حدد الأدنى وحدد الأعلى

لنفترض وجود سلسلة${\displaystyle (x_{n})}$تتكون من أعداد حقيقية. افترض أن النهاية العليا والنهاية السفلى أعداد حقيقية (أي ليست لانهائية).

• الحد الأعلى لـ${\displaystyle x_{n}}$هو أصغر عدد حقيقي${\displaystyle b}$بحيث يكون، لأي عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon }$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث${\displaystyle x_{n}<b+\varepsilon }$للجميع${\displaystyle n>N}$بمعنى آخر، أي عدد أكبر من الحد الأعلى يمثل حدًا أعلى نهائيًا للمتتالية. عدد محدود فقط من عناصر المتتالية أكبر من هذا الحد.${\displaystyle b+\varepsilon }$.
• الحد الأدنى لـ${\displaystyle x_{n}}$هو أكبر عدد حقيقي${\displaystyle b}$بحيث يكون، لأي عدد حقيقي موجب${\displaystyle \varepsilon }$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث${\displaystyle x_{n}>b-\varepsilon }$للجميع${\displaystyle n>N}$بمعنى آخر، أي عدد أقل من الحد الأدنى هو حد أدنى نهائي للمتتالية. عدد محدود فقط من عناصر المتتالية أقل من هذا الحد.${\displaystyle b-\varepsilon }$.

العلاقة بين النهاية الدنيا والنهاية العليا لمتتاليات الأعداد الحقيقية هي كما يلي: $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

كما ذكرنا سابقاً، من الملائم التمديد${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$ثم،${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$في${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$يتقارب إذا وفقط إذا $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$ وفي هذه الحالة${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$يساوي قيمتهما المشتركة. (لاحظ أنه عند العمل فقط في${\displaystyle \mathbb {R} ,}$التقارب إلى${\displaystyle -\infty }$أو${\displaystyle \infty }$(لا يُعتبر ذلك تقاربًا.) بما أن النهاية الدنيا لا تتجاوز النهاية العليا، فإن الشروط التالية تتحقق.$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

لو${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$و${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$ثم الفترة${\displaystyle [I,S]}$لا يشترط أن تحتوي على أي من الأرقام${\displaystyle x_{n},}$لكن كل توسع طفيف${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$لصغير بشكل تعسفي${\displaystyle \epsilon >0,}$سيحتوي${\displaystyle x_{n}}$بالنسبة لجميع المؤشرات باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle n.}$في الواقع، الفاصل الزمني${\displaystyle [I,S]}$هي أصغر فترة مغلقة تتمتع بهذه الخاصية. يمكننا صياغة هذه الخاصية على النحو التالي: توجد متتابعات جزئية${\displaystyle x_{k_{n}}}$و${\displaystyle x_{h_{n}}}$ل${\displaystyle x_{n}}$(أين${\displaystyle k_{n}}$و${\displaystyle h_{n}}$(تتزايد) والتي لدينا$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

من ناحية أخرى، يوجد${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$حتى يكون ذلك للجميع${\displaystyle n\geq n_{0}}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

باختصار:

• لو${\displaystyle \Lambda }$إذا كان أكبر من الحد الأعلى، فإن عدده محدود على الأكثر${\displaystyle x_{n}}$أكبر من${\displaystyle \Lambda$ ;} إذا كان أقل من ذلك، فهناك عدد لا نهائي.
• لو${\displaystyle \lambda }$إذا كان أقل من الحد الأدنى، فهناك عدد محدود على الأكثر${\displaystyle x_{n}}$أقل من${\displaystyle \lambda$ ;} إذا كان أكبر، فهناك عدد لا نهائي.

وعلى العكس من ذلك، يمكن أيضاً إثبات ما يلي:

• إذا كان هناك عدد لا نهائي${\displaystyle x_{n}}$أكبر من أو يساوي${\displaystyle \Lambda }$، ثم${\displaystyle \Lambda }$أصغر من أو يساوي الحد الأعلى؛ إذا كان عدد العناصر محدودًا فقط${\displaystyle x_{n}}$أكبر من${\displaystyle \Lambda }$، ثم${\displaystyle \Lambda }$أكبر من أو يساوي الحد الأعلى.
• إذا كان هناك عدد لا نهائي${\displaystyle x_{n}}$أقل من أو يساوي${\displaystyle \lambda }$، ثم${\displaystyle \lambda }$أكبر من أو يساوي الحد الأدنى؛ إذا كان عدد العناصر محدودًا فقط${\displaystyle x_{n}}$أقل من${\displaystyle \lambda }$، ثم${\displaystyle \lambda }$أصغر من أو يساوي الحد الأدنى. ^{[ 2 ]}

على العموم،$${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$يمثل liminf و limsup لتسلسل ما أصغر وأكبر نقاط التجميع على التوالي . ^{[ 3 ]}

• لأي سلسلتين من الأعداد الحقيقية${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$تحقق النهاية العليا خاصية الجمع الجزئي كلما تم تعريف الجانب الأيمن من المتباينة (أي، ليس${\displaystyle \infty -\infty }$أو${\displaystyle -\infty +\infty }$):$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

وبالمثل، فإن النهاية الأدنى تحقق خاصية الجمع الفائق :$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$في الحالة الخاصة التي تتقارب فيها إحدى المتتاليات بالفعل، على سبيل المثال${\displaystyle a_{n}\to a,}$عندئذٍ تتحول المتباينات المذكورة أعلاه إلى معادلات (مع${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$أو${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle a}$).

• لأي متتابعتين من الأعداد الحقيقية غير السالبة${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$أوجه عدم المساواة$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$و$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

أمسك بالطرف الأيمن عندما لا يكون على الشكل المطلوب.${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

لو${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$موجود (بما في ذلك الحالة)${\displaystyle A=+\infty }$) و${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$ثم${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$بشرط أن${\displaystyle AB}$ليس على شكل${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

يوجد مفهوم لـ limsup و liminf للدوال المعرفة على فضاء متري، وعلاقته بنهايات الدوال ذات القيم الحقيقية تعكس العلاقة بين limsup و liminf ونهاية متتالية حقيقية. لنأخذ فضاءً متريًا${\displaystyle X}$، فضاء جزئي${\displaystyle E}$وارد في${\displaystyle X}$ووظيفة${\displaystyle f:E\to {\overline {\mathbb {R} }}}$عرّف، لأي نقطة${\displaystyle a}$إغلاق${\displaystyle E}$, ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$ و

$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$

أين${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$يرمز إلى الكرة المترية ذات نصف القطر${\displaystyle \varepsilon }$عن${\displaystyle a}$.

لاحظ أنه مع تقلص ε ، فإن القيمة العليا للدالة على الكرة تكون غير متزايدة (إما متناقصة تمامًا أو تبقى كما هي)، لذلك لدينا

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right)}$$ وبالمثل $${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\}\right).}$$

يمكن إعادة صياغة تعريف limsup و liminf في الفضاءات المترية بشكل مكافئ على النحو التالي:

• الحد الأعلى لـ${\displaystyle f(x)}$مثل${\displaystyle x\to x_{0}}$هو أعلى مستوى لـ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})}$استحوذت على جميع التسلسلات التي تميل إلى${\displaystyle x_{0}}$.
• الحد الأدنى لـ${\displaystyle f(x)}$مثل${\displaystyle x\to x_{0}}$هو الحد الأدنى لـ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }f(x_{n})}$استحوذت على جميع التسلسلات التي تميل إلى${\displaystyle x_{0}}$.

وهذا يُحفز في النهاية تعريفات الفضاءات الطوبولوجية العامة . لنأخذ X و E و a كما في السابق، ولكن لنجعل X الآن فضاءً طوبولوجيًا. في هذه الحالة، نستبدل الكرات المترية بالجوارات : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U\}}$

(توجد طريقة لكتابة الصيغة باستخدام "lim" باستخدام الشبكات وفلتر الجوار ). غالبًا ما تكون هذه الصيغة مفيدة في مناقشات شبه الاستمرارية التي تظهر كثيرًا في التحليل. ومن الملاحظات المهمة أن هذه الصيغة تشمل الصيغة التسلسلية من خلال اعتبار المتتاليات كدوال من الأعداد الطبيعية كفضاء طوبولوجي فرعي من خط الأعداد الحقيقية الممتد، في الفضاء (إغلاق N في [−∞,∞]، خط الأعداد الحقيقية الممتد ، هو N ∪ {∞}).   

سلسلة من المجموعات في فضاء قابل للقياس${\displaystyle X}$تقترب من مجموعة نهائية عندما تقترب عناصر كل عنصر من عناصر المتتالية من عناصر المجموعة النهائية. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle (X_{n})}$هي سلسلة من المجموعات الفرعية من${\displaystyle X,}$ثم:

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$والتي تسمى أيضًا الحد الخارجي ، تتكون من تلك العناصر التي تمثل حدود النقاط في${\displaystyle X_{n}}$مأخوذة من عدد لا نهائي (قابل للعد)${\displaystyle n.}$إنه،${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$إذا وفقط إذا وُجدت سلسلة من النقاط${\displaystyle (x_{k})}$وتسلسل فرعي${\displaystyle (X_{n_{k}})}$ل${\displaystyle (X_{n})}$بحيث${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$و${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$والتي تسمى أيضًا الحد الداخلي ، تتكون من تلك العناصر التي تمثل حدود النقاط في${\displaystyle X_{n}}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle n}$(أي، عدد لا نهائي من${\displaystyle n}$). إنه،${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$إذا وفقط إذا وُجدت سلسلة من النقاط${\displaystyle (x_{k})}$بحيث${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$و${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

الحد${\displaystyle \lim X_{n}}$يوجد إذا وفقط إذا${\displaystyle \liminf X_{n}}$و${\displaystyle \limsup X_{n}}$موافق، وفي هذه الحالة${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$^{[ 9 ]} لا ينبغي الخلط بين الحدود الخارجية والداخليةوالحدود العليا والسفلى في نظرية المجموعات، لأن المجموعات الأخيرة ليست حساسة للبنية الطوبولوجية للفضاء.

هذا هو التعريف المستخدم في نظرية القياس والاحتمالات . وسيتم تناول المزيد من المناقشات والأمثلة من وجهة نظر نظرية المجموعات، على عكس وجهة النظر الطوبولوجية التي سيتم مناقشتها أدناه، عند الحد النظري لنظرية المجموعات .

بحسب هذا التعريف، تقترب متتالية من المجموعات من مجموعة حدية عندما تتضمن المجموعة الحدية عناصر موجودة في جميع مجموعات المتتالية باستثناء عدد محدود منها، ولا تتضمن عناصر موجودة في جميع مكملات مجموعات المتتالية باستثناء عدد محدود منها. أي أن هذه الحالة تُخصِّص التعريف العام عندما تُستنتج الطوبولوجيا على المجموعة X من المقياس المتقطع .

وبالتحديد، بالنسبة للنقطتين x و y ∈ X ، يتم تعريف المقياس المنفصل بواسطة

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

بموجب هذا التعريف، تتقارب متتالية من النقاط ( x_{_k} ) إلى النقطة x ∈ X إذا وفقط إذا كان x_{_k} = x لجميع قيم k باستثناء عدد محدود منها . لذا، إذا وُجدت مجموعة النهايات، فإنها تحتوي على النقاط التي تنتمي إلى جميع مجموعات المتتالية باستثناء عدد محدود منها فقط. وبما أن التقارب في المقياس المتقطع هو أشد أشكال التقارب صرامةً (أي أنه يتطلب أعلى مستوى من الدقة)، فإن هذا التعريف لمجموعة النهايات هو الأكثر صرامةً على الإطلاق.

إذا كانت ( X _n ) عبارة عن سلسلة من المجموعات الجزئية من X ، فإن ما يلي موجود دائمًا:

• تتألف نهاية المجموعة العليا X _{_n} من عناصر المجموعة X التي تنتمي إلى X_{_n} لعدد لا نهائي من n (انظر: اللانهائية القابلة للعد ). أي أن x ∈ نهاية المجموعة العليا X_n إذا وفقط إذا وُجدت متتالية جزئية ( X _{_nk} ) من ( X _{_n} ) بحيث x ∈ X _{_nk} لكل k .
• تتكون نهاية المجموعة X _n من عناصر المجموعة X التي تنتمي إلى X_{_n} لجميع قيم n باستثناء عدد محدود منها (أي، لعدد محدود من قيم n ). بمعنى آخر، x ∈ lim _inf X_{_n} إذا وفقط إذا وُجد عدد m > 0 بحيث x ∈ X_{_n} لجميع قيم n > m .

لاحظ أن x ∈ lim sup X _n إذا وفقط إذا كان x ∉ lim inf X _n ^c .

• توجد نهاية X _n إذا وفقط إذا اتفقت نهاية inf X _n ونهاية sup X _n ، وفي هذه الحالة تكون نهاية X _n = نهاية sup X _n = نهاية inf X _n .

وبهذا المعنى، فإن المتتالية لها نهاية طالما أن كل نقطة في X إما تظهر في جميع X _n باستثناء عدد محدود منها أو تظهر في جميع X _n ^c باستثناء عدد محدود منها . ^{[ 10 ]}

باستخدام المصطلحات الشائعة في نظرية المجموعات، يُوفّر احتواء المجموعات ترتيبًا جزئيًا لمجموعة جميع المجموعات الجزئية من X ، مما يسمح لتقاطع المجموعات بتوليد حد أدنى أقصى، واتحاد المجموعات بتوليد حد أعلى أدنى. وبالتالي، فإن الحد الأدنى (التقاء) لمجموعة من المجموعات الجزئية هو الحد الأدنى الأقصى، بينما الحد الأعلى ( الوصل) هو الحد الأعلى الأدنى. في هذا السياق، يُمثّل الحد الداخلي، lim inf X _n ، أكبر نقطة التقاء لذيول المتتالية، بينما يُمثّل الحد الخارجي، lim sup X _n ، أصغر نقطة وصل لذيول المتتالية. ويُوضّح ما يلي ذلك بدقة.

• ليكن I  n  نقطة التقاء الذيل النوني للمتتالية. أي،

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

المتتالية ( I _{_n} ) غير متناقصة (أي I _{_n} ⊆ I _{_{n +1}} ) لأن كل I _{_{n +1}} هو تقاطع عدد أقل من المجموعات مقارنةً بـ I _{_n}. الحد الأعلى الأدنى لهذه المتتالية من تقاطعات الذيل هو

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

لذا فإن الحد الأدنى يحتوي على جميع المجموعات الفرعية التي تمثل حدودًا دنيا لجميع مجموعات المتتالية باستثناء عدد محدود منها.

• وبالمثل، ليكن J _n هو وصل الذيل رقم ⁿ من المتتالية. أي،

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

المتتالية ( J_{_n} ) غير متزايدة (أي J _{_n} ⊇ J _{_{n +1}} ) لأن كل J _{_{n +1}} هو اتحاد عدد أقل من المجموعات مقارنةً بـ J _{_n} . الحد الأدنى الأكبر لهذه المتتالية من عمليات ربط الذيول هو

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

لذا فإن الحد الأعلى موجود في جميع المجموعات الفرعية التي تمثل حدودًا عليا لجميع مجموعات المتتالية باستثناء عدد محدود منها.

فيما يلي عدة أمثلة على تقارب المجموعات. وقد تم تقسيمها إلى أقسام وفقًا للمقياس المستخدم لاستنتاج الطوبولوجيا على المجموعة X.

باستخدام المقياس المنفصل

• تُعتبر ليمّا بوريل -كانتيلي مثالاً على تطبيق هذه البنى.

باستخدام إما المقياس المنفصل أو المقياس الإقليدي

• لنفترض المجموعة X = {0,1} ومتتالية المجموعات الجزئية:

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

تشكل العناصر "الفردية" و"الزوجية" في هذه المتتالية متتاليتين جزئيتين، هما ({0}, {0}, {0}, ...) و({1}, {1}, {1}, ...)، حيث تكون نقطتا النهاية 0 و1 على التوالي، وبالتالي فإن النهاية الخارجية أو العليا هي المجموعة {0,1} التي تضم هاتين النقطتين. مع ذلك، لا توجد نقاط نهاية يمكن اختيارها من المتتالية ( Xn ₎ ككل، وبالتالي فإن النهاية الداخلية أو الدنيا هي المجموعة الفارغة {}. أي،

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

ومع ذلك، بالنسبة لـ ( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) و ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...):

• lim sub Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {0}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {1}

• لنفترض المجموعة X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} ومتتالية المجموعات الجزئية:

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

كما في المثالين السابقين،

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

أي أن العناصر الأربعة التي لا تتطابق مع النمط لا تؤثر على الحدين الأدنى والأعلى، لأن عددها محدود. في الواقع، يمكن وضع هذه العناصر في أي مكان في المتتالية. وطالما بقيت نهايات المتتالية ثابتة، فإن الحدين الداخلي والخارجي سيظلان دون تغيير. أما المفهومان المرتبطان بالحدود الداخلية والخارجية الأساسية ، واللذان يستخدمان الحد الأعلى الأساسي والحد الأدنى الأساسي ، فيقدمان تعديلاً هاماً "يُقلل" من عدد الإضافات البينية القابلة للعد (بدلاً من عدد محدود فقط).

باستخدام المقياس الإقليدي

• لننظر إلى متتالية المجموعات الجزئية من الأعداد النسبية :

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

تشكل العناصر "الفردية" و"الزوجية" في هذه المتتالية متتاليتين جزئيتين، هما ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) و({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...)، حيث تكون نقطتا النهاية 1 و0 على التوالي، وبالتالي فإن النهاية الخارجية أو العليا هي المجموعة {0,1} التي تضم هاتين النقطتين. مع ذلك، لا توجد نقاط نهاية يمكن اختيارها من المتتالية ( Xn ₎ ككل، وبالتالي فإن النهاية الداخلية أو الدنيا هي المجموعة الفارغة {}. لذا، كما في المثال السابق،

• lim sup X _n = {0,1}
• lim inf X _n = { }

ومع ذلك، بالنسبة لـ ( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) و ( Z _n ) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...):

• lim sub Y _n = lim inf Y _n = lim Y _n = {1}
• lim sup Z _n = lim inf Z _n = lim Z _n = {0}

في كل حالة من هذه الحالات الأربع، لا تكون عناصر المجموعات المحددة عناصر من أي من المجموعات من التسلسل الأصلي.

• حد Ω (أي مجموعة الحدود ) لحل نظام ديناميكي هو الحد الخارجي لمسارات حل النظام. ^{[ 9 ] : 50-51} ولأن المسارات تقترب أكثر فأكثر من مجموعة الحدود هذه، فإن ذيول هذه المسارات تتقارب نحو مجموعة الحدود.

• على سبيل المثال، نظام خطي ثابت الزمن (LTI) عبارة عن سلسلة متصلة من عدة أنظمة مستقرة مع نظام خطي ثابت الزمن من الدرجة الثانية غير مخمد (أي بنسبة تخميد صفرية )، سيتذبذب بلا نهاية بعد تعرضه لاضطراب (مثل جرس مثالي بعد طرقه). لذا، إذا تم رسم موضع وسرعة هذا النظام مقابل بعضهما البعض، فإن المسارات ستقترب من دائرة في فضاء الحالة . هذه الدائرة، التي تمثل مجموعة حدود Ω للنظام، هي الحد الخارجي لمسارات حل النظام. تمثل الدائرة موضع مسار يتوافق مع خرج نغمة جيبية نقية؛ أي أن خرج النظام يقترب من نغمة نقية.

النهاية الدنيا لمجموعة X  ⊆ Y هي أصغر قيمة لجميع نقاط النهاية في تلك المجموعة. أي،

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

وبالمثل، فإن النهاية العليا للمجموعة X هي القيمة العليا لجميع نقاط النهاية للمجموعة. أي،

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

لاحظ أنه يجب تعريف المجموعة X كمجموعة جزئية من مجموعة Y مرتبة جزئيًا، والتي تُعدّ أيضًا فضاءً طوبولوجيًا ، حتى تكون هذه التعريفات منطقية. علاوة على ذلك، يجب أن تكون شبكة كاملة بحيث توجد دائمًا القيم العليا والدنيا. في هذه الحالة، لكل مجموعة حدّ أعلى وحدّ أدنى. لاحظ أيضًا أن الحد الأدنى والحد الأعلى لمجموعة ما ليسا بالضرورة عنصرين من عناصر تلك المجموعة.

لنفترض فضاءً طوبولوجيًا X وقاعدة ترشيح B في ذلك الفضاء. تُعطى مجموعة جميع نقاط التجميع لقاعدة الترشيح هذه بواسطة

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

أين${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$هل إغلاق​${\displaystyle B_{0}}$من الواضح أن هذه مجموعة مغلقة ، وهي مشابهة لمجموعة نقاط النهاية لمجموعة ما. لنفترض أن X هي أيضًا مجموعة مرتبة جزئيًا . تُعرَّف النهاية العليا لقاعدة المرشح B على النحو التالي:

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

عندما توجد تلك القيمة العليا. عندما يكون لـ X ترتيب كلي ، ويكون شبكة كاملة وله طوبولوجيا الترتيب ،

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

وبالمثل، يُعرَّف الحد الأدنى لقاعدة المرشح B على النحو التالي:

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

عندما توجد تلك القيمة الدنيا؛ إذا كانت X مرتبة ترتيبًا كليًا، وشبكة كاملة، ولها طوبولوجيا الترتيب، فإن

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

إذا اتفقت الحدود الدنيا والعليا، فيجب أن تكون هناك نقطة تجميع واحدة بالضبط، ويكون حد قاعدة المرشح مساوياً لنقطة التجميع الفريدة هذه.