اختبار الفصل الدراسي النوني

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعد اختبار الحد النوني للتباعد [ 1 ] اختبارًا بسيطًا لتباعد المتسلسلة اللانهائية :

لوليمن→∞أن≠0{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}أو إذا لم يكن الحد موجوداً، فـ∑ن=1∞أن{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}يتباعد.

كثير من المؤلفين لا يذكرون اسماً لهذا الاختبار أو يطلقون عليه اسماً مختصراً. [ 2 ]

عند اختبار ما إذا كانت المتسلسلة تتقارب أو تتباعد، يتم التحقق من هذا الاختبار أولاً نظرًا لسهولة استخدامه.

في حالة التحليل p-adic، يعتبر اختبار المصطلح شرطًا ضروريًا وكافيًا للتقارب بسبب متباينة المثلث الفائق غير الأرخميدي .

الاستخدام

بخلاف اختبارات التقارب الأقوى ، لا يمكن لاختبار المصطلح وحده أن يثبت تقارب متسلسلة . وعلى وجه الخصوص، فإن عكس الاختبار غير صحيح؛ فكل ما يمكن قوله هو:

لوليمن→∞أن=0،{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}ثم∑ن=1∞أن{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}قد تتقارب أو لا تتقارب. بعبارة أخرى، إذاليمن→∞أن=0،{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}الاختبار غير حاسم.

تُعدّ المتسلسلة التوافقية مثالًا كلاسيكيًا على المتسلسلة المتباعدة التي تقترب حدودها من الصفر في النهاية عندمان→∞{\displaystyle n\rightarrow \infty }[ 3 ] الفئة الأكثر عمومية من متسلسلات p ،

∑ن=1∞1نص،{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}},}

يوضح هذا المثال النتائج المحتملة للاختبار:

  • إذا كانت قيمة p ≤ 0، فإن اختبار الحد النوني يحدد السلسلة على أنها متباعدة.
  • إذا كان 0 < p ≤ 1، فإن اختبار الحد النوني غير حاسم، لكن السلسلة متباعدة بواسطة اختبار التكامل للتقارب .
  • إذا كان 1 < p ، فإن اختبار الحد النوني غير حاسم، لكن السلسلة متقاربة بواسطة اختبار التكامل للتقارب.

البراهين

يتم إثبات الاختبار عادةً في شكل معاكس إيجابي :

لو∑ن=1∞أن{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}ثم يتقاربليمن→∞أن=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}

التلاعب بالحدود

إذا كانت s و n هي المجاميع الجزئية للمتسلسلة، فإن افتراض تقارب المتسلسلة يعني أن

ليمن→∞sن=ل{\displaystyle \lim _{n\to \infty }s_{n}=L}

لبعض الأرقام L. ثم [ 4 ]

ليمن→∞أن=ليمن→∞(sن-sن-1)=ليمن→∞sن-ليمن→∞sن-1=ل-ل=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=LL=0.}

معيار كوشي

بافتراض أن المتسلسلة متقاربة، فهذا يعني أنها تجتاز اختبار كوشي للتقارب : لكلε>0{\displaystyle \varepsilon >0}يوجد عدد N بحيث

|أن+1+أن+2+⋯+أن+ص|<ε{\displaystyle \left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}\right|<\varepsilon }

ينطبق هذا على جميع قيم n > N و p ≥ 1. يؤدي تعيين p = 1 إلى استعادة الادعاء [ 5 ].

ليمن→∞أن=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0.}

نِطَاق

ينطبق أبسط شكل من اختبار الحد على المتسلسلات اللانهائية من الأعداد الحقيقية . ويصلح البرهانان السابقان، بالاستناد إلى معيار كوشي أو خطية النهاية، في أي فضاء متجهي معياري آخر [ 6 ] أو أي زمرة أبيلية مكتوبة جمعيًا .

ملحوظات

  1. ↑ كازور ص 336
  2. ↑ على سبيل المثال، يذكر رودين (ص 60) الصيغة المعاكسة فقط دون تسميتها. ويسميها برابينيك (ص 156) اختبار الحد النوني . ويسميها ستيوارت (ص 709) اختبار التباعد . ويسميها سبيفاك (ص 473) شرط التلاشي .
  3. ↑ رودين ص 60
  4. ^ برابينيك ص 156؛ ستيوارت ص 709
  5. ↑ يستخدم رودين (ص 59-60) فكرة البرهان هذه، بدءًا من بيان مختلف لمعيار كوشي.
  6. ↑ هانسن ص 55؛ شوهوبي ص 375

مراجع

  • برابينيك، روبرت (2005). موارد لدراسة التحليل الحقيقي . جمعية التحليل الأمريكية. رقم ISBN 0883857375.
  • هانسن، فاجن لوندسجارد (2006). التحليل الوظيفي: دخول فضاء هيلبرت . العلمية العالمية. رقم ISBN 9812565639.
  • كاتشور، ويسوافا، وماريا نوفاك (2003). مسائل في التحليل الرياضي . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 0821820508.
  • رودين، والتر (1976) [1953]. مبادئ التحليل الرياضي (  الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. ISBN 0-07-054235-X.
  • سبيفاك، مايكل (2008). حساب التفاضل والتكامل (  الطبعة الرابعة). هيوستن، تكساس: دار النشر Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-91-1.
  • ستيوارت، جيمس (1999). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة (  الطبعة الرابعة). بروكس/كول. ISBN 0-534-36298-2.
  • شوهوبي، أردوغان س. (2003). التحليل الوظيفي . سبرينغر. ISBN 1402016166.