اختبار التكامل للتقارب

في الرياضيات ، يُعد اختبار التكامل للتقارب طريقةً تُستخدم لاختبار تقارب المتسلسلات اللانهائية ذات الحدود الرتيبة . وقد طوّره كولين ماكلورين وأوغستين لويس كوشي، ويُعرف أحيانًا باسم اختبار ماكلورين-كوشي .

لنفترض عددًا صحيحًا N ودالة f معرفة على الفترة غير المحدودة [ N , ∞) ، حيث تكون الدالة متناقصة بشكل رتيب . عندئذٍ، تكون المتسلسلة اللانهائية

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

يتقارب إلى عدد حقيقي إذا وفقط إذا كان التكامل غير المحدد

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

هي محدودة. على وجه الخصوص، إذا كان التكامل متباعدًا، فإن المتسلسلة متباعدة أيضًا.

ملاحظة

إذا كان التكامل غير المحدود محدودًا، فإن البرهان يعطي أيضًا الحدود الدنيا والعليا

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

1

بالنسبة للمتسلسلة اللانهائية.

لاحظ أنه إذا كانت الدالة${\displaystyle f(x)}$إذا كانت الدالة متزايدة، فإن الدالة${\displaystyle -f(x)}$يتناقص وينطبق عليه ما سبق ذكره من نظرية.

تتطلب العديد من الكتب الدراسية هذه الوظيفة${\displaystyle f}$أن تكون موجبة، ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} لكن هذا الشرط ليس ضروريًا حقًا، لأنه عندما${\displaystyle f}$سلبي ويتناقص كلاهما${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$و${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$^{[ 4 ]}​

يستخدم البرهان اختبار المقارنة ، حيث تتم مقارنة المصطلح${\displaystyle f(n)}$مع تكامل${\displaystyle f}$على فترات${\displaystyle [n-1,n)}$و${\displaystyle [n,n+1)}$على التوالى.

الدالة الرتيبة${\displaystyle f}$هي دالة متصلة تقريبًا في كل مكان . لإثبات ذلك، لنفترض

${\displaystyle D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ غير متصلة عند }}x\}}$

لكل${\displaystyle x\in D}$، يوجد بكثافة${\displaystyle \mathbb {Q} }$، أ${\displaystyle c(x)\in \mathbb {Q} }$لهذا السبب.${\displaystyle c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]}$.

لاحظ أن هذه المجموعة تحتوي على فترة مفتوحة غير فارغة تحديدًا إذا${\displaystyle f}$غير متصل عند${\displaystyle x}$يمكننا تحديد الهوية بشكل فريد${\displaystyle c(x)}$باعتباره العدد النسبي الذي له أصغر دليل في عملية تعداد${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$ويحقق الخاصية المذكورة أعلاه. بما أن${\displaystyle f}$إذا كانت رتيبة ، فهذا يُعرّف تطبيقًا أحاديًا${\displaystyle c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)}$وبالتالي${\displaystyle D}$العدد قابل للعد . ويترتب على ذلك أن${\displaystyle f}$تكون متصلة تقريبًا في كل مكان . وهذا يكفي لتكامل ريمان . ^{[ 5 ]}

بما أن f دالة متناقصة رتيبة، فإننا نعلم أن

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

و

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

وبالتالي، لكل عدد صحيح n ≥ N ،

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)}$

2

ولكل عدد صحيح n ≥ N + 1 ،

${\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.}$

3

عن طريق الجمع على جميع قيم n من N إلى عدد صحيح أكبر M ، نحصل من ( 2 )

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

ومن ( 3 )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=N}^{M}f(n)&=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\\&\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}\\&=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.\end{aligned}}}$

يؤدي الجمع بين هذين التقديرين إلى

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

بجعل M تؤول إلى اللانهاية، فإن الحدود في ( 1 ) والنتيجة تتبع.

السلسلة التوافقية

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

يتباعد لأنه باستخدام اللوغاريتم الطبيعي ، ودالته الأصلية ، والنظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، نحصل على

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

من ناحية أخرى، المسلسل

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}$

(انظر دالة زيتا لريمان ) تتقارب لكل ε > 0 ، وذلك وفقًا لقاعدة القوة

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

من ( 1 ) نحصل على التقدير الأعلى

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

والتي يمكن مقارنتها ببعض القيم المحددة لدالة زيتا لريمان .

تثير الأمثلة السابقة التي تتضمن المتسلسلة التوافقية تساؤلاً حول ما إذا كانت هناك متتابعات رتيبة بحيث تتناقص f ( n ) إلى 0 أسرع من 1/ n ولكن أبطأ من 1/ n ^{+ 1 + ε} بالمعنى التالي:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

لكل قيمة ε > 0 ، يتم التحقق مما إذا كانت المتسلسلة المقابلة للدالة f ( n ) لا تزال متباعدة. بمجرد إيجاد مثل هذه المتسلسلة، يمكن طرح سؤال مماثل مع اعتبار f ( n ) إما 1/ n (إذا كانت f ( n ) متباعدة) أو 1/ n ^{+ 1 + ε} (إذا كانت f ( n ) متقاربة)، وهكذا. بهذه الطريقة، يمكن دراسة الحد الفاصل بين تباعد وتقارب المتسلسلات اللانهائية.

باستخدام اختبار التكامل للتقارب، يمكن إثبات (انظر أدناه) أنه لكل عدد طبيعي k ، فإن المتسلسلة

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}$

4

لا يزال متباعدًا (انظر البرهان على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية متباعد عندما k = 1 ) ولكن

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}$

5

يتقارب لكل ε > 0. هنا ، يرمز ln _k إلى التركيب k- طيّ للوغاريتم الطبيعي المعرّف بشكل تكراري بواسطة

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

علاوة على ذلك، لنفترض أن N _k يمثل أصغر عدد طبيعي بحيث يكون التركيب k -fold مُعرَّفًا جيدًا ويكون ln _k ( N _k ) ≥ 1 ، أي

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

باستخدام التراتيون أو تدوين السهم لأعلى الخاص بكنوت .

لإثبات تباعد المتسلسلة ( 4 ) باستخدام اختبار التكامل، لاحظ أنه من خلال التطبيق المتكرر لقاعدة السلسلة

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

لذلك

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

لملاحظة تقارب المتسلسلة ( 5 )، لاحظ أنه وفقًا لقاعدة القوة ، وقاعدة السلسلة، والنتيجة المذكورة أعلاه،

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

لذلك

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

و( 1 ) يعطي حدودًا للمتسلسلة اللانهائية في ( 5 ).

• اختبارات التقارب
• التقارب النقطي
• التقارب غير المشروط
• التقارب المنتظم
• اختبار المقارنة المباشرة
• نظرية التقارب المسيطر
• صيغة أويلر-ماكلورين
• اختبار المقارنة الحدية
• نظرية التقارب الرتيب

• كنوب، كونراد ، "المتتاليات والمتسلسلات اللانهائية"، منشورات دوفر ، نيويورك، 1956. (الفقرة 3.3) ISBN 0-486-60153-6
• ويتاكر، إي تي، وواتسون، جي إن، دورة في التحليل الحديث ، الطبعة الرابعة، مطبعة جامعة كامبريدج، 1963. (الفقرة 4.43) ISBN 0-521-58807-3
• فيريرا، خايمي كامبوس، إد كالوست غولبنكيان، 1987، ISBN 972-31-0179-3