اختبارات التقارب

إذا كانت نهاية الحد غير معرفة أو غير صفرية، أي${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0}$إذا كان الحدّ يساوي صفرًا، فإن المتسلسلة ستكون متباعدة. وبهذا المعنى، تكون المجاميع الجزئية متقاربة من نوع كوشي فقط إذا كانت هذه النهاية موجودة وتساوي صفرًا. ويكون الاختبار غير حاسم إذا كانت نهاية الحدّ تساوي صفرًا. يُعرف هذا أيضًا باختبار الحدّ النوني ، أو اختبار التباعد .

يُعرف هذا أيضاً بمعيار دالمبير .

لنفترض وجود نهايتين${\displaystyle \ell =\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$و${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$. لو${\displaystyle \ell >1}$تتباعد السلسلة. إذا${\displaystyle L<1}$عندئذٍ تتقارب المتسلسلة تقارباً مطلقاً. إذا${\displaystyle \ell \leq 1\leq L}$عندئذٍ يكون الاختبار غير حاسم، وقد تتقارب السلسلة بشكل مطلق أو مشروط أو تتباعد.

يُعرف هذا أيضًا باسم اختبار الجذر النوني أو معيار كوشي .

يترك

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

أين${\displaystyle \limsup }$يشير إلى الحد الأعلى (ربما${\displaystyle \infty }$(إذا كانت هناك حدود، فهي نفس القيمة).

إذا كانت قيمة r أقل من 1، فإن المتسلسلة تتقارب تقاربًا مطلقًا. إذا كانت قيمة r أكبر من 1، فإن المتسلسلة تتباعد. أما إذا كانت قيمة r تساوي 1، فإن اختبار الجذر غير حاسم، وقد تتقارب المتسلسلة أو تتباعد.

اختبار الجذر أقوى من اختبار النسبة: فعندما يحدد اختبار النسبة تقارب أو تباعد متسلسلة لانهائية، فإن اختبار الجذر يفعل ذلك أيضاً، ولكن ليس العكس. ^{[ 1 ]}

يمكن مقارنة المتسلسلة بالتكامل لتحديد التقارب أو التباعد.${\displaystyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} _{+}}$لتكن دالة غير سالبة ومتناقصة بشكل رتيب بحيث${\displaystyle f(n)=a_{n}}$. لو $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty ,}$$ عندئذٍ تتقارب المتسلسلة. ولكن إذا تباعد التكامل، فإن المتسلسلة تتباعد أيضًا. بعبارة أخرى، المتسلسلة${\displaystyle {a_{n}}}$يتقارب إذا وفقط إذا كان التكامل يتقارب.

إذا كانت السلسلة${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$هي سلسلة متقاربة تمامًا و${\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|}$بالنسبة لقيم n  الكبيرة بما فيه الكفاية ، فإن المتسلسلة${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$يتقارب بشكل مطلق.

لو${\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}>0}$، (أي أن كل عنصر من عناصر المتتاليتين موجب) والحد${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$إذا كانت موجودة، ومحدودة وغير صفرية، فإما أن تتقارب كلتا المتسلسلتين أو تتباعد كلتا المتسلسلتين.

يترك${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}$لتكن متتالية غير سالبة وغير متزايدة. إذن مجموعها${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$يتقارب إذا وفقط إذا كان المجموع${\displaystyle A^{*}=\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}a_{2^{n}}}$يتقارب. علاوة على ذلك، إذا تقاربا، فإن${\displaystyle A\leq A^{*}\leq 2A}$يحجز.

لنفترض أن العبارات التالية صحيحة:

1. ${\displaystyle \sum a_{n}}$هي متسلسلة متقاربة،
2. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$هي متتالية رتيبة، و
3. ${\displaystyle \left\{b_{n}\right\}}$محدود.

ثم${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$وهي متقاربة أيضاً.

كل متسلسلة متقاربة تقارباً مطلقاً تتقارب.

لنفترض أن العبارات التالية صحيحة:

• ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$هو رتيب،
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0}$

ثم${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$و${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$هي متسلسلات متقاربة. يُعرف هذا الاختبار أيضًا باسم معيار لايبنيز .

لو${\displaystyle \{a_{n}\}}$هي سلسلة من الأعداد الحقيقية و${\displaystyle \{b_{n}\}}$متتالية من الأعداد المركبة تحقق

• ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$لكل عدد صحيح موجب N

حيث M ثابت ما، فإن المتسلسلة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

يتقارب.

سلسلة${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$تكون متقاربة إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد طبيعي N بحيث

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

ينطبق هذا على جميع قيم n > N وجميع قيم p ≥ 1 .

يترك ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$و ${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$لنفترض أن لدينا سلسلتين من الأعداد الحقيقية.${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$هي متتالية رتيبة ومتباعدة تمامًا، وتوجد النهاية التالية:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

ثم، الحد

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

لنفترض أن ( f _{_n} ) هي متتالية من الدوال الحقيقية أو المركبة المعرفة على مجموعة A ، وأن هناك متتالية من الأعداد غير السالبة ( M _{_n} ) تحقق الشروط التالية:

• ${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}}$للجميع${\displaystyle n\geq 1}$وكل شيء${\displaystyle x\in A}$، و
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}}$يتقارب.

ثم المسلسل

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)}$

يتقارب بشكل مطلق ومنتظم على النقطة A.

قد يكون اختبار النسبة غير حاسم عندما تكون نهاية النسبة 1. ومع ذلك، فإن التوسعات لاختبار النسبة تسمح أحيانًا بالتعامل مع هذه الحالة.

يترك${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$لتكن متسلسلة لانهائية ذات حدود حقيقية، ولتكن${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$لتكن أي دالة حقيقية بحيث${\displaystyle f(1/n)=a_{n}}$لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n والمشتقة الثانية${\displaystyle f''}$موجود في${\displaystyle x=0}$. ثم${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$يتقارب بشكل مطلق إذا${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$ويختلف الأمر خلاف ذلك. ^{[ 8 ]}

• توجد اختبارات تقارب أكثر تخصصًا لبعض أنواع المتسلسلات المحددة، على سبيل المثال بالنسبة لمتسلسلات فورييه يوجد اختبار ديني .