اختبار الجذر

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال معكوس الجنرال لايبنتز صيغة فا دي برونو رينولدز
أساسي قوائم التكاملات تحويل تكاملي قاعدة تكامل لايبنتز التعاريف مشتق مضاد تكامل  ( غير صحيح ) تكامل ريمان تكامل ليبيج تكامل الكنتور تكامل الدوال العكسية التكامل بواسطة أجزاء الأقراص قواقع اسطوانية التعويض  ( مثلثي ، نصف زاوية مماسية ، أويلر ) صيغة أويلر الكسور الجزئية ( طريقة هيفسايد ) تغيير الترتيب صيغ التخفيض التفاضل تحت علامة التكامل خوارزمية ريش
مسلسل هندسي  ( حسابي هندسي ) متناسق متناوب قوة ثنائي الحدين تايلور اختبارات التقارب حد المجموع (اختبار المصطلح) نسبة جذر أساسي مقارنة مباشرة مقارنة الحدود سلسلة متناوبة تكاثف كوشي ديريتشليت هابيل
متجه التدرج التباعد حليقة لابلاسيان المشتق الاتجاهي الهويات نظريات التدرج جرينز ستوكس التباعد ستوكس المعمم تحلل هلمهولتز
متعدد المتغيرات الشكليات المصفوفة الموتر الخارج هندسي التعاريف المشتقة الجزئية تكامل متعدد تكامل خطي التكامل السطحي حجم التكامل جاكوبيان هيسيان
متقدم حساب التفاضل والتكامل في الفضاء الإقليدي الوظائف المعممة حدود التوزيعات
متخصص كسري ماليافين عشوائي الاختلافات
منوعات ما قبل حساب التفاضل والتكامل تاريخ المصطلحات قائمة المواضيع نحلة التكامل التحليل الرياضي تحليل غير قياسي
ف ت هـ

في الرياضيات ، اختبار الجذر هو معيار للتقارب ( اختبار التقارب ) لسلسلة لا نهائية . ويعتمد على الكمية

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

أين هي حدود السلسلة، وتنص على أن السلسلة تتقارب بشكل مطلق إذا كانت هذه الكمية أقل من واحد، ولكنها تتباعد إذا كانت أكبر من واحد. وهي مفيدة بشكل خاص فيما يتعلق بمتسلسلة القوى . ${\displaystyle a_{n}}$

تم تطوير اختبار الجذر لأول مرة بواسطة أوغستين لويس كوشي الذي نشره في كتابه المدرسي Cours d'analyse (1821). ^[1] وبالتالي، يُعرف أحيانًا باسم اختبار جذر كوشي أو اختبار كوشي الجذري . لسلسلة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

يستخدم اختبار الجذر الرقم

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

حيث يشير "lim sup" إلى الحد الأعلى ، ربما +∞. لاحظ أنه إذا

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

يتقارب ثم يساوي C ويمكن استخدامه في اختبار الجذر بدلاً من ذلك.

ينص اختبار الجذر على أن:

• إذا كانت C < 1 فإن السلسلة تتقارب بشكل مطلق ،
• إذا كانت C > 1 فإن السلسلة تتباعد ،
• إذا كانت C = 1 واقترب الحد من الأعلى تمامًا، فإن السلسلة تتباعد،
• وإلا فإن الاختبار غير حاسم (قد تتباعد السلسلة، أو تتقارب بشكل مطلق، أو تتقارب بشكل مشروط ).

هناك بعض السلاسل التي تكون فيها C = 1 وتتقارب السلسلة، على سبيل المثال ، وهناك سلاسل أخرى تكون فيها C = 1 وتتباعد السلسلة، على سبيل المثال . ${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$

يمكن استخدام هذا الاختبار مع سلسلة القوى

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

حيث المعاملات c _n والمركز p هي أعداد مركبة والحجة z هي متغير مركب.

يمكن بعد ذلك إعطاء حدود هذه السلسلة بواسطة a _n = c _n ( z − p ) ⁿ . ثم يتم تطبيق اختبار الجذر على a _n كما هو موضح أعلاه. لاحظ أنه في بعض الأحيان تسمى سلسلة مثل هذه سلسلة قوى "حول p "، لأن نصف قطر التقارب هو نصف قطر R لأكبر فترة أو قرص مركزه p بحيث تتقارب السلسلة لجميع النقاط z بدقة في الداخل (يجب عمومًا التحقق من التقارب على حدود الفترة أو القرص بشكل منفصل).

النتيجة المترتبة على اختبار الجذر المطبق على متسلسلة القوى هي نظرية كوشي-هادامارد : نصف قطر التقارب يأخذ في الاعتبار بالضبط ما نعنيه حقًا ∞ إذا كان المقام هو 0. ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

إن إثبات تقارب السلسلة Σ a _n هو تطبيق لاختبار المقارنة .

إذا كان لجميع n ≥ N ( N عدد طبيعي ثابت ) لدينا ، إذن . بما أن السلسلة الهندسية تتقارب، فإن الأمر نفسه يحدث وفقًا لاختبار المقارنة. وبالتالي، فإن Σ a _n يتقارب بشكل مطلق. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1}$${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$

إذا كان لعدد لا نهائي من n ، فإن n يفشل في التقارب إلى 0 _، وبالتالي تكون السلسلة متباعدة. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$

إثبات النتيجة المترتبة : بالنسبة لسلسلة القوى Σ a _n = Σ c _n ( z  −  p ) ⁿ ، نرى مما سبق أن السلسلة تتقارب إذا كان هناك N بحيث يكون لجميع n ≥ N لدينا

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

ما يعادل

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

بالنسبة لجميع n ≥ N ، مما يعني أنه لكي تتقارب السلسلة، يجب أن يكون لدينا لجميع n كبيرة بما يكفي . وهذا يعادل القول ${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

لذا الآن المكان الوحيد الآخر حيث يكون التقارب ممكنًا هو عندما ${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

(نظرًا لأن النقاط > 1 سوف تتباعد) وهذا لن يغير نصف قطر التقارب لأن هذه هي فقط النقاط التي تقع على حدود الفاصل أو القرص، لذا

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

مثال 1:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}$

تطبيق اختبار الجذر واستخدام حقيقة أن${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1/n}=1,}$

${\displaystyle C=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}$

حيث أن السلسلة تتباعد. ^[2]${\displaystyle C=2>1,}$

مثال 2:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\ldots }$

يظهر اختبار الجذر التقارب لأن

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.}$

يوضح هذا المثال كيف أن اختبار الجذر أقوى من اختبار النسبة . اختبار النسبة غير حاسم لهذه السلسلة كما لو كانت زوجية، بينما إذا كانت فردية، وبالتالي فإن الحد غير موجود. ${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1/2}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n+1}/a_{n}|}$

تم بناء التسلسل الهرمي لاختبارات الجذر ^{[3] [4] على نحو مماثل لتسلسل} اختبارات النسبة (انظر القسم 4.1 من اختبار النسبة ، وبشكل أكثر تحديدًا القسم الفرعي 4.1.4 هناك).

بالنسبة لسلسلة ذات مصطلحات موجبة، لدينا الاختبارات التالية للتقارب/التباعد. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

ليكن عددًا صحيحًا، وليكن يمثل تكرار اللوغاريتم الطبيعي ، أي و لأي ، . ${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$${\displaystyle 2\leq k\leq K}$${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

افترض أن ، عندما يكون كبيرًا، يمكن تقديمه في النموذج ${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}$

(يفترض أن يكون المجموع الفارغ 0.)

• تتقارب السلسلة إذا${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• تتباعد السلسلة إذا${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• وإلا فإن الاختبار سيكون غير حاسم.

منذ ذلك الحين، لدينا ${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}$

من هذا،

${\displaystyle \ln a_{n}=-n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}\right).}$

من توسع تايلور المطبق على الجانب الأيمن، نحصل على:

${\displaystyle \ln a_{n}=-1-\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}-{\frac {\rho _{n}}{\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n}}\right).}$

لذلك،

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{(n\prod _{k=1}^{K-2}\ln _{(k)}n)\ln _{(K-1)}^{\rho _{n}}n}},&K\geq 2,\\\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{n^{\rho _{n}}}},&K=1.\end{cases}}}$

(يتم تعيين المنتج الفارغ على 1.)

النتيجة النهائية تأتي من الاختبار التكاملي للتقارب .

• اختبار النسبة
• سلسلة متقاربة

• Knopp, Konrad (1956). "§ 3.2". Infinite Sequences and Series . Dover publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60153-6.
• Whittaker, ET & Watson, GN (1963). "§ 2.35". دورة في التحليل الحديث (الطبعة الرابعة). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-58807-3.

تتضمن هذه المقالة مواد من Proof of Cauchy's root test على PlanetMath ، والتي تخضع لرخصة المشاع الإبداعي المنسوبة/المشابهة .