تمديد طبيعي

في الجبر المجرد ، يُعرف الامتداد الطبيعي بأنه امتداد حقل جبري L / K بحيث ينقسم كل كثير حدود غير قابل للاختزال على K وله جذر في L إلى عوامل خطية على L. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وهذا أحد شروط كون الامتداد الجبري امتداد غالوا . ويُطلق بورباكي على هذا الامتداد اسم امتداد شبه غالوا . بالنسبة للامتدادات المنتهية ، يكون الامتداد الطبيعي مطابقًا لحقل التقسيم .

يترك${\displaystyle L/K}$ليكن امتدادًا جبريًا (أي أن L هو امتداد جبري لـ K )، بحيث${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$(أي أن L محتواة في إغلاق جبري لـ K ). عندئذٍ تكون الشروط التالية، والتي يمكن اعتبار أي منها تعريفًا للامتداد الطبيعي ، متكافئة: ^{[ 3 ]}

• كل تضمين لـ L في${\displaystyle {\overline {K}}}$يؤدي تجاوز K إلى حدوث تماثل ذاتي لـ L.
• L هو حقل التفكيك لعائلة من كثيرات الحدود في${\displaystyle K[X]}$.
• كل كثير حدود غير قابل للاختزال من${\displaystyle K[X]}$التي لها جذر في L تنقسم إلى عوامل خطية في L.

ليكن L امتدادًا للحقل K. إذن:

• إذا كان L امتدادًا طبيعيًا لـ K وإذا كان E امتدادًا وسيطًا (أي L  ⊇ E ⊇ K )، فإن L هو امتداد طبيعي لـ E. ^{[ 4 ]}   
• إذا كان E و F امتدادين طبيعيين لـ K موجودين في L ، فإن المركب EF و E  ∩ F هما أيضًا امتدادان طبيعيان لـ K. ^{[ 4 ]} 

يترك${\displaystyle L/K}$يكون الحقل L جبريًا. ويكون الحقل L امتدادًا طبيعيًا إذا وفقط إذا تحققت أي من الشروط المكافئة أدناه.

• تنقسم متعددة الحدود الدنيا على K لكل عنصر في L إلى L ؛
• هناك مجموعة${\displaystyle S\subseteq K[x]}$من كثيرات الحدود التي ينقسم كل منها على L ، بحيث إذا${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$إذا كانت الحقول، فإن S لها متعددة حدود لا تنقسم في F ؛
• جميع التشاكلات${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$التي تثبت أن جميع عناصر K لها نفس الصورة؛
• مجموعة التشاكلات الذاتية،${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K)،}$من L التي تثبت جميع عناصر K ، تعمل بشكل متعدٍ على مجموعة التشاكلات${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$التي تثبت جميع عناصر K.

على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$هو امتداد طبيعي لـ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$لأنه حقل تقسيم لـ${\displaystyle x^{2}-2.}$على الجانب الآخر،${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ليس امتدادًا طبيعيًا لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$بما أن متعددة الحدود غير القابلة للاختزال${\displaystyle x^{3}-2}$يحتوي على جذر واحد (وهو،${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$)، ولكن ليس جميعها (فهي لا تحتوي على الجذور التكعيبية غير الحقيقية للعدد  2). تذكر أن الحقل${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$مجموعة الأعداد الجبرية هي الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$وبالتالي فهو يحتوي${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$يترك${\displaystyle \omega }$ليكن جذرًا تكعيبيًا أوليًا للوحدة. إذن، بما أن $${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$ الخريطة $${\displaystyle {\begin{cases}\sigma$$ :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}} هو تضمين لـ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$في${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$الذي يقتصر على${\displaystyle \mathbb {Q} }$هي الهوية. ومع ذلك،${\displaystyle \sigma }$ليس تماثلاً ذاتياً لـ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

لأي عدد أولي${\displaystyle p,}$الامتداد${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$طبيعي من الدرجة${\displaystyle p(p-1).}$إنه مجال انقسام${\displaystyle x^{p}-2.}$هنا${\displaystyle \zeta _{p}}$يشير إلى أي${\displaystyle p}$الجذر البدائي للوحدة . الحقل${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$هو الإغلاق الطبيعي (انظر أدناه) لـ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

إذا كان K حقلاً و L امتداداً جبرياً لـ K ، فإنه يوجد امتداد جبري M لـ L بحيث يكون M امتداداً طبيعياً لـ K. علاوة على ذلك، حتى التشاكل، يوجد امتداد واحد فقط يكون أصغري، أي أن الحقل الجزئي الوحيد من M الذي يحتوي L والذي يُعد امتداداً طبيعياً لـ K هو M نفسه. يُسمى هذا الامتداد بالإغلاق الطبيعي للامتداد L لـ K.

إذا كان L امتدادًا محدودًا لـ K ، فإن إغلاقه الطبيعي هو أيضًا امتداد محدود.

• امتداد غالوا
• الوضع الطبيعي

• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556​ 
• جاكوبسون ، ناثان (1989)، الجبر الأساسي الثاني (الطبعة الثانية  )، دبليو  إتش فريمان، ISBN 0-7167-1933-9، MR 1009787