جبر بواسون

تشكل فضاءات الدوال الملساء ذات القيم الحقيقية على مشعب تماثلي جبر بواسون. على مشعب تماثلي، تُولّد كل دالة حقيقية H على المشعب حقلًا متجهيًا X ∈ _H ، وهو حقل متجه هاميلتوني . بالتالي، لأي دالتين أملستين F و G على المشعب التماثلي، يمكن تعريف قوس بواسون كما يلي:

${\displaystyle \{F,G\}=dG(X_{F})=X_{F}(G)\,}$.

هذا التعريف متسق جزئيًا لأن قوس بواسون يعمل كاشتقاق. وبالمثل، يمكن تعريف القوس {,} على النحو التالي:

${\displaystyle X_{\{F,G\}}=[X_{F},X_{G}]\,}$

حيث [,] هي مشتقة لي . عندما يكون التشعب التبسيطي R ^{2 n} ذو البنية التبسيطية القياسية، فإن قوس بواسون يأخذ الشكل المعروف

${\displaystyle \{F,G\}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial F}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}.}$

تنطبق اعتبارات مماثلة على مشعبات بواسون ، التي تعمم المشعبات التبسيطية من خلال السماح للمتجه الثنائي التبسيطي بأن يكون ناقص الرتبة.

يتمتع جبر الموترات لجبر لي ببنية جبر بواسون . وقد ورد شرح مفصل للغاية لهذا البناء في المقالة المتعلقة بجبر الغلاف الشامل .

تبدأ عملية البناء بإنشاء جبر الموترات للفضاء المتجهي الأساسي لجبر لي. جبر الموترات هو ببساطة الاتحاد المنفصل ( المجموع المباشر ⊕) لجميع جداءات الموترات لهذا الفضاء المتجهي. يمكن بعد ذلك إثبات إمكانية رفع قوس لي بشكل متسق إلى جبر الموترات بأكمله: فهو يحقق قاعدة الجداء، ومتطابقة جاكوبي لقوس بواسون، وبالتالي فهو قوس بواسون عند رفعه. يشكل زوج الجداءات {,} و ⊗ جبر بواسون. لاحظ أن ⊗ ليس تبديليًا ولا مضادًا للتبديل: إنه تجميعي فقط.

وبالتالي، يمكن القول عمومًا أن جبر الموترات لأي جبر لي هو جبر بواسون. ويُحصل على الجبر الشامل عن طريق تعديل بنية جبر بواسون.

إذا كانت A جبرًا ترابطيًا ، فإن فرض المُبدِّل [ x , y ] = xy − yx يحوّلها إلى جبر بواسون (وبالتالي، جبر لي أيضًا) A _L. تجدر الإشارة إلى أنه لا ينبغي الخلط بين A _L الناتج وبناء جبر الموترات الموصوف في القسم السابق. يمكن تطبيق هذا البناء أيضًا إذا رغبنا، لكنه سيُنتج جبر بواسون مختلفًا، أكبر بكثير.

بالنسبة لجبر المؤثرات الرأسية ( V , Y , ω , 1) ، _فإن الفضاء V / C² ( _V ) هو جبر بواسون حيث { a , b } = a₀b و a ⋅ b = a⁻¹b . بالنسبة لبعض جبر المؤثرات الرأسية ، تكون جبر بواسون هذه محدودة الأبعاد _.

يمكن إعطاء جبر بواسون تصنيفًا من الدرجة _Z² بإحدى طريقتين مختلفتين. ينتج عن هاتين الطريقتين جبر بواسون الفائق وجبر جيرستنهاوبر . يكمن الفرق بينهما في تصنيف حاصل الضرب نفسه. بالنسبة لجبر بواسون الفائق، يُعطى التصنيف بواسطة

${\displaystyle |\{a,b\}|=|a|+|b|}$

أما في جبر جيرستنهاوبر، فإن القوس يقلل الدرجة بمقدار واحد:

${\displaystyle |\{a,b\}|=|a|+|b|-1}$

في كلا التعبيرين${\displaystyle |a|=\deg a}$يشير إلى تصنيف العنصر${\displaystyle a}$عادةً، يُحسب كيف${\displaystyle a}$يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب زوجي أو فردي للعناصر المولدة. وتظهر جبر جيرستنهاوبر عادةً في تكميم BRST .