صنف فائق التفرد

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، تُعرَّف المتنوعات فائقة التفرد (عادةً) بأنها تنوعات إسقاطية ملساء ذات خاصية غير صفرية ، بحيث تكون ميول مضلع نيوتن للتماثل البلوري من الرتبة n مساويةً لـ n / 2 لجميع قيم n . [ 1 ] بالنسبة لفئات خاصة من المتنوعات، مثل المنحنيات الإهليلجية ، يشيع استخدام تعريفات مخصصة مختلفة لمصطلح "فائق التفرد"، والتي تُكافئ (عادةً) التعريف المذكور أعلاه. وعلى النقيض من ذلك، يُطلق على المتنوع اسم " عادي" إذا تطابق مضلع نيوتن الخاص به مع مضلع هودج الخاص به . [ 2 ] على الرغم من هذا التشابه في المصطلحات، فإن مصطلحي "فائق التفرد" و"متفرد" لا يشيران بالضرورة إلى وجود نقاط تفرد في المتنوع .

تاريخ

استُخدم مصطلح "المنحنى الإهليلجي الشاذ" (أو "المنحنى الإهليلجي الشاذ الثابت تحت تأثير j ") في الأصل للإشارة إلى المنحنيات الإهليلجية المركبة التي تكون حلقة التشكلات الداخلية الخاصة بها من الرتبة 2، وهي أعلى رتبة ممكنة في مجموعة الأعداد المركبة . في ثلاثينيات القرن العشرين، اكتشف هيلموت هاس أن المنحنيات الإهليلجية فوق الحقول المنتهية يمكن أن تمتلك حلقات تشكلات داخلية أكبر من الرتبة 4، وقد أُطلق عليها اسم "المنحنيات الإهليلجية فائقة الشذوذ". [ 3 ]

مع تطور نظرية التماثل البلوري على يد ألكسندر غروتينديك وبيير بيرتيلو في ستينيات وسبعينيات القرن العشرين، [ 4 ] أصبح من الممكن توصيف التفرد الفائق لمنحنى إهليلجي بدلالة ميول مضلع نيوتن لمجموعة التماثل البلوري الأولى. وقد أدى هذا المنظور التماثلي إلى تعميم المفهوم ليشمل فئات أخرى من الأصناف: يُوصف الصنف بأنه فائق التفرد عندما تتركز جميع ميول مضلع نيوتن الخاص به عند القيمة الوسطى. وقد تم توسيع هذا المفهوم ليشمل الأصناف الأبيلية ، وأسطح K3 ، وأسطح إنريكيس .

التعريف الرسمي

ليكن X تنوعًا إسقاطيًا أملسًا على حقل مثالي k ذي خاصية p > 0، وليكن W ( k ) حلقة متجهات ويت لـ k . مجموعات التماثل البلوري H <sub> n cris</sub> ( X / W ( k )) هي وحدات مولدة نهائيًا على W ( k )، مزودة بتشاكل خطي من نوع فروبينيوس . يشفر مضلع نيوتن لـ H <sub> n cris</sub> ( X / W ( k )) القيم الذاتية p -adic لـ فروبينيوس المؤثرة على البلورة المتماثلة F المرتبطة بها . [ 5 ]

تكون المتنوعة X فائقة التفرد إذا كانت جميع ميول مضلع نيوتن لـ H <sub>n </sub> cris ( X / W ( k )) تساوي n /2 لكل عدد صحيح غير سالب n . [ 1 ] بالنسبة لمتنوعة على حقل منتهٍ F<sub> q</sub> ، فإن هذا يكافئ الشرط القائل بأن جميع القيم الذاتية لفروبينيوس على التماثل l -adic H <sub>n</sub> ( X , Q<sub>l </sub> ) تساوي q<sub> n /2 </sub> مضروبة في جذور الوحدة . [ 6 ]

تُثبت إحدى النتائج الأساسية لباري مازور ونيكولاس كاتز أن مضلع نيوتن يقع دائمًا على مضلع هودج أو فوقه ؛ ويمثل التنوع الفائق الحالة التي يقع فيها مضلع نيوتن في أعلى نقطة ممكنة. [ 2 ] [ 5 ]

فئات الأصناف الفائقة التفرد

المنحنيات الإهليلجية

يكون المنحنى الإهليلجي E على حقل ذي خاصية p > 0 فائق التفرد إذا وفقط إذا كانت حلقة التشكل الداخلي الخاصة به رتبة في جبر رباعي ، مما يمنحه رتبة 4 بدلاً من الرتبة 2 المعتادة للمنحنيات الإهليلجية العادية. [ 3 ] من حيث علم التماثل البلوري، يكون E فائق التفرد إذا وفقط إذا كان لمضلع نيوتن لـ H 1 cris ( E / W ( k )) ميل واحد يساوي 1/2، بدلاً من ميلين 0 و1 كما في الحالة العادية.

لكل عدد أولي p ، يوجد عدد محدود فقط من الثوابت j التي تُقابل منحنيات إهليلجية فائقة التفرد فوق الإغلاق الجبري لـ F p ، وتقع جميع هذه الثوابت j في F p 2. وقد رصد جون تيت أول مثال لمنحنى إهليلجي فائق التفرد على حقول ذات خاصية 3، باستخدام رباعي فيرما . [ 7 ]

أصناف أبيلية

يمكن تعريف التنوع الأبلي الفائق التفرد ذي البعد g على حقل ذي خاصية p > 0 إما على أنه تنوع أبيلي متماثل مع حاصل ضرب منحنيات إهليلجية فائقة التفرد، أو على أنه تنوع يكون بُعد جبر التشكل الداخلي الخاص به (2g ) ² على Q. [ 8 ] مضلع نيوتن للتنوع الأبلي الفائق التفرد ذي البعد g له جميع الميول تساوي 1/2. ولأن حلقة التماثل للتنوع الأبلي هي الجبر الخارجي لمجموعة التماثل الأولى الخاصة به، فإن التفرد الفائق للتنوع الأبلي يتحدد كليًا بواسطة H1 .

أسطح K3

بالنسبة لأسطح K3 ذات الخاصية p > 0، دُرست فكرتان مرتبطتان بالتفرد الفائق. يُقال عن سطح K3 أنه متفرد فائق من نوع أرتين إذا كانت جميع ميول منحنى فروبينيوس على H 2 cris تساوي 1، أو بصورة مكافئة إذا كانت زمرة براور الرسمية الخاصة به ذات ارتفاع لانهائي. [ 9 ] ويُقال عن سطح K3 أنه متفرد فائق من نوع شيودا إذا كانت رتبة زمرة نيرون-سيفيري الخاصة به تساوي عدد بيتي الثاني ، وهو 22 لجميع أسطح K3.

افترض مايكل أرتين أن المفهومين متطابقان: أن سطح K3 ذو زمرة براور الرسمية ذات الارتفاع اللانهائي يجب أن يكون له عدد بيكارد 22. [ 9 ] وقد أثبت نيلز نيغارد وآرثر أوغوس فرضية تيت لأسطح K3 ذات الارتفاع المحدود ، [ 10 ] وتم إثبات فرضية أرتين في الخاصية p ≥ 3 من خلال عمل موليك وتشارلز ومادابوسي بيرا، الذين أكملوا معًا أيضًا إثبات فرضية تيت لأسطح K3 في تلك الخصائص. [ 11 ] [ 12 ]

توجد أسطح K3 ذات عدد بيكارد 22 فقط في الخصائص الموجبة؛ وتشير نظرية هودج إلى أن عدد بيكارد لسطح K3 على الأعداد المركبة لا يتجاوز 20. وقدّم تيت المثال الأول، حيث لاحظ أن سطح فيرما الرباعي له عدد بيكارد 22 على الحقول المغلقة جبريًا ذات الخاصية p ≡ 3 (mod 4). [ 7 ]

أسطح إنريكي

في الخصائص الأخرى غير 2، تكون أسطح إنريكيس ناتج قسمة أسطح K3 بواسطة انعكاس حر، ولا تُظهر سلوكًا فوق فردي. في الخاصية 2، بيّن إنريكو بومبيري وديفيد مومفورد أن أسطح إنريكيس تنقسم إلى ثلاث فئات - كلاسيكية، وفردية، وفوق فردية - تتميز ببنية مخطط بيكارد الخاص بها . [ 13 ] سطح إنريكيس فوق الفردي في الخاصية 2 له H1 ( OX ) ذو بُعد 1 مع فعل فروبينيوس تافه، وحزمة قانونية تافهة ، ومخطط بيكارد الخاص به Picτ متماثل مع مخطط المجموعة α2 . غطاؤه المزدوج القانوني هو غطاء α2 غير قابل للفصل تمامًا لسطح ذي حزمة ثنائية تافهة .

مفهوم التفرد الفائق للأسطح (Shioda and Artin supersinular).

بالنسبة للأسطح الجبرية بشكل عام، يمكن صياغة المفاهيم المقدمة لأسطح K3 على النحو التالي:

تُشير فرضية تيت إلى أنه بالنسبة للأسطح فوق الحقول المغلقة جبريًا، فإن التفرد الفائق لآرتين يستلزم التفرد الفائق لشيودا. [ 9 ] أما العكس - أي ما إذا كان التفرد الفائق لشيودا يستلزم التفرد الفائق لآرتين - فليس معروفًا بشكل عام.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 دي يونج، إيس جوهان (2014)، حدسية شيودا
  2. 1 2 مازور، باري (1972)، "فروبينيوس وترشيح هودج"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 78 (5): 653-667 ، doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12976-8
  3. 1 2 سيلفرمان، جوزيف هـ. (2009)، حساب المنحنيات الإهليلجية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 106 ( الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN   978-0-387-09493-9
  4. ↑ بيرتيلو، بيير ؛ أوغوس، آرثر (1978)، ملاحظات حول علم التماثل البلوري ، ملاحظات رياضية، المجلد 21، مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN  0-691-08218-9
  5. 1 2 كاتز، نيكولاس م. ( 1979)، "ترشيح ميل بلورات F"، أستيريسك ، 63 : 113-163
  6. ↑ كاتز، نيكولاس م .؛ ميسينغ، ويليام (1974)، "بعض نتائج فرضية ريمان للأصناف فوق الحقول المنتهية"، Inventiones Mathematicae ، 23 : 73-77 ، doi : 10.1007/BF01405203
  7. 1 2 تيت، جون ( 1965)، "الدورات الجبرية وأقطاب دوال زيتا"، الهندسة الجبرية الحسابية ، نيويورك: هاربر آند رو، ص 93-110 
  8. ^ أورت ، فرانس (1974)، “الأصناف الفرعية للمساحات المعيارية”، اختراعات الرياضيات ، 24 : 95– 119
  9. 1 2 3 مايكل أرتين (1974)، “أسطح K3 الفائقة المفرد”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا ، السلسلة الرابعة، 7 ( 4): 543–567
  10. ^ نيجارد، نيلز أو. أوجوس ، آرثر (1985)، “تخمين تيت لأسطح K3 ذات الارتفاع المحدود”، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 122 (3): 461-507 ، دوى : 10.2307 / 1971327
  11. ^ موليك ، دافيش (2014)، “أسطح Supersingular K3 للأعداد الأولية الكبيرة”، مجلة ديوك الرياضية ، 163 (13): 2357–2425 ، أرخايف : 1203.2889 ، دوى : 10.1215 / 00127094-2804783
  12. ↑ تشارلز، فرانسوا (2013)، "تخمين تيت لأسطح K3 فوق الحقول المنتهية"، Inventiones Mathematicae ، 194 (1): 119-145 ، arXiv : 1206.4002 ، doi : 10.1007/s00222-012-0443-y
  13. ^ بومبيري، إنريكو ؛ مومفورد ، ديفيد (1976)، “تصنيف إنريكي للأسطح في شار. ص ، III”، اختراعات الرياضيات ، 35 : 197–232 ، دوى : 10.1007 / BF01390138