماثل تفاضلي،${\displaystyle \rho ^{-1}}$وهي عملية رسم خرائط سلسة أيضًا. لذا،

${\displaystyle I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})}$

مما يثبت أن${\displaystyle J_{0}^{k}\rho }$هي غير منفردة. علاوة على ذلك، فهي سلسة، على الرغم من أننا لا نثبت هذه الحقيقة هنا.

بشكل بديهي، هذا يعني أنه يمكننا التعبير عن مسار منحنى يمر عبر النقطة p بدلالة متسلسلة تايلور الخاصة به في الإحداثيات المحلية على M.

أمثلة بالإحداثيات المحلية:

• كما ذُكر سابقًا، فإنّ النفاث الأحادي لمنحنى يمرّ بالنقطة p هو متجه مماس. المتجه المماسي عند النقطة p هو مؤثر تفاضلي من الرتبة الأولى يعمل على دوال حقيقية ملساء عند النقطة p . في الإحداثيات المحلية، يأخذ كل متجه مماس الشكل التالي:

${\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

بفرض وجود متجه مماس كهذا v ، ليكن f هو المنحنى المعطى في نظام ^{الإحداثيات} xᵢ بواسطة${\displaystyle x^{i}\circ f(t)=tv^{i}}$إذا كانت φ دالة سلسة في جوار النقطة p بحيث φ ( p )  =  0، فإن

${\displaystyle \varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$

هي دالة حقيقية سلسة لمتغير واحد، ودالة النفاثات من الرتبة الأولى فيها معطاة بالعلاقة التالية:

${\displaystyle J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}(p).}$

مما يثبت أنه يمكن للمرء بشكل طبيعي تحديد متجهات المماس عند نقطة ما مع 1-نفاثات المنحنيات التي تمر بتلك النقطة.

• فضاء منحنيات ثنائية النفاثات تمر بنقطة.

في نظام إحداثيات محلي xᵢ متمركز عند النقطة p ، يمكننا التعبير عن متعددة حدود تايلور من الدرجة الثانية لمنحنى f ( t ) يمر بالنقطة p كما يلي ^:

${\displaystyle J_{0}^{2}(x^{i}(f))(t)=t{\frac {dx^{i}(f)}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}(f)}{dt^{2}}}(0).}$

لذا في نظام الإحداثيات x ، يتم تحديد النفاث الثنائي لمنحنى يمر بالنقطة p بقائمة من الأعداد الحقيقية${\displaystyle ({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})}$. كما هو الحال مع متجهات المماس (1-jets of curves) عند نقطة ما، فإن 2-jets of curves تخضع لقانون التحويل عند تطبيق وظائف انتقال الإحداثيات.

ليكن ( yᵢ ⁾ نظام إحداثيات آخر. باستخدام قاعدة السلسلة،

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}}$

وبالتالي، يتم تحديد قانون التحويل من خلال تقييم هذين التعبيرين عند t  =  0.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}}$

لاحظ أن قانون التحويل لـ 2-jets هو من الدرجة الثانية في دوال الانتقال الإحداثية.

نحن الآن مستعدون لتعريف نفاث دالة من متعدد الشعب إلى متعدد الشعب.

لنفترض أن M و N مشعبان أملسان. ولتكن p نقطة من M. لنعتبر الفضاء${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$تتكون من خرائط سلسة${\displaystyle f:M\rightarrow N}$معرفة في جوار ما لـ p . نُعرّف علاقة تكافؤ${\displaystyle E_{p}^{k}}$على${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$كما يلي. يُقال إن خريطتين f و g متكافئتان إذا كان لكل منحنى γ يمر عبر p (تذكر أنه وفقًا لاصطلاحاتنا، هذه خريطة${\displaystyle \gamma$ :{\mathbb {R} }\rightarrow M} بحيث${\displaystyle \gamma (0)=p}$لدينا${\displaystyle J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )}$في جوار ما من الصفر .

الفضاء النفاث${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$ثم يُعرَّف بأنه مجموعة فئات التكافؤ لـ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(M,N)}$modulo علاقة التكافؤ${\displaystyle E_{p}^{k}}$لاحظ أنه نظرًا لأن الفضاء المستهدف N لا يشترط أن يمتلك أي بنية جبرية ،${\displaystyle J_{p}^{k}(M,N)}$ولا يشترط أن يكون لها مثل هذا الهيكل. وهذا في الواقع تناقض صارخ مع حالة الفضاءات الإقليدية.

لو${\displaystyle f:M\rightarrow N}$إذا كانت دالة سلسة معرفة بالقرب من النقطة p ، فإننا نحدد النفاث k للدالة f عند النقطة p .${\displaystyle J_{p}^{k}f}$، لتكون فئة التكافؤ لـ f modulo${\displaystyle E_{p}^{k}}$.

قدّم جون ماثر مفهوم النفاثات المتعددة . وبشكل عام، تُعرَّف النفاثات المتعددة بأنها قائمة محدودة من النفاثات فوق نقاط أساسية مختلفة. وقد برهن ماثر على نظرية التعامد للنفاثات المتعددة ، والتي استخدمها في دراسته للتطبيقات المستقرة .