دالة زيتا لريمان

ليكن N ( T ) عدد أصفار ζ ( s ) في الشريط الحرج 0 < Re( s ) < 1 ، والتي تقع أجزاؤها التخيلية في الفترة 0 < Im( s ) < T. أثبت تيموثي ترودجيان أنه إذا كان T > e ، فإن ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \left|N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}\right|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$.

في عام 1914، أثبت جي إتش هاردي أن ζ ( ⁠ 1 / 2 ⁠ + it ) لها عدد لا نهائي من الأصفار الحقيقية. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

وضع هاردي وجيه إي ليتلوود تخمينين حول كثافة المسافة بين أصفار الدالة ζ (1/2 + it ) على فترات من الأعداد الحقيقية الموجبة الكبيرة. فيما يلي، N ( T ) هو العدد الإجمالي للأصفار الحقيقية، و _N₀ ( T ) هو العدد الإجمالي لأصفار الدالة ζ (1/2 + it ) من الرتبة الفردية الواقعة في الفترة (0, T ) .

فتحت هاتان الفرضيتان آفاقاً جديدة في دراسة دالة زيتا لريمان.

يُعدّ موقع أصفار دالة زيتا لريمان ذا أهمية بالغة في نظرية الأعداد. تُكافئ نظرية الأعداد الأولية حقيقة عدم وجود أصفار لدالة زيتا على الخط Re( s ) = 1. [ ^{16 ] ومن} المعروف أيضًا أن الأصفار لا توجد في مناطق معينة تقع قليلًا إلى يسار الخط Re( s ) = 1 ، وتُعرف بالمناطق الخالية من الأصفار. على سبيل المثال، أثبت كلٌّ من كوروبوف ^{[ 17 ]} وفينوغرادوف ^{[ 18 ]} بشكل مستقل، باستخدام نظرية القيمة المتوسطة لفينوغرادوف، أنه بالنسبة لقيم | t | الكبيرة بما فيه الكفاية ، فإن ζ ( σ + it ) ≠ 0.

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {c}{(\log |t|)^{2/3+\varepsilon }}}}$

لأي قيمة ε > 0 وعدد c > 0 يعتمد على ε . تقاربياً، هذه هي أكبر منطقة خالية من الأصفار معروفة لدالة زيتا.

تُعرف أيضًا مناطق خالية من الأصفار بشكل صريح. وقد تحقق بلات وترودجيان ^{[ 19 ]} حسابيًا من أن ζ ( σ + it ) ≠ 0 إذا كان σ ≠ 1/2 و | t | ≤ 3 × 10¹² ^. وأثبت موسينغهوف وترودجيان ويانغ ^{[ 20 ]} أن دالة زيتا لا تحتوي على أصفار في هذه المنطقة.

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$

لـ | t | ≥ 2 ، وهي أكبر منطقة معروفة خالية من الأصفار في الشريط الحرج لـ 3⋅10¹² < | t | < exp(64.1) ≈ 7⋅10²⁷ ⁽ للاطلاع على النتائج السابقة، انظر ^{[ 21 ] )} . أظهر يانغ ^{[ 22 ]} أن ζ ( σ + it ) ≠ 0 إذا

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {\log \log |t|}{21.233\log |t|}}}$و${\displaystyle |t|\geq 3}$

وهي أكبر منطقة خالية من الأصفار معروفة للنطاق exp(170.2) < | t | < exp(4.8⋅10⁵ ⁾ . وقد أثبت بيلوتي ^{[ 23 ]} (بالاستناد إلى عمل فورد ^{[ 24 ]} ) المنطقة الخالية من الأصفار.

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{53.989(\log |t|)^{2/3}(\log \log |t|)^{1/3}}}}$و${\displaystyle |t|\geq 3}$.

هذه هي أكبر منطقة خالية من الأصفار معروفة لقيمة ثابتة لـ | t | ≥ exp(4.8⋅10⁵ ⁾ . كما أظهر بيلوتي أنه بالنسبة لقيم | t | الكبيرة بما فيه الكفاية ، تُعرف النتيجة الأفضل التالية: ζ ( σ + it ) ≠ 0 لـ

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.0718(\log |t|)^{2/3}(\log \log |t|)^{1/3}}}.}$

إن أقوى نتيجة من هذا النوع يمكن للمرء أن يأمل فيها هي صحة فرضية ريمان، والتي سيكون لها العديد من العواقب العميقة في نظرية الأعداد.

من المعروف أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأصفار على الخط الحرج. وقد أثبت ليتلوود أنه إذا احتوت المتتالية ( γn ₎ على الأجزاء التخيلية لجميع الأصفار في النصف العلوي من المستوى المركب بترتيب تصاعدي، فإن

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

تنص نظرية الخط الحرج على أن نسبة موجبة من الأصفار غير التافهة تقع على الخط الحرج. (تفترض فرضية ريمان أن هذه النسبة تساوي 1 ).

في الشريط الحرج، يكون الصفر ذو أصغر جزء تخيلي غير سالب هو 1/2 + 14.13472514... i ( OEIS : A058303  ). وحقيقة أنه، لجميع الأعداد المركبة s ≠ 1 ،

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

يشير هذا إلى أن أصفار دالة زيتا لريمان متناظرة حول المحور الحقيقي. وبدمج هذا التناظر مع المعادلة الدالية، يتضح أن الأصفار غير التافهة متناظرة حول الخط الحرج Re( s ) = 1/2 .

ومن المعروف أيضاً أنه لا توجد أصفار على الخط الذي يحتوي على الجزء الحقيقي 1 .

توجد فئة كبيرة من دوال زيتا المعدلة التي تشترك في نفس الأصفار غير التافهة مثل دالة زيتا لريمان، حيث يعني التعديل استبدال الأعداد الأولية في جداء أويلر بأعداد حقيقية، وهو ما تم إثباته في نتيجة بواسطة غروسوالد وشنيتزر .

يمكن التعبير عن مقلوب دالة زيتا كمتسلسلة ديريشليه على دالة موبيوس μ ( n ) :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

لكل عدد مركب s ذي جزء حقيقي أكبر من 1. هناك عدد من العلاقات المماثلة التي تتضمن دوال ضربية معروفة مختلفة ؛ وقد وردت هذه العلاقات في المقالة المتعلقة بمتسلسلة ديريشليه .

إن فرضية ريمان تعادل الادعاء بأن هذا التعبير صحيح عندما يكون الجزء الحقيقي من s أكبر من 1/2 .

تتمتع الشريحة الحرجة لدالة زيتا لريمان بخاصية عالمية ملحوظة. تنص هذه الخاصية العالمية لدالة زيتا ، بشكل تقريبي، على أن الإزاحات الرأسية لـ${\displaystyle \zeta (s)}$يمكن أن تقارب بشكل منتظم أي دالة هولومورفية غير معدومة على مجموعات فرعية مضغوطة مناسبة من الشريط${\displaystyle 1/2<\operatorname {Re} (s)<1}$نظرًا لأن الدوال التحليلية عامة جدًا، فإن هذه الخاصية تُعدّ لافتة للنظر. وقدّم سيرجي ميخائيلوفيتش فورونين أول برهان على هذه ^{الخاصية} الشاملة عام 1975. ^{[ 30 ]} وشملت أعمال أحدث ^صيغًا فعّالة لنظرية فورونين ^{[ 31 ]} وتوسيعها لتشمل دوال ديريشليه L. ^{[ 32 ]} [ ³³ ]

_{لنفترض أن} الدالتين F ( T ; H ) و G ( s0 ; Δ) معرفتان بالمتساويات التالية

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

هنا ، T عدد موجب كبير بما فيه الكفاية، 0 < H ≪ log log T ، s ₀ = σ ₀ + iT ، 1/2 ≤ σ ₀ ≤ 1 ، 0 < Δ < 1/3 . يُظهر تقدير القيمتين F و G أدناه مدى كبر (قيمة مطلقة) القيم التي يمكن أن تأخذها ζ ( s ) على فترات قصيرة من الخط الحرج أو في جوارات صغيرة من النقاط الواقعة في الشريط الحرج 0 ≤ Re( s ) ≤ 1 .

تمت دراسة الحالة H ≫ log log T بواسطة Kanakanahalli Ramachandra ؛ الحالة Δ > c ، حيث c ثابت كبير بما فيه الكفاية ، هي حالة تافهة.

أثبت أناتولي كاراتسوبا ، ^{[ 34 ] [ 35 ]} على وجه الخصوص، أنه إذا تجاوزت قيم H و Δ ثوابت صغيرة معينة، فإن التقديرات

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

hold, حيث c ₁ و c ₂ ثابتان مطلقان معينان.

الوظيفة

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

يُطلق على هذا اسم وسيط دالة زيتا لريمان. هنا ، arg ζ (1/2 + it ) هو الزيادة في فرع متصل عشوائي من arg ζ ( s ) على طول الخط المتقطع الذي يصل بين النقاط 2 و 2 + it و 1/2 + it .

توجد بعض النظريات حول خصائص الدالة S ( t ) . ومن بين هذه النتائج ^{[ 36 ] [ 37 ]} نظريات القيمة المتوسطة للدالة S ( t ) وتكاملها الأول.

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

على فترات خط الأعداد الحقيقية، وكذلك النظرية التي تنص على أن كل فترة ( T ، T + H ] لـ

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

يحتوي على الأقل

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

النقاط التي تغير عندها الدالة S ( t ) إشارتها. وقد حصل أتلي سيلبرغ سابقًا على نتائج مماثلة في هذه الحالة.

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

يمكن الحصول على امتداد لمنطقة التقارب عن طريق إعادة ترتيب المتسلسلة الأصلية. ^{[ 38 ]} المتسلسلة

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

يتقارب عندما يكون Re( s ) > 0 ، بينما

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

تتقارب حتى عندما يكون Re( s ) > −1 . وبهذه الطريقة، يمكن توسيع منطقة التقارب إلى Re( s ) > −k لأي عدد صحيح سالب −k .

إن العلاقة التكرارية واضحة من التعبير الصالح لـ Re( s ) > −2 مما يتيح مزيدًا من التوسع عن طريق التكامل بالتجزئة.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=&1+{\frac {1}{s-1}}-{\frac {s}{2!}}[\zeta (s+1)-1]\\-&{\frac {s(s+1)}{3!}}[\zeta (s+2)-1]\\&-{\frac {s(s+1)(s+2)}{3!}}\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {t^{3}dt}{(n+t)^{s+3}}}.\end{aligned}}}$

يؤدي هذا التكرار إلى تطوير سلسلة أخرى تستخدم العامل المتزايد وتكون صالحة للمستوى المركب بأكمله ^{[ 38 ].}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

يمكن استخدام هذا بشكل متكرر لتوسيع تعريف سلسلة ديريشليه ليشمل جميع الأعداد المركبة.

تظهر دالة زيتا لريمان أيضًا في شكل مشابه لتحويل ميلين في التكامل على مؤثر جاوس-كوزمين-ويرسينغ الذي يعمل على x ^{s −1} ؛ هذا السياق يؤدي إلى توسيع متسلسلة بدلالة المضروب المتناقص . ^{[ 39 ]}

يتم تعريف تحويل ميلين للدالة f ( x ) على النحو التالي ^{[ 40 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

في المنطقة التي يُعرَّف فيها التكامل. توجد تعابير مختلفة لدالة زيتا كتكاملات شبيهة بتحويل ميلين. إذا كان الجزء الحقيقي من s أكبر من واحد، فإننا نحصل على

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x\quad }$و${\displaystyle \quad \Gamma (s)\zeta (s)={\frac {1}{2s}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\cosh(x)-1}}\,\mathrm {d} x,}$

حيث يرمز Γ إلى دالة غاما . وبتعديل المسار ، أثبت ريمان أن

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

لجميع s ^{[ 41 ]} (حيث H تشير إلى محيط هانكل ).

يمكننا أيضًا إيجاد تعابير تتعلق بالأعداد الأولية ونظرية الأعداد الأولية . إذا كانت π ( x ) هي دالة عد الأعداد الأولية ، فإن

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

بالنسبة للقيم التي يكون فيها Re( s ) > 1 .

يتضمن تحويل ميلين المماثل دالة ريمان J ( x ) ، التي تحسب قوى الأعداد الأولية ^pn بوزن 1 / n ، بحيث

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

الآن

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

يمكن استخدام هذه التعبيرات لإثبات نظرية الأعداد الأولية باستخدام تحويل ميلين العكسي. تُعد دالة ريمان لحساب الأعداد الأولية أسهل في التعامل، ويمكن استخلاص π ( x ) منها باستخدام معكوس موبيوس .

يمكن إعطاء دالة زيتا لريمان عن طريق تحويل ميلين ^{[ 42 ]}

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

من حيث دالة ثيتا لجاكوبي

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

مع ذلك، لا يتقارب هذا التكامل إلا إذا كان الجزء الحقيقي من s أكبر من 1 ، ولكن يمكن تنظيمه. وهذا يعطينا الصيغة التالية لدالة زيتا، وهي دالة معرفة جيدًا لجميع قيم s باستثناء 0 و 1 :

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

دالة زيتا لريمان هي دالة ميرومورفية ذات قطب واحد من الرتبة الأولى عند s = 1. وبالتالي، يمكن توسيعها كمتسلسلة لوران حول s = 1 ؛ ويكون تطور المتسلسلة كما يلي ^{[ 43 ].}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

تُسمى الثوابت γ _n هنا بثوابت ستيلتجس ، ويمكن تعريفها بالنهاية .

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

الحد الثابت γ ₀ هو ثابت أويلر-ماسكيروني .

لكل s ∈${\displaystyle \mathbb {C} }$، s ≠ 1 ، العلاقة التكاملية (انظر صيغة أبيل-بلانا )

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)\ }}\ \operatorname {d} t}$

ينطبق هذا، والذي يمكن استخدامه للتقييم العددي لدالة زيتا.

استنادًا إلى نظرية التحليل إلى عوامل لـ وييرشتراس ، قدم هادامارد توسيع الضرب اللانهائي

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

حيث يكون الضرب على الأصفار غير التافهة ρ للدالة ζ ، ويرمز الحرف γ مرة أخرى إلى ثابت أويلر-ماسكيروني . ويكون توسيع الضرب اللانهائي أبسط كما يلي:

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

يُظهر هذا الشكل بوضوح القطب البسيط عند s = 1 ، والأصفار التافهة عند −2، −4، ... نتيجةً لحد دالة غاما في المقام، والأصفار غير التافهة عند s = ρ . (لضمان التقارب في الصيغة الأخيرة، يجب حساب حاصل الضرب على "أزواج متطابقة" من الأصفار، أي يجب دمج عوامل زوج من الأصفار من الشكل ρ و 1 − ρ ).

تم التكهن بوجود متسلسلة متقاربة عالميًا لدالة زيتا، صالحة لجميع الأعداد المركبة s باستثناء s = 1 + 2π i / ln 2 n لبعض الأعداد الصحيحة n ، من قبل كونراد كنوب في عام 1926 ^{[ 44 ]} وأثبتها هيلموت هاس في عام 1930 ^{[ 45 ]} (انظر مجموع أويلر ):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

ظهرت السلسلة في ملحق لورقة هاس، ونُشرت للمرة الثانية بواسطة جوناثان سوندو في عام 1994. ^{[ 46 ]}

كما أثبت هاس السلاسل المتقاربة عالميًا

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

في نفس المنشور. ^{[ 45 ]} وقد وجد بحث أجراه ياروسلاف بلاغوشين ^{[ 47 ] [ 44 ]} أن سلسلة مماثلة ومكافئة قد نشرها جوزيف سير في عام 1926. ^{[ 48 ]}

في عام 1997، قدم ك. ماسلانكا سلسلة أخرى متقاربة عالميًا (باستثناء s = 1 ) لدالة زيتا لريمان:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}\prod _{i=1}^{k}(i-{\frac {s}{2}}){\biggl )}{\frac {A_{k}}{k!}}={\frac {1}{s-1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\biggl (}1-{\frac {s}{2}}{\biggl )}_{k}{\frac {A_{k}}{k!}}}$

حيث المعاملات الحقيقية${\displaystyle A_{k}}$يتم الحصول عليها من خلال:

${\displaystyle A_{k}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}(2j+1)\zeta (2j+2)=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{2j+2}\pi ^{2j+2}}{\left(2\right)_{j}\left({\frac {1}{2}}\right)_{j}}}}$

هنا ، B _n هي أعداد برنولي، و ( x ) _k يرمز إلى رمز بوخامر. ^{[ 49 ] [ 50 ]}

تجدر الإشارة إلى أن هذا التمثيل لدالة زيتا هو في جوهره استيفاءٌ ذو عُقد، حيث تمثل العُقد النقاط s = 2، 4، 6، ... ، أي تلك النقاط التي تُعرف فيها قيم زيتا بدقة، كما أوضح أويلر. وقدّم فيليب فلاجويه في عام 2006 برهانًا أنيقًا ومختصرًا جدًا لهذا التمثيل لدالة زيتا، استنادًا إلى نظرية كارلسون . ^{[ 51 ]}

السلوك التقاربي للمعاملات${\displaystyle A_{k}}$الأمر غريب نوعاً ما: من أجل النمو${\displaystyle k}$عند قيم معينة، نلاحظ تذبذبات منتظمة ذات سعة متناقصة أُسّيًا تقريبًا وتردد متناقص ببطء (تقريبًا مثل${\displaystyle k^{-2/3}}$باستخدام طريقة نقطة السرج، يمكننا إثبات أن

${\displaystyle A_{k}\sim {\frac {4\pi ^{3/2}}{\sqrt {3\kappa }}}\exp {\biggl (}-{\frac {3\kappa }{2}}+{\frac {\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}\cos {\biggl (}{\frac {4\pi }{3}}-{\frac {3{\sqrt {3}}\kappa }{2}}+{\frac {{\sqrt {3}}\pi ^{2}}{4\kappa }}{\biggl )}}$

أين${\displaystyle \kappa }$يرمز إلى:

${\displaystyle \kappa$ :={\sqrt[{3}]{\pi ^{2}k}}}

(انظر ^{[ 52 ]} لمزيد من التفاصيل).

استنادًا إلى هذا التمثيل، قدّم لويس بايز دوارته في عام 2003 معيارًا جديدًا لفرضية ريمان. ^{[ 53 ] [ 54 ] [ 55 ]} أي، إذا عرّفنا المعاملات c _k على النحو التالي:

${\displaystyle c_{k}:=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}{\frac {1}{\zeta (2j+2)}}}$

إذن، فإن فرضية ريمان تعادل ما يلي:

${\displaystyle c_{k}={\mathcal {O}}\left(k^{-3/4+\varepsilon }\right)\qquad (\forall \varepsilon >0)}$

قام بيتر بورواين بتطوير خوارزمية تطبق كثيرات حدود تشيبيشيف على دالة ديريشليه إيتا لإنتاج سلسلة متقاربة بسرعة كبيرة مناسبة للحسابات العددية عالية الدقة . ^{[ 56 ]}

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

هنا p _n # هي المتتالية الأولية و J _k هي دالة جوردان . ^{[ 57 ]}

يمكن تمثيل الدالة ζ ، عندما يكون Re( s ) > 1 ، بواسطة متسلسلة لانهائية

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

حيث k ∈ {−1, 0} ، و W _k هو الفرع k من دالة لامبرت W ، و B ^{( μ )} _{n ,≥2} هو عدد برنولي متعدد غير كامل. ^{[ 58 ]}

يتم تكرار الدالة g ( x ) = x (1 + ⌊ x ⁻¹ ⌋ ) − 1 لإيجاد المعاملات التي تظهر في متسلسلات إنجل . ^{[ 59 ]}

تحويل ميلين للخريطة${\displaystyle g(x)}$ترتبط بدالة زيتا لريمان بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

ترتبط الحركة البراونية ودالة زيتا لريمان من خلال دوال توليد العزوم للعمليات العشوائية المشتقة من الحركة البراونية . ^{[ 60 ]}

في نظرية الضبط الموسيقي ، يمكن استخدام دالة زيتا لإيجاد تقسيمات متساوية للأوكتاف (EDOs) تُقارب بدقة فواصل السلسلة التوافقية . بالنسبة للقيم المتزايدة لـ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$، قيمة

${\displaystyle \left\vert \zeta \left({\frac {1}{2}}+{\frac {2\pi {i}}{\ln {(2)}}}t\right)\right\vert }$

تظهر قمم بالقرب من الأعداد الصحيحة التي تتوافق مع هذه القيم المرجعية. ^{[ 63 ]} تشمل الأمثلة خيارات شائعة مثل 12 و19 و53. ^{[ 64 ]}

تظهر دالة زيتا المحسوبة عند أعداد صحيحة موجبة متساوية البعد في تمثيلات متسلسلة لانهائية لعدد من الثوابت. ^{[ 65 ]}

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

في الواقع، تعطي الحدود الزوجية والفردية المجموعين

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

و

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

تُعطى النسخ المُعَلمة من المجاميع المذكورة أعلاه بواسطة

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(\pi t)\right)}$

و

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

مع | t | < 2 وحيث${\displaystyle \psi }$و${\displaystyle \gamma }$و هما دالة بوليغاما وثابت أويلر على التوالي، بالإضافة إلى

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

وكلها متصلة عند${\displaystyle t=1}$وتشمل المبالغ الأخرى

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}=\ln 2}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right)}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\Im {\bigl (}(1+i)^{n}-1-i^{n}{\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$