قاعدة الدالة العكسية

في حساب التفاضل والتكامل ، قاعدة الدالة العكسية هي صيغة تعبر عن مشتقة معكوس دالة تقابلية وقابلة للتفاضل f بدلالة مشتقة f . بتعبير أدق، إذا كان معكوس${\displaystyle f}$يُشار إليه بـ${\displaystyle f^{-1}}$، أين${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x)=y}$إذن، قاعدة الدالة العكسية هي، وفقًا لترميز لاغرانج ،

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(y)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.}$

تنطبق هذه الصيغة بشكل عام كلما${\displaystyle f}$دالة متصلة وحقنية على فترة I ، مع${\displaystyle f}$قابل للتفاضل عند${\displaystyle f^{-1}(y)}$(${\displaystyle \in I}$) وأين${\displaystyle f'(f^{-1}(y))\neq 0}$الصيغة نفسها مكافئة أيضاً للتعبير

${\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},}$

أين${\displaystyle {\mathcal {D}}}$يرمز إلى عامل الاشتقاق الأحادي (على فضاء الدوال) و${\displaystyle \circ }$يشير إلى تركيب الدوال .

هندسياً، يكون للدالة والدالة العكسية رسوم بيانية تمثل انعكاسات على الخط.${\displaystyle y=x}$. تقوم عملية الانعكاس هذه بتحويل تدرج أي خط إلى مقلوبه . ^{[ 1 ]}

بافتراض أن${\displaystyle f}$له معكوس في جوار${\displaystyle x}$وبما أن مشتقتها عند تلك النقطة لا تساوي صفرًا، فإن معكوسها مضمون أن يكون قابلاً للتفاضل عند${\displaystyle x}$ولها مشتقة معطاة بالصيغة المذكورة أعلاه.

يمكن أيضًا التعبير عن قاعدة الدالة العكسية باستخدام ترميز لايبنتز . وكما يوحي هذا الترميز،

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,{\frac {dy}{dx}}=1.}$

يتم الحصول على هذه العلاقة عن طريق اشتقاق المعادلة${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$بدلالة x وبتطبيق قاعدة السلسلة ، ينتج ما يلي:

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}$

مع الأخذ في الاعتبار أن مشتقة x بالنسبة إلى x تساوي 1.

يترك${\displaystyle f}$لتكن دالة قابلة للعكس (تقابلية)،${\displaystyle x}$أن يكون في نطاق${\displaystyle f}$ودع${\displaystyle y=f(x).}$يترك${\displaystyle g=f^{-1}.}$لذا،${\displaystyle f(g(y))=y.}$اشتقاق هذه المعادلة بالنسبة إلى${\displaystyle y}$وباستخدام قاعدة السلسلة ، نحصل على

${\displaystyle f'(g(y))\cdot g'(y)=1.}$

إنه،

${\displaystyle g'(y)={\frac {1}{f'(g(y))}}}$

أو

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]^{\prime }(y)={\frac {1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}}.}$

• ${\displaystyle y=x^{2}}$(لـ x الموجبة ) لها معكوس${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$.

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}$

في${\displaystyle x=0}$ومع ذلك، هناك مشكلة: يصبح الرسم البياني لدالة الجذر التربيعي عموديًا، وهو ما يتوافق مع مماس أفقي لدالة التربيع.

• ${\displaystyle y=e^{x}}$(لـ x الحقيقي ) له معكوس${\displaystyle x=\ln {y}}$(للإيجابي)${\displaystyle y}$)

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}=e^{-x}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}e^{-x}=1.}$

• إن دمج هذه العلاقة يعطي

${\displaystyle {f^{-1}}(y)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(y))}}\,{dy}+C.}$

لا يكون هذا مفيدًا إلا إذا كان التكامل موجودًا. على وجه الخصوص، نحتاج إلى${\displaystyle f'(x)}$أن تكون قيمتها غير صفرية عبر نطاق التكامل.

يستنتج من ذلك أن الدالة التي لها مشتقة متصلة لها دالة عكسية في جوار كل نقطة تكون فيها المشتقة غير صفرية. ولا يشترط أن يكون هذا صحيحًا إذا كانت المشتقة غير متصلة.

• ومن الخصائص الأخرى المثيرة للاهتمام والمفيدة للغاية ما يلي:

${\displaystyle \int f^{-1}(y)\,{dy}=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))+C}$

أين${\displaystyle F}$يشير إلى الدالة الأصلية لـ${\displaystyle f}$.

• إن معكوس مشتقة f(x) له أهمية أيضًا، حيث يتم استخدامه في إظهار تحدب تحويل ليجندر .

يترك ${\displaystyle z=f'(x)}$ إذن لدينا، بافتراض${\displaystyle f''(x)\neq 0}$:$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[f'\right]^{-1}(z)={\frac {1}{f''(x)}}}$$ويمكن توضيح ذلك باستخدام الترميز السابق${\displaystyle y=f(x)}$ثم لدينا:

$${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {dy}{dz}}f''(x)\Rightarrow {\frac {dy}{dz}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}}$$لذلك:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}[f']^{-1}(z)={\frac {dx}{dz}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dx}{dy}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}{\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{f''(x)}}}$

بالاستقراء، يمكننا تعميم هذه النتيجة لأي عدد صحيح${\displaystyle n\geq 1}$، مع ${\displaystyle z=f^{(n)}(x)}$، المشتقة النونية للدالة f(x)، و ${\displaystyle y=f^{(n-1)}(x)}$، بافتراض${\displaystyle f^{(i)}(x)\neq 0{\text{ for }}0<i\leq n+1}$:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[f^{(n)}\right]^{-1}(z)={\frac {1}{f^{(n+1)}(x)}}}$

يتم الحصول على قاعدة السلسلة المذكورة أعلاه عن طريق تفاضل المتطابقة${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$بالنسبة إلى y ، حيث${\displaystyle y=f(x)}$يمكن مواصلة العملية نفسها للمشتقات العليا. باشتقاق المتطابقة مرتين بالنسبة إلى x ، نحصل على

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

يتم تبسيط ذلك أكثر بواسطة قاعدة السلسلة كما يلي

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}$

وباستبدال المشتقة الأولى، باستخدام المتطابقة التي تم الحصول عليها سابقًا، نحصل على

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}}$

وهذا يعني

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {d^{2}y/dx^{2}}{\left(dy/dx\right)^{3}}}.}$

وبالمثل بالنسبة للمشتقة الثالثة لدينا

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}.}$

باستخدام صيغة المشتقة الثانية، نحصل على

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{2}\,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{-1}}$

وهذا يعني

${\displaystyle {\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}=-{\frac {d^{3}y/dx^{3}}{\left(dy/dx\right)^{4}}}+3{\frac {\left(d^{2}y/dx^{2}\right)^{2}}{\left(dy/dx\right)^{5}}}.}$

يمكن كتابة هذه الصيغ أيضاً باستخدام ترميز لاغرانج:

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]''(y)=-{\frac {f''(f^{-1}(y))}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^{3}}},}$

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]'''(y)=-{\frac {f'''(f^{-1}(y))}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^{4}}}+3{\frac {\left[f''(f^{-1}(y))\right]^{2}}{\left[f'(f^{-1}(y))\right]^{5}}}.}$

بشكل عام، يمكن التعبير عن المشتقات العليا للدالة العكسية باستخدام صيغة فا دي برونو . أو بدلاً من ذلك، يمكن كتابة المشتقة من الرتبة n بإيجاز على النحو التالي:

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]^{(n)}(y)=\left[\left({\frac {1}{f'(t)}}{\frac {d}{dt}}\right)^{n}t\right]_{t=f^{-1}(y)}.}$

من هذا التعبير، يمكن أيضًا اشتقاق التكامل النوني للدالة العكسية ذات نقطة الأساس a باستخدام صيغة كوشي للتكامل المتكرر كلما${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$:

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]^{(-n)}(y)={\frac {1}{n!}}\left(f^{-1}(a)(y-a)^{n}+\int _{f^{-1}(a)}^{f^{-1}(y)}\left(y-f(u)\right)^{n}\,du\right).}$

• حساب التفاضل والتكامل – فرع من فروع الرياضيات 
• قاعدة السلسلة – صيغة في حساب التفاضل والتكامل 
• تفاضل الدوال المثلثية – العملية الرياضية لإيجاد مشتقة الدالة المثلثية 
• قواعد التفاضل - قواعد حساب مشتقات الدوال 
• نظرية الدالة الضمنية – حول تحويل العلاقات إلى دوال لعدة متغيرات حقيقية 
• تكامل الدوال العكسية – نظرية رياضية تُستخدم في حساب التفاضل والتكامل. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 
• الدالة العكسية – مفهوم رياضي 
• نظرية الدالة العكسية – نظرية في الرياضيات 
• جدول المشتقات – قواعد حساب مشتقات الدوال. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 
• متطابقات حساب المتجهات – المتطابقات الرياضية