قائمة الحدود

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon }$. هذا هو (ε, δ) -تعريف الحد .

يُعرَّف الحد الأعلى والحد الأدنى للمتتالية على النحو التالي:${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)}$و${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)}$.

دالة،${\displaystyle f(x)}$يقال إن الدالة متصلة عند نقطة c إذا$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c).}$$

لو${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ثم:

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,af(x)=aL}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}}$^{[ 4 ]} إذا لم تكن L تساوي 0.
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}}$ إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}}$إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا، وإذا كان n عددًا زوجيًا، فإن L > 0. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

بشكل عام، إذا كانت الدالة g ( x ) متصلة عند L و${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$ثم

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

لو${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$و${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$ثم:

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

في هذه الحدود، يكون التغير متناهي الصغر${\displaystyle h}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle \Delta x}$أو${\displaystyle \delta x}$. لو${\displaystyle f(x)}$قابلة للتفاضل عند${\displaystyle x}$،

• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}$هذا هو تعريف المشتقة . ويمكن إعادة صياغة جميع قواعد التفاضل كقواعد تتضمن النهايات. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة g ( x ) قابلة للتفاضل عند x ،
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)}$هذه هي قاعدة السلسلة .
  • ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$هذه هي قاعدة المنتج .
• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$
• ${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1/h}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}$

لو${\displaystyle f(x)}$و${\displaystyle g(x)}$تكون قابلة للتفاضل على فترة مفتوحة تحتوي على c ، باستثناء c نفسها ربما ، و${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty }$يمكن استخدام قاعدة المستشفى :

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$لكل قيمة x في فترة تحتوي على c ، باستثناء c نفسها ربما ، ونهاية${\displaystyle f(x)}$و${\displaystyle g(x)}$كلاهما موجودان عند النقطة ج ، إذن ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)}$$

لو${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L}$و${\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)}$لكل x في فترة مفتوحة تحتوي على c ، باستثناء c نفسها ربما، $${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L.}$$يُعرف هذا باسم نظرية الضغط . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ينطبق هذا حتى في الحالات التي تأخذ فيها f ( x ) و g ( x ) قيمًا مختلفة عند c ، أو تكون غير متصلة عند c .

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}}$إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}$

بشكل عام، إذا${\displaystyle p(x)}$إذا كان متعدد الحدود، فبحسب استمرارية متعددات الحدود، ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \lim _{x\to c}p(x)=p(c)}$$وينطبق هذا أيضاً على الدوال الكسرية ، لأنها متصلة على نطاقاتها . ^{[ 5 ]}

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.}$^{[ 5 ]} على وجه الخصوص،
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}}$^{[ 5 ]} على وجه الخصوص ،
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{n}}}=+\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}}$، بسبب استمرارية${\displaystyle e^{x}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}}$^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}$^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}}$يمكن اشتقاق هذا الحد من هذا الحد .

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},}$لجميع قيم a الموجبة . ^{[ 4 ] [ 7 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c}$، بسبب استمرارية${\displaystyle \ln {x}}$. بخاصة،
  • ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}$^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}$. هذا الحد يتبع قاعدة لوبيتال .
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\ln x=0}$، لذلك${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}$^{[ 6 ]}

بالنسبة لـ b > 1،

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty }$

بالنسبة لـ b < 1،

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty }$

يمكن تعميم الحالتين على النحو التالي:

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty }$

أين${\displaystyle F(x)=2H(x-1)-1}$و${\displaystyle H(x)}$هي دالة الخطوة هيفسايد

التكافؤات التقاربية ،${\displaystyle f(x)\sim g(x)}$، تكون صحيحة إذا${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}$لذلك، يمكن إعادة صياغتها أيضًا على أنها نهايات. ومن بين المكافئات التقاربية البارزة ما يلي:

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1}$، وذلك بسبب نظرية الأعداد الأولية ،${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$، حيث π(x) هي دالة عد الأعداد الأولية .
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{n!}}=1}$بسبب تقريب ستيرلينغ ،${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$.

يمكن أيضًا وصف سلوك الدوال الموصوفة برمز Big O باستخدام النهايات. على سبيل المثال

• ${\displaystyle f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))}$لو${\displaystyle \limsup _{x\to \infty }{\frac {|f(x)|}{g(x)}}<\infty }$