حزمة جيت

في الطوبولوجيا التفاضلية ، تُعدّ حزمة النفاثات بنيةً تُنشئ حزمة ألياف ملساء جديدة من حزمة ألياف ملساء مُعطاة. وهي تُتيح كتابة المعادلات التفاضلية على مقاطع حزمة الألياف بصيغة ثابتة. ويمكن أيضًا اعتبار النفاثات بمثابة نسخٍ مستقلة عن الإحداثيات لتوسعات تايلور .

تاريخيًا، تُنسب حزم النفاثات إلى تشارلز إهريسمان ، وقد مثّلت تطورًا لطريقة ( تمديد ) إيلي كارتان ، التي تتعامل هندسيًا مع المشتقات العليا ، من خلال فرض شروط شكلية تفاضلية على المتغيرات الشكلية المُستحدثة. تُسمى حزم النفاثات أحيانًا بالبخاخات ، مع أن مصطلح البخاخات يُشير عادةً بشكلٍ أدق إلى حقل المتجهات المُستحث على الحزمة المُقابلة (مثل البخاخ الجيوديسي على مشعبات فينسلر ).

منذ أوائل ثمانينيات القرن العشرين، ظهرت حزم النفاثات كطريقة موجزة لوصف الظواهر المرتبطة بمشتقات الخرائط، وخاصة تلك المرتبطة بحساب التفاضل والتكامل . ^{[ 1 ]} ونتيجة لذلك، تُعتبر حزمة النفاثات الآن المجال الصحيح لنظرية الحقل المتغيرة هندسيًا، ويتم إنجاز الكثير من العمل في الصياغات النسبية العامة للحقول باستخدام هذا النهج.

لنفترض أن M متعدد شعب ذو m بُعد ، وأن ( E , π, M ) حزمة ليفية . لكل p ∈ M ، لنرمز بـ Γ(p) إلى مجموعة جميع المقاطع المحلية التي يحتوي نطاقها على p .${\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}$إذا كان لدينا فهرس متعدد ( مجموعة من m من الأعداد الصحيحة غير السالبة، ليس بالضرورة بترتيب تصاعدي)، فعرّف ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

عرّف المقاطع المحلية σ، η ∈ Γ(p) بحيث يكون لها نفس النفاث r عند p إذا

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

العلاقة التي تربط بين خريطتين بنفس العنصر r -jet هي علاقة تكافؤ . يُمثل العنصر r -jet فئة تكافؤ بموجب هذه العلاقة، ويُرمز للعنصر r -jet ذي التمثيل σ بالرمز σ.${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$. يُطلق على العدد الصحيح r أيضًا اسم رتبة النفاث، و p هو مصدره و σ( p ) هو هدفه .

مجموعة النفاثات من الرتبة r في π هي المجموعة

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

يمكننا تعريف الإسقاطين π _r و π _{r ,0} اللذين يُطلق عليهما إسقاط المصدر وإسقاط الهدف على التوالي، بواسطة

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

إذا كان 1 ≤ k ≤ r ، فإن إسقاط k -jet هو الدالة π _r,k المعرفة بـ

$${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$$

من هذا التعريف، يتضح أن π _r = π o π _{r ,0} ، وأنه إذا كان 0 ≤ m ≤ k ، فإن π _r,m = π k _,m o π _r,k . من المتعارف عليه اعتبار π _r,r دالة التطابق على J ^r ( π )، وتعريف J ⁰ ( π ) على أنها E.

الوظائف π _r,k , π _{r ,} 0 و π _r هي غمرات سلسة .

يُنشئ نظام إحداثيات على E نظام إحداثيات على Jr ( π ). ليكن ( U , u ) مخطط إحداثيات مُعدَّل على E ، حيث u = ( xi ^, uα ⁾ . يُعرَّف مخطط الإحداثيات المُستحث ( Ur , ur ) على Jr ( ^π ) ^{كما يلي :}

$${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$$

أين

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$$

و${\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}$الدوال المعروفة باسم إحداثيات المشتقة :

$${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$$

بالنظر إلى أطلس من المخططات المعدلة ( U ، u ) على E ، فإن المجموعة المقابلة من المخططات ( Ur ^، ur ⁾ هي أطلس C∞ ^ذو أبعاد محدودة على Jr ( ^π ).

بما أن الأطلس موجود على كل${\displaystyle J^{r}(\pi )}$يُعرّف هذا المصطلح "متعدد الشعب"، والثلاثيات${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))}$،${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)}$و${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$جميعها تُعرّف المشعبات الليفية. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle (E,\pi ,M)}$هي حزمة ألياف، ثلاثية ${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$يحدد حزمة النفاثات رقم r لـ π .

إذا كانت W ⊂ M فضاءً فرعياً مفتوحاً، فإن

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

إذا كان p ∈ M ، فإن الليف${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$يُشار إليه بـ${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$.

ليكن σ مقطعًا محليًا من π بمجال W ⊂ M. امتداد النفاثات من الرتبة r لـ σ هو الخريطة${\displaystyle j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )}$محدد بواسطة

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

لاحظ أن${\displaystyle \pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}}$، لذا${\displaystyle j^{r}\sigma }$هو في الواقع قسم. في الإحداثيات المحلية، ${\displaystyle j^{r}\sigma }$يُعطى بواسطة

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

نحدد ${\displaystyle j^{0}\sigma }$ مع ${\displaystyle \sigma }$.

يحمل الفضاء J ^r (π) توزيعًا طبيعيًا ، أي حزمة فرعية من حزمة المماس TJ ^r (π))، تُسمى توزيع كارتان . يمتد توزيع كارتان بواسطة جميع المستويات المماسية لرسوم بيانية للمقاطع الهولونومية؛ أي المقاطع من الشكل j ^r φ حيث φ مقطع من π.

إنّ مُبيد توزيع كارتان هو فضاء من الأشكال التفاضلية الأحادية يُسمى أشكال التماس ، على J ^r (π). ويُرمز إلى فضاء الأشكال التفاضلية الأحادية على J ^{r (π) بالرمز التالي:}${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$ويُشار إلى مساحة نماذج الاتصال بـ${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$يُعتبر النموذج نموذج اتصال إذا كان معامل التراجع فيه على طول كل امتداد يساوي صفرًا. بعبارة أخرى،${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$نموذج الاتصال هو نموذج اتصال إذا وفقط إذا

${\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}$

لجميع الأقسام المحلية σ من π على M .

يُعدّ توزيع كارتان البنية الهندسية الرئيسية في فضاءات النفاثات، ويلعب دورًا هامًا في النظرية الهندسية للمعادلات التفاضلية الجزئية . توزيعات كارتان غير قابلة للتكامل تمامًا، وهي تحديدًا غير انعكاسية . يزداد بُعد توزيع كارتان مع رتبة فضاء النفاثات. مع ذلك، في فضاء النفاثات اللانهائية J∞ ^، يصبح توزيع كارتان انعكاسيًا ومحدود البُعد، حيث يتطابق بُعده مع بُعد المتشعب الأساسي M.

حقل متجه عام على الفضاء الكلي E ، مُنسق بواسطة${\displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}$، يكون

${\displaystyle V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

يُطلق على حقل المتجهات اسم حقل أفقي ، مما يعني أن جميع المعاملات الرأسية تتلاشى، إذا${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$= 0.

يُطلق على حقل المتجهات اسم الحقل الرأسي ، مما يعني أن جميع المعاملات الأفقية تتلاشى، إذا كان ρ ⁱ = 0.

بالنسبة لـ (x, u) الثابتة ، نحدد

${\displaystyle V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

له إحداثيات (x, u, ρ ⁱ , φ ^α ) ، مع عنصر في الألياف T _xu E من TE فوق (x, u) في E ، يسمى متجه مماس في TE . مقطع

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

يُطلق عليه اسم حقل متجه على E مع

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

و ψ في Γ(TE) .

يتم تنسيق حزمة النفاثات J ^r (π) بواسطة${\displaystyle (x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,}$. بالنسبة لقيم (x, u, w) الثابتة ، حدد

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

امتلاك الإحداثيات

${\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}$

مع عنصر في الألياف${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$من TJ ^r (π) على (x, u, w) ∈ J ^r (π) ، ويسمى متجه المماس في TJ ^r (π) . هنا،

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

هي دوال حقيقية القيم على J ^r (π ) . قسم

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

هو حقل متجه على J ^r (π) ، ونقول${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).}$

ليكن (E, π, M) حزمة ليفية. المعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة r على π هي فضاء فرعي مغلق مضمن S من فضاء النفاثات J ^r (π) . الحل هو مقطع محلي σ ∈ Γ _W (π) يحقق${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$، لكل p في M.

لنأخذ مثالاً على معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى.

يُعرّف التحويل التفاضلي المحلي ψ  : J ^r ( π ) → J ^r ( π ) تحويل اتصال من الرتبة r إذا حافظ على مثالي الاتصال، مما يعني أنه إذا كان θ أي شكل اتصال على J ^r ( π )، فإن ψ*θ هو أيضًا شكل اتصال.

يشكل التدفق الناتج عن حقل متجه V ^r على فضاء النفاثات J ^r (π) مجموعة ذات معلمة واحدة من تحويلات التماس إذا وفقط إذا كان مشتق لي${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$يحافظ أي شكل اتصال θ على نموذج الاتصال المثالي.

لنبدأ بالحالة من الرتبة الأولى. لنعتبر حقل متجه عام V ¹ على J ¹ ( π )، معطى بواسطة

${\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

نحن الآن نطبق${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$إلى نماذج الاتصال الأساسية${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$ونقوم بتوسيع المشتقة الخارجية للدوال بدلالة إحداثياتها لنحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

لذلك، يحدد V ¹ تحويل التماس إذا وفقط إذا كانت معاملات dx ⁱ و${\displaystyle du_{i}^{k}}$تختفي في الصيغة. وتستلزم المتطلبات الأخيرة شروط التلامس

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

توفر المتطلبات السابقة صيغًا صريحة لمعاملات حدود المشتقة الأولى في V ¹ :

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}$

أين

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

يشير إلى الاقتطاع من الرتبة الصفرية للمشتقة الكلية D _i .

وبالتالي، فإن شروط التلامس تحدد بشكل فريد امتداد أي نقطة أو حقل متجه تلامس. أي، إذا${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$إذا استوفى هذه المعادلات، فإن V ^r يسمى الامتداد r لـ V إلى حقل متجه على J ^r (π) .

تُفهم هذه النتائج بشكل أفضل عند تطبيقها على مثال محدد. لذا، دعونا نفحص ما يلي.

النهاية العكسية لتسلسل الإسقاطات${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$ينتج عن ذلك فضاء النفاثات اللانهائي J ^∞ (π ) . نقطة${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$هي فئة التكافؤ لمقاطع π التي لها نفس k -jet في p مثل σ لجميع قيم k . الإسقاط الطبيعي π _∞${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$في الصفحة ص .

بمجرد التفكير من منظور الإحداثيات، ^يبدو أن J∞(π) كائن هندسي لا نهائي الأبعاد. في الواقع، أبسط طريقة لإدخال بنية قابلة للتفاضل على J∞ ( π ) ، دون الاعتماد على المخططات القابلة للتفاضل، هي حساب التفاضل والتكامل على الجبر التبادلي . وهي ثنائية لتسلسل الإسقاطات ^.${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$سلسلة الحقن هي سلسلة من المشعبات${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}$من الجبر التبادلي. لنرمز إلى${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$ببساطة عن طريق${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$. خذ الآن الحد المباشر${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$التابع${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$سيكون جبرًا تبادليًا، والذي يمكن افتراض أنه جبر الدوال الملساء على الكائن الهندسي J∞ (π) . لاحظ ^أن${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$، كونها ولدت كحد مباشر، تحمل بنية إضافية: إنها جبر تبادلي مُصفّى.

بشكل عام، عنصر ملموس${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$ستظل دائماً ملكاً للبعض${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$، لذا فهي دالة سلسة على المشعب ذي الأبعاد المحدودة J ^k (π) بالمعنى المعتاد.

عرّفت هذه المقالة نفاثات المقاطع المحلية لحزمة، ولكن من الممكن تعريف نفاثات الدوال f: M → N ، حيث M و N متعددات شعب؛ عندئذٍ، تتوافق نفاثة f مع نفاثة المقطع.

gr _f : M → M × N

gr _f (p) = (p, f(p))

( يُعرف gr _f باسم رسم بياني للدالة f ) للحزمة التافهة ( M × N ، π ₁ ، M ). ومع ذلك، فإن هذا القيد لا يُبسط النظرية، لأن التفاهة العامة لـ π لا تستلزم التفاهة العامة لـ π ₁ .

• مجموعة جيت
• جيت (الرياضيات)
• نظام لاغرانج
• المركب الثنائي المتغير