مجموعة منفصلة

في الرياضيات ، تُسمى المجموعة الطوبولوجية G مجموعة منفصلة إذا لم يكن فيها نقطة نهاية (أي، لكل عنصر في G ، توجد جوار يحتوي على ذلك العنصر فقط). وبصورة مكافئة، تكون المجموعة G منفصلة إذا وفقط إذا كانت عنصرها المحايد معزولاً . ^{[ 1 ]}

تُسمى المجموعة الجزئية H من المجموعة الطوبولوجية G مجموعة جزئية منفصلة إذا كانت H منفصلة عند تزويدها بطوبولوجيا الفضاء الجزئي من G. بعبارة أخرى، توجد جوار للعنصر المحايد في G لا يحتوي على أي عنصر آخر من H. على سبيل المثال، تُشكل الأعداد الصحيحة Z مجموعة جزئية منفصلة من الأعداد الحقيقية R (مع الطوبولوجيا المترية القياسية )، بينما لا تُشكل الأعداد النسبية Q مجموعة جزئية منفصلة.

يمكن تزويد أي مجموعة بالطوبولوجيا المنفصلة ، ​​مما يجعلها مجموعة طوبولوجية منفصلة. ولأن كل تطبيق من فضاء منفصل يكون متصلاً ، فإن التشاكلات الطوبولوجية بين المجموعات المنفصلة هي نفسها تشاكلات المجموعات بين المجموعات الأساسية. ومن ثم، يوجد تماثل بين فئة المجموعات وفئة المجموعات المنفصلة. وبالتالي، يمكن تعريف المجموعات المنفصلة بمجموعاتها الأساسية (غير الطوبولوجية).

توجد بعض الحالات التي تُزوَّد فيها مجموعة طوبولوجية أو مجموعة لي بطوبولوجيا منفصلة، ​​وهو أمرٌ "يخالف الطبيعة". يحدث هذا، على سبيل المثال، في نظرية تكثيف بور ، وفي نظرية تماثل المجموعات لزمر لي.

مجموعة التماثل المتقطع هي مجموعة تماثل بحيث تكون مجموعة صور كل نقطة في الفضاء المتري تحت التماثلات مجموعة منفصلة . ومجموعة التناظر المتقطع هي مجموعة تناظر تُعدّ بدورها مجموعة تماثل متقطع.

بما أن المجموعات الطوبولوجية متجانسة ، يكفي النظر إلى نقطة واحدة لتحديد ما إذا كانت المجموعة الطوبولوجية منفصلة. على وجه الخصوص، تكون المجموعة الطوبولوجية منفصلة فقط إذا كانت المجموعة الأحادية التي تحتوي على العنصر المحايد مجموعة مفتوحة .

الزمرة المنفصلة هي نفسها زمرة لي ذات البعد الصفري ( الزمر المنفصلة غير القابلة للعد ليست قابلة للعد من الدرجة الثانية ، لذا فإن المؤلفين الذين يشترطون هذه الخاصية في زمر لي لا يعتبرونها زمر لي). العنصر المحايد في الزمرة المنفصلة هو ببساطة الزمرة الجزئية التافهة ، بينما زمرة العناصر متماثلة مع الزمرة نفسها.

بما أن طوبولوجيا هاوسدورف الوحيدة على مجموعة منتهية هي الطوبولوجيا المنفصلة، ​​فإن أي زمرة طوبولوجية منتهية لهاوسدورف يجب أن تكون منفصلة بالضرورة. ويترتب على ذلك أن كل زمرة جزئية منتهية من زمرة هاوسدورف هي زمرة منفصلة.

تكون المجموعة الفرعية المنفصلة H من G متماسكة إذا كانت هناك مجموعة فرعية متماسكة K من G بحيث HK = G.

تلعب الزمر الجزئية الطبيعية المنفصلة دورًا هامًا في نظرية الزمر المغطاة والزمر المتماثلة محليًا . تقع الزمرة الجزئية الطبيعية المنفصلة لزمرة متصلة G بالضرورة في مركز G ، وبالتالي فهي زمرة تبديلية .

خصائص أخرى :

• كل مجموعة منفصلة تمامًا
• كل مجموعة فرعية من مجموعة منفصلة هي مجموعة منفصلة.
• كل ناتج قسمة لمجموعة منفصلة هو منفصل.
• حاصل ضرب عدد محدود من المجموعات المنفصلة يكون منفصلاً.
• تكون المجموعة المنفصلة متراصة إذا وفقط إذا كانت منتهية.
• كل مجموعة منفصلة تكون متراصة محلياً .
• كل مجموعة فرعية منفصلة من مجموعة هاوسدورف تكون مغلقة.
• كل مجموعة فرعية منفصلة من مجموعة هاوسدورف المدمجة هي مجموعة منتهية.

• مجموعات الزخارف ومجموعات ورق الجدران هي مجموعات فرعية منفصلة من مجموعة التماثل الهندسي للمستوى الإقليدي. مجموعات ورق الجدران متراصة، بينما مجموعات الزخارف ليست كذلك.
• تعني المجموعة البلورية عادةً مجموعة فرعية منفصلة ومتراصة من التماثلات في فضاء إقليدي ما. مع ذلك، قد تكون المجموعة البلورية أحيانًا مجموعة فرعية منفصلة ومتراصة من مجموعة لي عديمة القوة أو قابلة للحل .
• كل مجموعة مثلثية T هي مجموعة فرعية منفصلة من مجموعة التماثل للكرة (عندما تكون T محدودة)، أو المستوى الإقليدي (عندما يكون لـ T مجموعة فرعية Z  + Z ذات دليل محدود )، أو المستوى الزائدي . 
• مجموعات فوكس هي، بحكم تعريفها، مجموعات فرعية منفصلة من مجموعة التساوي في القياس للمستوى الزائدي.
  • إن مجموعة فوكسية تحافظ على التوجيه وتعمل على نموذج النصف العلوي من المستوى الزائدي هي مجموعة فرعية منفصلة من مجموعة لي PSL(2, R )، وهي مجموعة التماثلات التي تحافظ على التوجيه لنموذج النصف العلوي من المستوى الزائدي.
  • تعتبر مجموعة فوكسيان أحيانًا حالة خاصة من مجموعة كلاين ، وذلك عن طريق تضمين المستوى الزائدي بشكل متساوي القياس في الفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد وتمديد تأثير المجموعة على المستوى إلى الفضاء بأكمله.
  • تُعتبر المجموعة النمطية PSL(2, Z) مجموعةً فرعيةً منفصلةً من PSL(2, R ) . وتُشكّل هذه المجموعة النمطية شبكةً في PSL(2, R )، لكنها ليست متراصةً.
• تُعتبر مجموعات كلاين ، بحكم تعريفها، مجموعات فرعية منفصلة من مجموعة التساوي القياسي للفضاء الزائدي ثلاثي الأبعاد . وتشمل هذه المجموعات شبه الفوشية .
  • إن مجموعة كلاين التي تحافظ على التوجيه وتعمل على نموذج نصف الفضاء العلوي للفضاء الزائدي 3 هي مجموعة فرعية منفصلة من مجموعة لي PSL(2, C )، وهي مجموعة التماثلات التي تحافظ على التوجيه لنموذج نصف الفضاء العلوي للفضاء الزائدي 3.
• الشبكة في زمرة لي هي زمرة فرعية منفصلة بحيث يكون مقياس هار للفضاء الخارجي محدودًا.

• المجموعة النقطية البلورية
• مجموعة فرعية للتطابق
• المجموعة الحسابية
• نظرية الزمر الهندسية
• نظرية المجموعات الحسابية
• غير متصل بحرية
• مجموعة عادية مجانية

• الوسائط المتعلقة بالمجموعات المنفصلة على ويكيميديا ​​كومنز