نظرية ستوكس المعممة

في حساب المتجهات والهندسة التفاضلية ، تُعرف نظرية ستوكس المعممة (وتُكتب أحيانًا بعلامة اقتباس مفردة كـ Stokes's orem أو Stokes's orem )، وتُسمى أيضًا نظرية ستوكس-كارتان ، ^{[ 1 ]} بأنها بيانٌ حول تكامل الأشكال التفاضلية على المشعبات ، وهي تُبسط وتُعمم العديد من نظريات حساب المتجهات . وعلى وجه الخصوص، تُعد النظرية الأساسية في حساب المتجهات حالةً خاصةً عندما يكون المشعب قطعةً مستقيمة ، بينما تُعد نظرية غرين ونظرية ستوكس حالتين لسطحٍ في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$أو​${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، ونظرية التباعد هي حالة حجم في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$لذا ، يُشار إلى هذه النظرية أحيانًا باسم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات . ^{[ 2 ]}

تنص نظرية ستوكس على أن تكامل شكل تفاضلي${\displaystyle \omega }$عبر الحدود${\displaystyle \partial \Omega }$من مشعب قابل للتوجيه$أوميغا$يساوي تكامل مشتقته الخارجية${\displaystyle d\omega }$على امتداد كامل$أوميغا$أي​ $${\displaystyle \int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathop {} \!d\omega \,.}$$

تمت صياغة نظرية ستوكس في شكلها الحديث بواسطة إيلي كارتان في عام 1945، ^{[ 3 ]} وذلك بعد أعمال سابقة حول تعميم نظريات حساب المتجهات بواسطة فيتو فولتيرا وإدوارد غورسات وهنري بوانكاريه . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

يُعدّ هذا الشكل الحديث لنظرية ستوكس تعميمًا واسعًا لنتيجة كلاسيكية أبلغها اللورد كلفن إلى جورج ستوكس في رسالة مؤرخة في 2 يوليو 1850. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} وقد طرح ستوكس النظرية كسؤال في امتحان جائزة سميث عام 1854 ، مما أدى إلى النتيجة التي تحمل اسمه. ونُشرت لأول مرة بواسطة هيرمان هانكل عام 1861. ^{[ 8 ] [ 9 ]} وتتعلق هذه الحالة الكلاسيكية بالتكامل السطحي لدوران حقل متجهي .${\displaystyle {\textbf {F}}}$على سطح (أي تدفق ⁠${\displaystyle {\text{curl}}\,{\textbf {F}}}$) في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد إلى التكامل الخطي لحقل المتجهات على حدود السطح.

تنص النظرية الأساسية الثانية في حساب التفاضل والتكامل على أن تكامل دالة${\displaystyle f}$خلال الفترة${\displaystyle [a,b]}$يمكن حسابها عن طريق إيجاد دالة أصلية${\displaystyle F}$من​${\displaystyle f}$⁠ : $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$$

تُعتبر نظرية ستوكس تعميماً واسعاً لهذه النظرية بالمعنى التالي.

• باختيار ⁠${\displaystyle F}$،​​${\displaystyle \textstyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)}$في لغة الأشكال التفاضلية ، هذا يعني أن${\displaystyle f(x)\,dx}$هي المشتقة الخارجية للصيغة الصفرية، أي الدالة ،${\displaystyle F}$بمعنى آخر ، ذلك${\displaystyle dF=f\,dx}$تنطبق نظرية ستوكس العامة على الأشكال التفاضلية ذات الدرجات الأعلى${\displaystyle \omega }$بدلاً من مجرد أشكال تبدأ بصفر مثل ⁠${\displaystyle F}$⁠ .
• فترة مغلقة${\displaystyle [a,b]}$يُعد مثالًا بسيطًا على متعدد شعب أحادي البعد ذي حدود . وحدوده هي المجموعة المكونة من النقطتين${\displaystyle a}$و​${\displaystyle b}$. دمج${\displaystyle f}$يمكن تعميم التكامل على الفترة الزمنية المحددة ليشمل صيغ التكامل على مشعب ذي أبعاد أعلى. ويتطلب ذلك شرطين تقنيين: أن يكون المشعب قابلاً للتوجيه ، وأن تكون الصيغة ذات دعم مضغوط للحصول على تكامل مُعرَّف جيدًا.
• النقطتان${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تشكل حدود الفترة المغلقة. وبشكل أعم، تنطبق نظرية ستوكس على المشعبات الموجهة.${\displaystyle M}$مع الحدود. الحدود${\displaystyle \partial M}$ل${\displaystyle M}$هو نفسه متعدد الأوجه ويرث توجهاً طبيعياً من توجه ⁠${\displaystyle M}$على سبيل المثال، يُعطي التوجيه الطبيعي للفترة توجيهًا لنقطتي الحدود. وبشكل بديهي ،${\displaystyle a}$يرث الاتجاه المعاكس كما${\displaystyle b}$لأنهما يقعان على طرفي الفترة. لذا، فإن "التكامل "${\displaystyle F}$على نقطتين حدوديتين${\displaystyle a}$،​${\displaystyle b}$هو أخذ الفرق${\displaystyle F(b)-F(a)}$⁠ .

بصورة أبسط، يمكن اعتبار النقاط حدودًا للمنحنيات، أي حدودًا صفرية الأبعاد لمتشعبات أحادية البعد. لذا، كما يمكن إيجاد قيمة التكامل ( ⁠${\displaystyle f\,dx=dF}$) على مشعب أحادي البعد ( ⁠${\displaystyle [a,b]}$) من خلال النظر في المشتقة العكسية ( ⁠${\displaystyle F}$) عند الحدود ذات البعد الصفري ( ⁠${\displaystyle \{a,b\}}$) ، يمكن تعميم النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، مع بعض التحفظات الإضافية، للتعامل مع قيمة التكاملات ( ).${\displaystyle d\omega }$) على​${\displaystyle n}$المشعبات ذات الأبعاد ($أوميغا$) من خلال النظر في الدالة الأصلية ( ⁠${\displaystyle \omega }$) في​${\displaystyle (n-1)}$الحدود ذات الأبعاد (${\displaystyle \partial \Omega }$) من المشعب.

إذن، تنص النظرية الأساسية على ما يلي: $${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\partial [a,b]}\,F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$$

يترك$أوميغا$ليكن متعدد شعب أملس موجه ذو بُعد${\displaystyle n}$مع الحدود ودع${\displaystyle \alpha }$كن سلسًا​${\displaystyle n}$- شكل تفاضلي ذودعم مضغوط على$أوميغا$أولاً ، لنفترض أن${\displaystyle \alpha }$يتم دعمها بشكل مضغوط في نطاق مخطط إحداثيات واحد موجه${\displaystyle \{U,\varphi \}}$في هذه الحالة، نُعرّف تكامل${\displaystyle \alpha }$زيادة$أوميغا$مثل $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$$ أي، عن طريق التراجع${\displaystyle \alpha }$إلى​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$⁠ .

وبشكل أعم، فإن تكامل${\displaystyle \alpha }$زيادة$أوميغا$يُعرَّف على النحو التالي: ليكن${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ليكن تجزئة للوحدة مرتبطة بغطاء محدود محليًا${\displaystyle \{U_{i},\varphi _{i}\}}$بالنسبة للمخططات الإحداثية (ذات التوجيه المتسق)، ثم حدد التكامل $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$$ حيث يتم تقييم كل حد في المجموع عن طريق الرجوع إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$كما هو موضح أعلاه. هذه الكمية محددة جيداً؛ أي أنها لا تعتمد على اختيار مخططات الإحداثيات، ولا على تجزئة الوحدة.

تنص نظرية ستوكس المعممة على ما يلي:

هنا${\displaystyle d}$هي المشتقة الخارجية ، والتي تُعرَّف باستخدام بنية المتشعب فقط. يُكتب الجانب الأيمن أحيانًا على النحو التالي:${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$للتأكيد على حقيقة أن ⁠${\displaystyle (n-1)}$-متعدد​${\displaystyle \partial \Omega }$ليس له حدود. ^{[ ملاحظة 1 ]} (هذه الحقيقة هي أيضًا نتيجة لنظرية ستوكس، لأنه بالنسبة لسطح أملس معين ⁠${\displaystyle n}$متعدد الأبعاد​${\displaystyle \Omega }$، تطبيق النظرية مرتين يعطي${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$لأي​${\displaystyle (n-2)}$-form​​${\displaystyle \omega }$، مما يعني أن${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$. ) غالبًا ما يُستخدم الجانب الأيمن من المعادلة لصياغة القوانين التكاملية ؛ ثم يؤدي الجانب الأيسر إلى صياغات تفاضلية مكافئة (انظر أدناه).

تُستخدم هذه النظرية غالبًا في المواقف التي${\displaystyle \Omega }$هو فضاء فرعي موجه مضمن في فضاء أكبر، وغالبًا ما يكون${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$، الذي عليه النموذج${\displaystyle \omega }$تم تعريفها.

ليكن M متعدد شعب أملس . يُعرَّف المُبسط k- المنفرد (الأملس) في M بأنه دالة ملساء من المُبسط القياسي في R ^k إلى M. تُعرَّف المجموعة C _k ( M , Z ) للسلاسل k- المنفردة على M بأنها المجموعة الأبيلية الحرة على مجموعة المُبسطات k-المنفردة في M. تُعرِّف هذه المجموعات ، بالإضافة إلى دالة الحدود ∂ ، مُركب سلسلة . مجموعة التماثل (أو التماثل المشترك) المُقابلة متماثلة مع مجموعة التماثل المنفردة المعتادة H _k ( M , Z ) (أو مجموعة التماثل المشترك المنفردة H ^k ( M , Z ) )، المُعرَّفة باستخدام مُبسطات متصلة بدلاً من مُبسطات ملساء في M.

من ناحية أخرى، تشكل الأشكال التفاضلية، مع المشتق الخارجي d كدالة ربط، مجموعة متسلسلة مشتركة، والتي تحدد مجموعات التماثل دي رام .${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$⁠ .

يمكن تكامل الأشكال التفاضلية من الرتبة k على سطح k -simplex بطريقة طبيعية، عن طريق سحبها إلى R ^k . يسمح التمديد بالخطية بالتكامل على السلاسل. وهذا يُعطي خريطة خطية من فضاء الأشكال من الرتبة k إلى المجموعة k من السلاسل المشتركة المفردة، C ^k ( M , Z ) ، والدوال الخطية على C _k ( M , Z ) . بعبارة أخرى، يُعرّف الشكل ω من الرتبة k دالة .$${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$ على السلاسل من الرتبة k . تنص نظرية ستوكس على أن هذه دالة سلسلة من علم التماثل دي رام إلى علم التماثل المفرد بمعاملات حقيقية؛ المشتق الخارجي، d ، يتصرف مثل ثنائي ∂ على الأشكال. هذا يعطي تشاكلًا من علم التماثل دي رام إلى علم التماثل المفرد. على مستوى الأشكال، هذا يعني:

1. الصيغ المغلقة، أي dω = 0 ، لها تكامل صفري على الحدود ، أي على المشعبات التي يمكن كتابتها على النحو التالي: ∂Σ _c M _c ؛ و
2. الأشكال الدقيقة، أي ω = dσ ، لها تكامل صفري على الدورات ، أي إذا كانت الحدود مجموعها يساوي المجموعة الفارغة: ∂Σ _c M _c = ∅ .

تُبين نظرية دي رام أن هذا التشاكل هو في الواقع تماثل . لذا فإن عكس المعادلتين 1 و2 أعلاه صحيح. بعبارة أخرى، إذا كانت _{ ci } _دورات تولد مجموعة التماثل من الرتبة k ، فإنه لأي أعداد حقيقية مقابلة، { ai } ، توجد صيغة مغلقة، ω ، بحيث $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$ وهذا النموذج فريد من نوعه حتى النماذج الدقيقة.

يمكن استنتاج نظرية ستوكس على المشعبات الملساء من نظرية ستوكس للسلاسل في المشعبات الملساء، والعكس صحيح. ^{[ 10 ]} وبصياغة رسمية، تنص الأخيرة على ما يلي: ^{[ 11 ]}

لتبسيط هذه الحجج الطوبولوجية، يجدر بنا دراسة المبدأ الأساسي من خلال مثالٍ في بُعدين (d = 2) . يمكن فهم الفكرة الأساسية من خلال الرسم البياني على اليسار، الذي يُبين أنه في تبليط مُوجَّه لمتشعب، تُقطع المسارات الداخلية في اتجاهين متعاكسين؛ وبالتالي، تُلغي مساهماتها في تكامل المسار بعضها بعضًا. ونتيجةً لذلك، لا يتبقى سوى المساهمة من الحدود. لذا، يكفي إثبات نظرية ستوكس للتبليطات الدقيقة بما فيه الكفاية (أو، بصورة مكافئة، للمُبسطات )، وهو أمرٌ ليس صعبًا في العادة.

يترك${\displaystyle \gamma$ لتكن ℝ² منحنى جوردان مستويًا أملسًا جزئيًا . تنص نظرية منحنى جوردان على أن${\displaystyle \gamma }$يقسم${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$إلى مكونين، أحدهما مضغوط والآخر غير مضغوط. ليكن${\displaystyle D}$يرمز إلى الجزء المضغوط الذي يحده${\displaystyle \gamma }$ولنفترض${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$سلس، مع${\displaystyle S=\psi (D)}$إذا​${\displaystyle \Gamma }$هو منحنى الفضاء المحدد بواسطة${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$[ ^{ملاحظة 2 ]} و${\displaystyle {\textbf {F}}}$هو حقل متجهي أملس على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ثم : ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {S} }$$

هذا البيان الكلاسيكي هو حالة خاصة من الصيغة العامة بعد تحديد حقل المتجهات بصيغة من الدرجة الأولى وتحديد التفافه بصيغة من الدرجة الثانية من خلال $${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to \\[1.4ex]&d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)dy\wedge dz+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)dz\wedge dx+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

الصيغة المذكورة أعلاه، والتي فيها${\displaystyle \Omega }$إنّ تعريف المجال بأنه فضاء أملس ذو حدود لا يكفي في العديد من التطبيقات. على سبيل المثال، إذا عُرِّف مجال التكامل بأنه المنطقة المستوية بين إحداثيين x ورسمي دالتين، فغالبًا ما يكون للمجال زوايا. في هذه الحالة، تعني نقاط الزاوية ما يلي:${\displaystyle \Omega }$ليست فضاءً أملسًا ذا حدود، وبالتالي فإن نص نظرية ستوكس المذكور أعلاه لا ينطبق عليها. ومع ذلك، من الممكن التحقق من صحة استنتاج نظرية ستوكس. وذلك لأن${\displaystyle \Omega }$وتكون حدودها جيدة السلوك بعيدًا عن مجموعة صغيرة من النقاط ( مجموعة قياس صفري ).

أثبت هاسلر ويتني صيغةً من نظرية ستوكس تسمح بالخشونة . ^{[ 14 ]} افترض أن${\displaystyle D}$هي مجموعة فرعية مفتوحة ومتصلة ومحدودة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$اتصل​${\displaystyle D}$المجال القياسي إذا حقق الخاصية التالية: توجد مجموعة جزئية${\displaystyle P}$من​${\displaystyle \partial D}$، افتح في${\displaystyle \partial D}$، الذي مكمله في${\displaystyle \partial D}$لديه هاوسدورف​${\displaystyle (n-1)}$قياسها صفر؛ بحيث تكون كل نقطة من${\displaystyle P}$له متجه عمودي معمّم . هذا متجه${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$بحيث إذا تم اختيار نظام إحداثيات بحيث${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$إذن، هو متجه الأساس الأول في جوار مفتوح حول ⁠${\displaystyle x}$، توجد دالة سلسة${\displaystyle f(x_{2},\dots ,x_{n})}$بحيث${\displaystyle P}$الرسم البياني${\displaystyle \{x_{1}=f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$و${\displaystyle D}$هي المنطقة${\displaystyle \{x_{1}:x_{1}<f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$. ويشير ويتني إلى أن حدود المجال القياسي هي اتحاد مجموعة من عناصر هاوسدورف الصفرية${\displaystyle (n-1)}$- قياس واتحاد محدود أو قابل للعد من الأسطح الملساء${\displaystyle (n-1)}$⁠ -متعددات الشعب، كل منها له المجال على جانب واحد فقط. ثم يثبت أنه إذا${\displaystyle D}$هو نطاق قياسي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$،​${\displaystyle \omega }$هو ⁠${\displaystyle (n-1)}$-form الذي يكون معرفًا ومتصلًا ومحدودًا على${\displaystyle D\cup P}$، بسلاسة على${\displaystyle D}$، قابلة للتكامل على${\displaystyle P}$، وبحيث${\displaystyle d\omega }$قابل للتكامل على${\displaystyle D}$إذاً ، فإن نظرية ستوكس تنطبق، أي $${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$$

تؤدي دراسة خصائص نظرية القياس للمجموعات التقريبية إلى نظرية القياس الهندسي . وقد أثبت فيدرر وهاريسون نسخًا أكثر عمومية من نظرية ستوكس. ^{[ 15 ]}

يُعدّ الشكل العام لنظرية ستوكس، باستخدام الصيغ التفاضلية، أكثر قوةً وسهولةً في الاستخدام من الحالات الخاصة. يمكن صياغة الصيغ التقليدية باستخدام الإحداثيات الديكارتية دون الحاجة إلى الهندسة التفاضلية، مما يجعلها أكثر سهولةً في الفهم. علاوةً على ذلك، فهي أقدم، وبالتالي فإن أسماءها أكثر شيوعًا. غالبًا ما يعتبر العلماء والمهندسون الممارسون الصيغ التقليدية أكثر ملاءمةً، ولكن يصبح عدم طبيعية الصياغة التقليدية واضحًا عند استخدام أنظمة إحداثيات أخرى، حتى تلك المألوفة مثل الإحداثيات الكروية أو الأسطوانية. هناك احتمال للالتباس في طريقة استخدام الأسماء، واستخدام الصيغ الثنائية.

الحالة الكلاسيكية (حساب المتجهات)

هذا (مزدوج) ⁠${\displaystyle (1+1)}$الحالة ذات الأبعاد n ، لصيغة من الدرجة الأولى (مزدوجة لأنها عبارة عن بيان حول حقول المتجهات ). تُعرف هذه الحالة الخاصة غالبًا باسم نظرية ستوكس في العديد من دورات حساب المتجهات التمهيدية في الجامعات، وتُستخدم في الفيزياء والهندسة. كما تُعرف أحيانًا باسم نظرية الدوران .

تربط نظرية ستوكس الكلاسيكية التكامل السطحي لدوران حقل متجه على سطح ما${\displaystyle \Sigma }$في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، يُشير التكامل الخطي لحقل المتجهات على حدوده إلى حالة خاصة من نظرية ستوكس العامة (مع ⁠${\displaystyle n=2}$) بمجرد تحديد حقل متجه ذي شكل تفاضلي من الدرجة الأولى باستخدام المقياس على الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. منحنى التكامل الخطي، ⁠${\displaystyle \partial \Sigma }$، يجب أن يكون ذا توجه إيجابي، بمعنى أن${\displaystyle \partial \Sigma }$تشير إلى عكس اتجاه عقارب الساعة عندما يكون العمودي على السطح ،${\displaystyle n}$، يشير نحو المشاهد.

إحدى نتائج هذه النظرية هي أن خطوط المجال لحقل متجه ذي التفاف صفري لا يمكن أن تكون خطوطًا مغلقة. ويمكن إعادة كتابة الصيغة على النحو التالي:

نظرية — لنفترض${\displaystyle {\textbf {F}}={\big (}P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z){\big )}}$يتم تعريفها في منطقة ذات سطح أملس${\displaystyle \Sigma }$ولها مشتقات جزئية متصلة من الرتبة الأولى . إذن $${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\Biggl (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy{\Biggr )}=\oint _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}\,,}$$ أين${\displaystyle P,Q}$و${\displaystyle R}$هي مكونات ⁠${\displaystyle {\textbf {F}}}$، و${\displaystyle \partial \Sigma }$هي حدود المنطقة${\displaystyle \Sigma }$⁠ .

نظرية غرين

يمكن التعرف على نظرية غرين على الفور باعتبارها التكامل الثالث لكلا الجانبين في التكامل بدلالة P و Q و R المذكورة أعلاه.

في الكهرومغناطيسية

تتضمن اثنتان من معادلات ماكسويل الأربع التفافات حقول متجهة ثلاثية الأبعاد، وترتبط صيغتاهما التفاضلية والتكاملية بالحالة الخاصة ثلاثية الأبعاد (حساب المتجهات) لنظرية ستوكس . يجب توخي الحذر لتجنب الحالات ذات الحدود المتحركة: تهدف المشتقات الزمنية الجزئية إلى استبعاد هذه الحالات. في حال تضمين الحدود المتحركة، فإن تبديل التكامل والتفاضل يُدخل حدودًا متعلقة بحركة الحدود غير مُدرجة في النتائج أدناه (انظر التفاضل تحت علامة التكامل ).

الأشكال التفاضلية والصحيحة لمعادلات ماكسويل الكهرومغناطيسية التي تتضمن دوران الحقول المتجهة

اسم	الصيغة التفاضلية	الصيغة التكاملية (باستخدام نظرية ستوكس ثلاثية الأبعاد بالإضافة إلى الثبات النسبي، ⁠${\displaystyle \textstyle \int {\tfrac {\partial }{\partial t}}\dots \to {\tfrac {d}{dt}}\textstyle \int \cdots }$)​
معادلة ماكسويل-فاراداي، قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} \\&=-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}}$ (مع العلم أن C و S ليسا بالضرورة ثابتين)
قانون أمبير (مع امتداد ماكسويل)	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot d\mathbf {A} \\&=\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}}$ (مع العلم أن C و S ليسا بالضرورة ثابتين)

تُعدّ مجموعة معادلات ماكسويل المذكورة أعلاه صالحةً للحقول الكهرومغناطيسية المُعبَّر عنها بوحدات النظام الدولي للوحدات (SI) . أما في أنظمة الوحدات الأخرى، مثل نظام الوحدات السنتيمترية-الجرامية-الجرامية (CGS) أو نظام الوحدات الغاوسية ، فتختلف عوامل القياس للمصطلحات. على سبيل المثال، في نظام الوحدات الغاوسية، يأخذ قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي وقانون أمبير الشكلين التاليين: ^{[ 16 ] [ 17 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$$ على التوالي، حيث c هي سرعة الضوء في الفراغ.

• ليمّا تشاندراسيكار-وينتزل

• غرونسكي، هيلموت (1983). نظرية ستوكس العامة . بوسطن: بيتمان. ISBN 0-273-08510-7.
• لوميس، لين هارولد ؛ ستيرنبرغ، شلومو (2014). حساب التفاضل والتكامل المتقدم . هاكنساك، نيو جيرسي: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-4583-93-0.
• مادسن، إيب ؛ تورنهاف، يورغن (1997). من حساب التفاضل والتكامل إلى علم التماثل: علم التماثل لـ دي رام والفئات المميزة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-58956-8.
• مارسدن، جيرولد إي .؛ أنتوني، ترومبا (2003). حساب المتجهات (  الطبعة الخامسة). دبليو إتش فريمان.
• رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-054235-X.
• ستيوارت، جيمس (2009). حساب التفاضل والتكامل: المفاهيم والسياقات . سينجايج ليرنينج. الصفحات 960-967 . ISBN  978-0-495-55742-5.
• تو، لورينغ دبليو. (2011). مقدمة في المتشعبات (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-1-4419-7399-3.

• "صيغة ستوكس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• برهان نظرية التباعد ونظرية ستوكس
• حساب التفاضل والتكامل 3 - نظرية ستوكس من موقع lamar.edu - شرح توضيحي