نظرية التعامد

يترك${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$لتكن دالة سلسة بين مشعبات سلسة، ولتكن${\displaystyle Z}$كن متعدد الشعب الفرعي من${\displaystyle Y}$نقول ذلك${\displaystyle f}$مستعرض لـ${\displaystyle Z}$، المشار إليه بـ${\displaystyle f\pitchfork Z}$، إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle x\in f^{-1}\left(Z\right)}$لدينا ذلك

${\displaystyle \operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y}$.

تنص إحدى النتائج المهمة المتعلقة بالاستقامة على أنه إذا كانت الخريطة سلسة${\displaystyle f}$مستعرض لـ${\displaystyle Z}$، ثم${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$هو فضاء فرعي منتظم من${\displaystyle X}$.

لو${\displaystyle X}$إذا كانت فضاءً متعدد الشعب ذو حدود ، فيمكننا تعريف تقييد الخريطة${\displaystyle f}$إلى الحدود، كما${\displaystyle \partial f\colon \partial X\rightarrow Y}$الخريطة${\displaystyle \partial f}$سلسة، وتسمح لنا بصياغة امتداد للنتيجة السابقة: إذا كان كلاهما${\displaystyle f\pitchfork Z}$و${\displaystyle \partial f\pitchfork Z}$، ثم${\displaystyle f^{-1}\left(Z\right)}$هو فضاء فرعي منتظم من${\displaystyle X}$مع الحدود، و

${\displaystyle \partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X}$.

انظر إلى الخريطة${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$وحدد${\displaystyle f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)}$ينتج عن ذلك مجموعة من عمليات الربط.${\displaystyle f_{s}\colon X\rightarrow Y}$نشترط أن تتغير العائلة بسلاسة بافتراض${\displaystyle S}$أن يكون متعدد الشعب (سلسًا) و${\displaystyle F}$أن يكون سلسًا.

نص نظرية التعامد البارامتري هو:

لنفترض أن${\displaystyle F\colon X\times S\rightarrow Y}$هي خريطة سلسة للمشعبات، حيث فقط${\displaystyle X}$له حدود، ودع${\displaystyle Z}$أي مشعب فرعي من${\displaystyle Y}$بلا حدود. إذا كان كلاهما${\displaystyle F}$و${\displaystyle \partial F}$متعامدة مع${\displaystyle Z}$ثم بالنسبة لكل شيء تقريبًا${\displaystyle s\in S}$، كلاهما${\displaystyle f_{s}}$و${\displaystyle \partial f_{s}}$متعامدة مع${\displaystyle Z}$.

إن نظرية التعامد البارامتري المذكورة أعلاه كافية للعديد من التطبيقات الأولية (انظر كتاب غيليمين وبولاك).

هناك عبارات أكثر قوة (تُعرف مجتمعة باسم نظريات التعامد ) والتي تتضمن نظرية التعامد البارامتري وهي ضرورية للتطبيقات الأكثر تقدماً.

بصورة غير رسمية، تنص "نظرية التعامد" على أن مجموعة التطبيقات المتعامدة على فضاء فرعي معين هي فضاء مفتوح كثيف (أو، في بعض الحالات، مجموعة فرعية كثيفة من Gδ فقط من مجموعة التطبيقات). ولتوضيح هذه النظرية بدقة، من الضروري تحديد فضاء التطبيقات قيد الدراسة، وتحديد طوبولوجيته. توجد عدة احتمالات؛ راجع كتاب هيرش.

ما يُفهم عادةً من نظرية توم للتعامد هو بيانٌ أكثر قوةً حول تعامد النفاثات . انظر كتب هيرش وغولوبيتسكي وغيليمين. المرجع الأصلي هو: توم، بول. سوس. مات. مكسيكانا (2) 1 (1956)، ص  59-71.

أثبت جون ماثر في سبعينيات القرن العشرين نتيجةً أكثر عمومية تُعرف باسم نظرية التعامد متعدد النفاثات . انظر كتاب غولوبيتسكي وغيليمين.

يفترض${\displaystyle F:X\times S\to Y}$هو${\displaystyle C^{k}}$خريطة${\displaystyle C^{\infty }}$- مشعبات باناش. افترض:

(أنا)${\displaystyle X,S}$و${\displaystyle Y}$غير فارغة، قابلة للقياس${\displaystyle C^{\infty }}$- مشعبات باناش ذات مساحات مخططات فوق حقل${\displaystyle \mathbb {K} .}$

(ii) الـ${\displaystyle C^{k}}$-رسم خريطة${\displaystyle F:X\times S\to Y}$مع${\displaystyle k\geq 1}$لديه${\displaystyle y}$كقيمة عادية.

(ثالثاً) لكل معلمة${\displaystyle s\in S}$الخريطة${\displaystyle f_{s}(x)=F(x,s)}$هي خريطة فريدهولم ، حيث${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)<k}$لكل${\displaystyle x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).}$

(رابعاً) التقارب${\displaystyle s_{n}\to s}$على${\displaystyle S}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$و${\displaystyle F(x_{n},s_{n})=y}$للجميع${\displaystyle n}$يشير ذلك إلى وجود متتالية فرعية متقاربة${\displaystyle x_{n}\to x}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$مع${\displaystyle x\in X.}$

إذا تحققت الشروط (i)-(iv)، فإنه يوجد مجموعة جزئية مفتوحة وكثيفة${\displaystyle S_{0}\subset S}$بحيث${\displaystyle y}$هي قيمة منتظمة لـ${\displaystyle f_{s}}$لكل معلمة${\displaystyle s\in S_{0}.}$

الآن، قم بإصلاح عنصر${\displaystyle s\in S_{0}.}$إذا كان هناك عدد${\displaystyle n\geq 0}$مع${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=n}$لجميع الحلول${\displaystyle x\in X}$ل${\displaystyle f_{s}(x)=y}$ثم مجموعة الحلول${\displaystyle f_{s}^{-1}(\{y\})}$يتكون من${\displaystyle n}$-الأبعاد${\displaystyle C^{k}}$- مشعب باناخ أو مجموعة الحلول فارغة.

لاحظ أنه إذا${\displaystyle \operatorname {ind} Df_{s}(x)=0}$لجميع حلول${\displaystyle f_{s}(x)=y,}$إذن توجد مجموعة جزئية مفتوحة كثيفة${\displaystyle S_{0}}$ل${\displaystyle S}$بحيث يكون هناك عدد محدود على الأكثر من الحلول لكل معلمة ثابتة${\displaystyle s\in S_{0}.}$بالإضافة إلى ذلك، فإن جميع هذه الحلول منتظمة.