تكامل متعدد

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال معكوس الجنرال لايبنتز صيغة فا دي برونو رينولدز
أساسي قوائم التكاملات تحويل تكاملي قاعدة تكامل لايبنتز التعاريف مشتق مضاد تكامل  ( غير صحيح ) تكامل ريمان تكامل ليبيج تكامل الكنتور تكامل الدوال العكسية التكامل بواسطة أجزاء الأقراص قواقع اسطوانية التعويض  ( مثلثي ، نصف زاوية مماسية ، أويلر ) صيغة أويلر الكسور الجزئية ( طريقة هيفسايد ) تغيير الترتيب صيغ التخفيض التفاضل تحت علامة التكامل خوارزمية ريش
مسلسل هندسي  ( حسابي هندسي ) متناسق متناوب قوة ثنائي الحدين تايلور اختبارات التقارب حد المجموع (اختبار المصطلح) نسبة جذر أساسي مقارنة مباشرة مقارنة الحدود سلسلة متناوبة تكاثف كوشي ديريتشليت هابيل
متجه التدرج التباعد حليقة لابلاسيان المشتق الاتجاهي الهويات نظريات التدرج جرينز ستوكس التباعد ستوكس المعمم تحلل هلمهولتز
متعدد المتغيرات الشكليات المصفوفة الموتر الخارج هندسي التعاريف المشتقة الجزئية تكامل متعدد تكامل خطي التكامل السطحي حجم التكامل جاكوبيان هيسيان
متقدم حساب التفاضل والتكامل في الفضاء الإقليدي الوظائف المعممة حدود التوزيعات
متخصص كسري ماليافين عشوائي الاختلافات
منوعات ما قبل حساب التفاضل والتكامل تاريخ المصطلحات قائمة المواضيع نحلة التكامل التحليل الرياضي تحليل غير قياسي
ف ت هـ

في الرياضيات (خاصة حساب متعدد المتغيرات )، التكامل المتعدد هو تكامل محدد لدالة مكونة من عدة متغيرات حقيقية ، على سبيل المثال، f ( x , y ) أو f ( x , y , z ) .

تسمى تكاملات دالة ذات متغيرين على منطقة في ( مستوى الأعداد الحقيقية ) تكاملات مزدوجة ، وتسمى تكاملات دالة ذات ثلاثة متغيرات على منطقة في (فضاء ثلاثي الأبعاد للأعداد الحقيقية) تكاملات ثلاثية . ^[1] بالنسبة للتفاضل العكسي المتكرر لدالة ذات متغير واحد، راجع صيغة كوشي للتكامل المتكرر . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

تمامًا كما يمثل التكامل المحدد لدالة موجبة لمتغير واحد مساحة المنطقة بين رسم الدالة ومحور x ، فإن التكامل المزدوج لدالة موجبة لمتغيرين يمثل حجم المنطقة بين السطح الذي تحدده الدالة (على المستوى الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث z = f ( x ، y ) ) والمستوى الذي يحتوي على مجالها . [ ^1] إذا كان هناك المزيد من المتغيرات، فإن التكامل المتعدد سيعطي أحجامًا فائقة للوظائف متعددة الأبعاد.

التكامل المتعدد لدالة في n متغير: f ( x ₁ ، x ₂ ، ...، x _n ) على المجال D يتم تمثيله عادة بعلامات تكامل متداخلة بالترتيب العكسي للتنفيذ (يتم حساب علامة التكامل في أقصى اليسار أخيرًا)، تليها الدالة وحجج التكامل بالترتيب الصحيح (يتم حساب التكامل بالنسبة إلى الحجة في أقصى اليمين أخيرًا). يتم تمثيل مجال التكامل إما رمزيًا لكل حجة على كل علامة تكامل، أو يتم اختصاره بمتغير عند علامة التكامل في أقصى اليمين: ^[2]

${\displaystyle \int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$

نظرًا لأن مفهوم المشتق العكسي يتم تعريفه فقط لوظائف متغير حقيقي واحد، فإن التعريف المعتاد للتكامل غير المحدد لا يمتد مباشرة إلى التكامل المتعدد.

بالنسبة لـ n > 1 ، ضع في اعتبارك ما يسمى بالمجال المستطيلي نصف المفتوح T متعدد الأبعاد ، والذي يتم تعريفه على أنه

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$.

قم بتقسيم كل فترة [ a _j , b _j ] إلى عائلة محدودة I _j من الفترات الفرعية غير المتداخلة i _{j α} ، مع إغلاق كل فترة فرعية عند الطرف الأيسر وفتحها عند الطرف الأيمن.

ثم يتم إعطاء العائلة المحدودة من المستطيلات الفرعية C بواسطة

${\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

هو قسم من T ؛ أي أن المستطيلات الفرعية C _k غير متداخلة واتحادها هو T.

ليكن f  : T → R دالة معرفة على T. افترض وجود قسم C لـ T كما هو محدد أعلاه، بحيث يكون C عبارة عن عائلة من المستطيلات الفرعية m C _m و

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}$

يمكننا تقريب الحجم الكلي ( n + 1) الأبعاد المحدود من الأسفل بالمستطيل الفائق T ذي الأبعاد n وأعلى بالرسم البياني ذي الأبعاد n لـ f باستخدام مجموع ريمان التالي :

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

حيث P _k هي نقطة في C _k و m( C _k ) هو حاصل ضرب أطوال الفترات التي يكون حاصل ضربها الديكارتي هو C _k ، والمعروف أيضًا باسم مقياس C _k .

قطر المستطيل الفرعي C _k هو أكبر أطوال الفترات التي يكون حاصل ضربها الديكارتي هو C _k . يتم تعريف قطر قسم معين من T على أنه أكبر أقطار المستطيلات الفرعية في القسم. بديهيًا، مع تقييد قطر القسم C بشكل أصغر وأصغر، يزداد عدد المستطيلات الفرعية m ، ويقل القياس m( C _k ) لكل مستطيل فرعي. يقال إن الدالة f قابلة للتكامل الريماني إذا كان الحد

${\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

يوجد، حيث يتم تطبيق الحد على جميع الأقسام الممكنة لـ T بقطر لا يزيد عن δ . ^[3]

إذا كانت f قابلة للتكامل الريماني، فإن S تسمى تكامل ريمان لـ f على T ويرمز لها

${\displaystyle \int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}}$.

في كثير من الأحيان يتم اختصار هذا الترميز على النحو التالي

${\displaystyle \int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} }$.

حيث يمثل x مجموعة n -tuple ( x ₁ ، ...، x _n ) و d ⁿ x هو التفاضل الحجمي ذو الأبعاد n .

يمكن تعريف تكامل ريمان لدالة معرفة على مجموعة محدودة عشوائية ذات أبعاد n عن طريق توسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح تكون قيمه صفرًا خارج مجال الدالة الأصلية. عندئذٍ يتم تعريف تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي ليكون تكامل الدالة الممتدة على مجالها المستطيلي، إذا كانت موجودة.

فيما يلي سيتم تسمية تكامل ريمان في n بُعد بالتكامل المتعدد .

تتمتع التكاملات المتعددة بالعديد من الخصائص المشتركة مع تكاملات الدوال ذات المتغير الواحد (الخطية، والتبديل، والرتابة، وما إلى ذلك). إحدى الخصائص المهمة للتكاملات المتعددة هي أن قيمة التكامل مستقلة عن ترتيب المتكاملات في ظل ظروف معينة. تُعرف هذه الخاصية شعبياً باسم نظرية فوبيني . ^[4]

في حالة ، التكامل ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

هو التكامل المزدوج لـ f على T ، وإذا كان التكامل ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

هو التكامل الثلاثي لـ f على T .

لاحظ أنه، حسب الاتفاقية، فإن التكامل المزدوج له علامتان تكامليتان، والتكامل الثلاثي له ثلاث علامات؛ وهذا هو اتفاقية تدوينية مناسبة عند حساب تكامل متعدد كتكامل متكرر، كما هو موضح لاحقًا في هذه المقالة.

يتكون حل المشكلات ذات التكاملات المتعددة، في معظم الحالات، من إيجاد طريقة لتقليص التكامل المتعدد إلى تكامل متكرر ، وهو عبارة عن سلسلة من التكاملات ذات متغير واحد، كل منها قابل للحل مباشرة. بالنسبة للوظائف المستمرة، يتم تبرير ذلك من خلال نظرية فوبيني . في بعض الأحيان، من الممكن الحصول على نتيجة التكامل عن طريق الفحص المباشر دون أي حسابات.

وفيما يلي بعض الطرق البسيطة للتكامل: ^[1]

عندما يكون المتكامل دالة ثابتة c ، فإن التكامل يساوي حاصل ضرب c وقياس مجال التكامل. إذا كانت c = 1 وكان المجال منطقة فرعية من R ² ، فإن التكامل يعطي مساحة المنطقة، بينما إذا كان المجال منطقة فرعية من R ³ ، فإن التكامل يعطي حجم المنطقة.

مثال. دع f ( x , y ) = 2 و

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}$,

في هذه الحالة

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12}$,

نظرًا لأنه حسب التعريف لدينا:

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)}$.

عندما يكون مجال التكامل متماثلًا حول الأصل بالنسبة إلى متغير واحد على الأقل من متغيرات التكامل ويكون المتكامل فرديًا بالنسبة لهذا المتغير، يكون التكامل مساويًا للصفر، حيث أن التكاملات على نصفي المجال لها نفس القيمة المطلقة ولكن بإشارات متعاكسة. عندما يكون المتكامل زوجيًا بالنسبة لهذا المتغير، يكون التكامل مساويًا لضعف التكامل على نصف المجال، حيث أن التكاملات على نصفي المجال متساوية.

المثال 1. ضع في اعتبارك الدالة f ( x , y ) = 2 sin ( x ) − 3 y ³ + 5 المتكاملة على المجال

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$,

قرص بنصف قطر  1 ويقع في مركز الأصل ويتضمن الحدود.

باستخدام خاصية الخطية، يمكن تحليل التكامل إلى ثلاثة أجزاء:

${\displaystyle \iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy}$.

الدالة 2 sin( x ) هي دالة فردية في المتغير x والقرص T متماثل بالنسبة لمحور y ، لذا فإن قيمة التكامل الأول هي 0. وبالمثل، فإن الدالة 3 y ³ هي دالة فردية لـ y ، و T متماثلة بالنسبة لمحور x ، وبالتالي فإن المساهمة الوحيدة في النتيجة النهائية هي مساهمة التكامل الثالث. وبالتالي فإن التكامل الأصلي يساوي مساحة القرص مضروبة في 5، أو 5 π .

المثال 2. ضع في اعتبارك الدالة f ( x ، y ، z ) = x exp( y ² + z ² ) وكمنطقة تكامل الكرة التي يبلغ نصف قطرها 2 ومركزها الأصل،

${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}}$.

إن "الكرة" متماثلة حول المحاور الثلاثة، ولكن يكفي التكامل بالنسبة لمحور x لإظهار أن التكامل يساوي 0، لأن الدالة هي دالة فردية لهذا المتغير.

تنطبق هذه الطريقة على أي مجال D حيث:

• يقتصر إسقاط D على المحور x أو المحور y على القيمتين a و b
• أي خط عمودي على هذا المحور يمر بين هاتين القيمتين يتقاطع مع المجال في فترة يتم تحديد نقاط نهايتها بواسطة الرسوم البيانية لدالتين، α و β

سيُطلق على هذا المجال هنا اسم المجال الطبيعي . وفي أماكن أخرى من الأدبيات، يُطلق على المجالات الطبيعية أحيانًا اسم مجالات النوع الأول أو النوع الثاني، اعتمادًا على المحور الذي يتم تمرير المجال عبره. في جميع الحالات، يجب أن تكون الدالة المراد تكاملها قابلة للتكامل الريماني على المجال، وهو أمر صحيح (على سبيل المثال) إذا كانت الدالة مستمرة.

إذا كان المجال D عموديًا بالنسبة لمحور x ، وكانت f  : D → R دالة متصلة ؛ فإن α ( x ) و β ( x ) (كلاهما مُعرَّف على الفاصل [ a , b ] ) هما الدالتان اللتان تحددان D. إذن، وفقًا لنظرية فوبيني: ^[5]

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy}$.

إذا كانت D عمودية بالنسبة للمحور y وكانت f  : D → R دالة متصلة؛ فإن α ( y ) و β ( y ) (كلاهما محدد على الفاصلة [ a , b ] ) هما الدالتان اللتان تحددان D. مرة أخرى، وفقًا لنظرية فوبيني:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx}$.

إذا كان T مجالًا عموديًا بالنسبة إلى المستوى xy ومحددًا بالدالتين α ( x , y ) و β ( x , y ) ، إذن

${\displaystyle \iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy}$.

هذا التعريف هو نفسه بالنسبة لحالات الحالة الطبيعية الخمس الأخرى على R ³ . ويمكن تعميمه بطريقة مباشرة على المجالات في R ⁿ .

غالبًا ما لا يمكن تبديل حدود التكامل بسهولة (بدون وجود معادلة طبيعية أو باستخدام صيغ معقدة للتكامل). يُجرى تغيير المتغيرات لإعادة كتابة التكامل في منطقة "أكثر راحة"، والتي يمكن وصفها بصيغ أبسط. للقيام بذلك، يجب تكييف الدالة مع الإحداثيات الجديدة.

المثال 1أ. الدالة هي f ( x , y ) = ( x − 1) ² + √ y ؛ إذا اعتمدنا التعويض u = x − 1 ، v = y وبالتالي x = u + 1 ، y = v نحصل على الدالة الجديدة f ₂ ( u , v ) = ( u ) ² + √ v .

• وبالمثل بالنسبة للمجال لأنه محدد بالمتغيرات الأصلية التي تم تحويلها من قبل ( x و y في المثال)
• يتم تحويل التفاضلات dx و dy عبر القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة جاكوبيان التي تحتوي على المشتقات الجزئية للتحويلات المتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية)

هناك ثلاثة "أنواع" رئيسية من تغييرات المتغير (واحد في R ² ، واثنان في R ³ )؛ ومع ذلك، يمكن إجراء استبدالات أكثر عمومية باستخدام نفس المبدأ.

في R ^2، إذا كان المجال له تماثل دائري وكانت الوظيفة لها بعض الخصائص الخاصة، فيمكن تطبيق التحويل على الإحداثيات القطبية (انظر المثال في الصورة) مما يعني أن النقاط العامة P ( x ، y ) في الإحداثيات الديكارتية تتحول إلى نقاطها المقابلة في الإحداثيات القطبية. يسمح ذلك بتغيير شكل المجال وتبسيط العمليات.

العلاقة الأساسية لإجراء التحول هي التالية:

${\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )}$.

المثال 2أ. الدالة هي f ( x , y ) = x + y وبتطبيق التحويل نحصل على

${\displaystyle f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )}$.

المثال 2ب. الدالة هي f ( x , y ) = x ² + y ² ، وفي هذه الحالة يكون لدينا:

${\displaystyle f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}}$

باستخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية (قد يكون من المفيد تبسيط هذه العملية).

يتم إجراء تحويل المجال عن طريق تحديد طول تاج نصف القطر وسعة الزاوية الموصوفة لتحديد فترات ρ و φ بدءًا من x و y .

المثال 2ج. المجال هو D = { x ² + y ² ≤ 4} ، أي محيط نصف قطره 2؛ ومن الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية الدائرة، لذا فإن φ يختلف من 0 إلى 2 π ، بينما يختلف نصف قطر التاج من 0 إلى 2 (التاج الذي نصف قطره الداخلي صفر هو مجرد دائرة).

المثال 2د. المجال هو D = { x ² + y ² ≤ 9، x ² + y ² ≥ 4، y ≥ 0} ، أي التاج الدائري في نصف المستوى الموجب y (يرجى الاطلاع على الصورة في المثال)؛ يصف φ زاوية مستوية بينما يختلف ρ من 2 إلى 3. وبالتالي، سيكون المجال المحول هو المستطيل التالي :

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}}$.

المحدد اليعقوبي لهذا التحول هو التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho }$,

والتي تم الحصول عليها عن طريق إدخال المشتقات الجزئية لـ x = ρ cos( φ ) و y = ρ sin( φ ) في العمود الأول بالنسبة إلى ρ وفي العمود الثاني بالنسبة إلى φ ، وبالتالي تصبح مشتقات dx dy في هذا التحويل ρ dρ dφ .

بمجرد تحويل الدالة وتقييم المجال، من الممكن تحديد صيغة تغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi }$.

φ صالح في الفاصل الزمني [0, 2π] بينما ρ ، وهو مقياس للطول، لا يمكن أن يكون له إلا قيم موجبة.

المثال 2e. الدالة هي f ( x , y ) = x والمجال هو نفسه كما في المثال 2d. من التحليل السابق لـ D، نعرف فترات ρ (من 2 إلى 3) و φ (من 0 إلى π ). الآن نغير الدالة:

${\displaystyle f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi }$.

وأخيرًا دعونا نطبق صيغة التكامل:

${\displaystyle \iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi }$.

بمجرد معرفة الفواصل الزمنية، لديك

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0}$.

في R ³ يمكن إجراء التكامل على المجالات ذات القاعدة الدائرية بالانتقال إلى إحداثيات أسطوانية ؛ ويتم تحويل الدالة بالعلاقة التالية:

${\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)}$

يمكن تحقيق تحويل المجال بيانياً، لأن شكل القاعدة فقط هو الذي يتغير، بينما يتبع الارتفاع شكل منطقة البداية.

المثال 3أ. المنطقة هي D = { x ² + y ² ≤ 9، x ² + y ² ≥ 4، 0 ≤ z ≤ 5} (أي "الأنبوب" الذي قاعدته هي التاج الدائري للمثال 2د وارتفاعه 5)؛ إذا تم تطبيق التحويل، يتم الحصول على هذه المنطقة:

${\displaystyle T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}}$

(أي متوازي السطوح الذي تكون قاعدته مماثلة للمستطيل في المثال 2د وارتفاعه 5).

نظرًا لأن مكون z غير متغير أثناء التحويل، فإن تفاضلات dx dy dz تتغير كما هو الحال في المرور إلى الإحداثيات القطبية: وبالتالي، تصبح ρ dρ dφ dz .

وأخيرًا، من الممكن تطبيق الصيغة النهائية على الإحداثيات الأسطوانية:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$.

تعتبر هذه الطريقة ملائمة في حالة المجالات الأسطوانية أو المخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها تحديد الفاصل الزمني z وحتى تحويل القاعدة الدائرية والدالة.

المثال 3ب. الدالة هي f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z وكمجال تكامل هذه الأسطوانة : D = { x ² + y ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . تحويل D في الإحداثيات الأسطوانية هو التالي:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}}$.

بينما تصبح الوظيفة

${\displaystyle f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z}$.

وأخيرًا يمكننا تطبيق صيغة التكامل:

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$؛

تطوير الصيغة التي لديك

${\displaystyle \int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi }$.

في R ^3، تتمتع بعض المجالات بتناظر كروي، لذا من الممكن تحديد إحداثيات كل نقطة في منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة. ومن الممكن استخدام إذن الممر إلى الإحداثيات الكروية ؛ حيث يتم تحويل الدالة بهذه العلاقة:

${\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )}$.

لا تحتوي النقاط الموجودة على المحور z على توصيف دقيق في الإحداثيات الكروية، لذا يمكن أن يتراوح θ بين 0 و2 π .

مجال التكامل الأفضل لهذا المقطع هو المجال.

المثال 4أ. المجال هو D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (كرة بنصف قطر 4 ومركزها عند الأصل)؛ بتطبيق التحويل تحصل على المنطقة

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}$.

المحدد اليعقوبي لهذا التحويل هو التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi }$.

وبالتالي يتم تحويل التفاضلات dx dy dz إلى ρ ² sin( φ ) dρ dθ dφ .

وهذا يؤدي إلى صيغة التكامل النهائية:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$.

من الأفضل استخدام هذه الطريقة في حالة المجالات الكروية وفي حالة الوظائف التي يمكن تبسيطها بسهولة من خلال العلاقة الأساسية الأولى في علم المثلثات الممتدة إلى R ³ (انظر المثال 4ب)؛ وفي حالات أخرى قد يكون من الأفضل استخدام إحداثيات أسطوانية (انظر المثال 4ج).

${\displaystyle \iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$.

تأتي القيم الإضافية ρ ² و sin φ من Jacobian.

في الأمثلة التالية تم عكس أدوار φ و θ .

المثال 4ب. D هي نفس المنطقة كما في المثال 4أ و f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ² هي الدالة المراد تكاملها. تحويلها سهل للغاية:

${\displaystyle f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}}$,

في حين أننا نعرف فترات المنطقة المحولة T من D :

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}}$.

لذلك نطبق صيغة التكامل:

${\displaystyle \iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$,

وبالتطور، نحصل على

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}}$.

المثال 4ج. المجال D هو الكرة التي مركزها الأصل ونصف قطرها 3 أ ،

${\displaystyle D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}}$,

و f ( x , y , z ) = x ² + y ² هي الدالة للتكامل.

عند النظر إلى المجال، يبدو من المناسب اعتماد المقطع إلى الإحداثيات الكروية، في الواقع، فترات المتغيرات التي تحدد منطقة T الجديدة هي:

${\displaystyle T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}}$.

ومع ذلك، بتطبيق التحويل، نحصل على

${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta }$.

بتطبيق صيغة التكامل نحصل على:

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi }$,

والتي يمكن حلها عن طريق تحويلها إلى تكامل متكرر . ${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}}$

${\displaystyle I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}}$,

${\displaystyle II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}}$,

${\displaystyle III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi }$.

جمع كل الأجزاء،

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}}$.

بدلاً من ذلك، يمكن حل هذه المشكلة باستخدام المقطع إلى إحداثيات أسطوانية. فترات T الجديدة هي

${\displaystyle T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}}$؛

تم الحصول على الفاصلة z عن طريق تقسيم الكرة إلى نصفين من خلال حل المتباينة من صيغة D (ثم تحويل x ² + y ² مباشرة إلى ρ ² ). الدالة الجديدة هي ببساطة ρ ² . بتطبيق صيغة التكامل

${\displaystyle \iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz}$.

ثم نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}}$

بفضل الانتقال إلى الإحداثيات الأسطوانية، أصبح من الممكن تقليل التكامل الثلاثي إلى تكامل أسهل بمتغير واحد.

انظر أيضًا مدخل الحجم التفاضلي في nabla في الإحداثيات الأسطوانية والكروية .

لنفترض أننا نرغب في دمج دالة متعددة المتغيرات f على منطقة A :

${\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}$.

ومن هنا نقوم بصياغة التكامل المتكرر

${\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$.

يتم إجراء التكامل الداخلي أولاً، مع التكامل بالنسبة إلى x مع أخذ y ثابتًا، لأنه ليس متغير التكامل . ثم يتم تكامل نتيجة هذا التكامل، وهو دالة تعتمد فقط على y ، بالنسبة إلى y .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}$

ثم نقوم بدمج النتيجة بالنسبة إلى y .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}$

في الحالات التي يكون فيها التكامل المزدوج للقيمة المطلقة للدالة منتهيًا، يكون ترتيب التكامل قابلاً للتبادل، أي أن التكامل بالنسبة إلى x أولاً والتكامل بالنسبة إلى y أولاً ينتجان نفس النتيجة. هذه هي نظرية فوبيني . على سبيل المثال، إجراء الحساب السابق مع عكس الترتيب يعطي نفس النتيجة:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}}$

خذ المنطقة في الاعتبار (يرجى الاطلاع على الرسم البياني في المثال):

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}}$.

احسب

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy}$.

هذا المجال طبيعي بالنسبة لكل من المحورين x و y . لتطبيق الصيغ، يلزم إيجاد الدوال التي تحدد D والفترات التي يتم خلالها تعريف هذه الدوال. في هذه الحالة، تكون الدالتان هما:

${\displaystyle \alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1}$

في حين يتم تحديد الفاصل الزمني من خلال تقاطعات الدوال مع x  = 0، فإن الفاصل الزمني هو [ a ،  b ] = [0، 1] (تم اختيار الطبيعية فيما يتعلق بالمحور x للحصول على فهم بصري أفضل).

الآن أصبح من الممكن تطبيق الصيغة:

${\displaystyle \iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}}$

(في البداية يتم حساب التكامل الثاني مع اعتبار x ثابتًا). تتكون العمليات المتبقية من تطبيق التقنيات الأساسية للتكامل:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}}$.

إذا اخترنا الوضع الطبيعي بالنسبة للمحور y ، فيمكننا حساب

${\displaystyle \int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx}$.

والحصول على نفس القيمة.

باستخدام الطرق الموصوفة سابقًا، من الممكن حساب أحجام بعض المواد الصلبة الشائعة.

• الأسطوانة : يمكن حساب حجم الأسطوانة التي يبلغ ارتفاعها h وقاعدتها الدائرية نصف قطرها R عن طريق تكامل الدالة الثابتة h على القاعدة الدائرية، باستخدام الإحداثيات القطبية.

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

وهذا يتفق مع صيغة حجم المنشور

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}}$.

• الكرة : يمكن حساب حجم الكرة التي يبلغ نصف قطرها R عن طريق تكامل الدالة الثابتة 1 على الكرة، باستخدام إحداثيات كروية.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}}$

• رباعي السطوح ( الهرم الثلاثي أو ثلاثي السطوح البسيط ): يمكن حساب حجم رباعي السطوح مع قمته عند نقطة الأصل وحواف بطول ℓ على طول المحاور x و y و z عن طريق تكامل الدالة الثابتة 1 على رباعي السطوح.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

وهذا يتفق مع صيغة حجم الهرم .

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}}$.

في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، يتعين علينا إدخال التكامل غير السليم المزدوج أو التكامل غير السليم الثلاثي .

تنص نظرية فوبيني على أنه إذا ^[4]

${\displaystyle \iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty }$,

وهذا يعني أنه إذا كان التكامل متقاربًا بشكل مطلق، فإن التكامل المتعدد سيعطي نفس النتيجة مثل أي من التكاملين المتكررين:

${\displaystyle \iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$.

سيحدث هذا على وجه الخصوص إذا كانت | f ( x , y ) | دالة محدودة و A و B مجموعات محدودة .

إذا لم يكن التكامل متقاربًا بشكل مطلق، فيجب توخي الحذر حتى لا نخلط بين مفهومي التكامل المتعدد والتكامل المتكرر ، خاصة وأن نفس الترميز يُستخدم غالبًا لأي من المفهومين. الترميز

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx}$

يعني في بعض الحالات تكاملاً متكررًا وليس تكاملاً مزدوجًا حقيقيًا. في التكامل المتكرر، يكون التكامل الخارجي

${\displaystyle \int _{0}^{1}\cdots \,dx}$

هو التكامل بالنسبة إلى x للدالة التالية لـ x :

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy}$.

من ناحية أخرى، يتم تعريف التكامل المزدوج فيما يتعلق بالمساحة في المستوى xy . إذا كان التكامل المزدوج موجودًا، فإنه يساوي كلًا من التكاملين المتكررين (إما " dy dx " أو " dx dy ") وغالبًا ما يتم حسابه عن طريق حساب أي من التكاملين المتكررين. ولكن في بعض الأحيان يوجد التكاملان المتكرران عندما لا يوجد التكامل المزدوج، وفي بعض هذه الحالات يكون التكاملان المتكرران أرقامًا مختلفة، أي أن أحدهما لديه

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy}$.

هذا مثال على إعادة ترتيب التكامل المتقارب الشرطي .

من ناحية أخرى، تضمن بعض الشروط أن التكاملين التكراريين متساويان حتى لو لم يكن التكامل المزدوج موجودًا بالضرورة. وفقًا لنظرية فيشتنهولز - ليشتنشتاين ، إذا كانت f محدودة بـ [0، 1] × [0، 1] وكان كلا التكاملين التكراريين موجودين، فإنهما متساويان. علاوة على ذلك، فإن وجود التكاملات الداخلية يضمن وجود التكاملات الخارجية. ^{[6] [7] [8]} لا يلزم وجود التكامل المزدوج في هذه الحالة حتى مع تكامل ليبيج ، وفقًا لسيربينسكي . ^[9]

التدوين

${\displaystyle \int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy}$

يمكن استخدامه إذا كان الشخص يرغب في التأكيد على قصد التكامل المزدوج بدلاً من التكامل المتكرر.

تم إثبات التكامل الثلاثي بواسطة نظرية فوبيني. ^[10] نظرية دريشليت ونظرية تمديد ليوفيل على التكامل الثلاثي.

بشكل عام، كما هو الحال في متغير واحد، يمكن للمرء استخدام التكامل المتعدد لإيجاد متوسط ​​دالة على مجموعة معينة. إذا كانت المجموعة D ⊆ R ⁿ ودالة قابلة للتكامل f على D ، فإن القيمة المتوسطة لـ f على مجالها تُعطى بواسطة

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx}$,

حيث m ( D ) هو مقياس D . ​

بالإضافة إلى ذلك، تُستخدم التكاملات المتعددة في العديد من التطبيقات في الفيزياء . كما تُظهر الأمثلة أدناه بعض الاختلافات في التدوين.

في الميكانيكا ، يتم حساب عزم القصور الذاتي على أنه التكامل الحجمي (التكامل الثلاثي) للكثافة الموزونة مع مربع المسافة من المحور:

${\displaystyle I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV}$.

إن الإمكانات الجاذبية المرتبطة بتوزيع الكتلة المعطى بواسطة مقياس الكتلة dm على الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد R ³ هي ^[11]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )}$.

إذا كانت هناك دالة متصلة ρ ( x ) تمثل كثافة التوزيع عند x ، بحيث dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x ، حيث d ³ x هو عنصر الحجم الإقليدي ، فإن الجهد الجاذبي هو

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y} }$.

في الكهرومغناطيسية ، يمكن كتابة معادلات ماكسويل باستخدام تكاملات متعددة لحساب إجمالي المجالات المغناطيسية والكهربائية. ^[12] في المثال التالي، يتم الحصول على المجال الكهربائي الناتج عن توزيع الشحنات المعطى بواسطة كثافة الشحنة الحجمية ρ ( r → ) من خلال التكامل الثلاثي لدالة متجهة:

${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'}$.

يمكن أيضًا كتابة هذا على هيئة تكامل بالنسبة إلى مقياس موقّع يمثل توزيع الشحنة.

• نظريات التحليل الرئيسية التي تتعلق بالتكاملات المتعددة:
  • نظرية التباعد
  • نظرية ستوكس
  • نظرية جرين

• آدامز، روبرت أ. (2003). حساب التفاضل والتكامل: دورة كاملة (الطبعة الخامسة). أديسون ويسلي. رقم ISBN 0-201-79131-5.
• جاين، آر كيه؛ أيينجار، إس آر كيه (2009). الرياضيات الهندسية المتقدمة (الطبعة الثالثة). دار ناروسا للنشر. رقم ISBN 978-81-7319-730-7.
• هيرمان، إدوين "جيد" وسترانج، جيلبرت (2016): حساب التفاضل والتكامل: المجلد 3  : أوبن ستاكس، جامعة رايس، هيوستن، تكساس، الولايات المتحدة الأمريكية. رقم ISBN 978-1-50669-805-2 . (PDF) 

• وايسشتاين، إريك دبليو. "التكامل المتعدد". MathWorld .
• LD Kudryavtsev (2001) [1994]، "التكامل المتعدد"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press
• مساعد رياضيات على الويب لتقييم التكاملات المزدوجة في الإحداثيات الديكارتية والإحداثيات القطبية (يتضمن خطوات وسيطة في الحل، مدعوم بواسطة Maxima (برنامج) )
• حاسبة التكامل المزدوج عبر الإنترنت من WolframAlpha
• حاسبة التكامل الثلاثي عبر الإنترنت من WolframAlpha