المربع (الجبر)

في الرياضيات ، المربع هو ناتج ضرب عدد في نفسه. ويُستخدم الفعل "يُربّع" للدلالة على هذه العملية. التربيع هو نفسه رفع العدد إلى القوة 2 ، ويُرمز إليه بالرقم 2 في الأعلى ؛ على سبيل المثال، يُمكن كتابة مربع 3 على النحو التالي: ^3² ، وهو العدد 9. في بعض الحالات التي لا تتوفر فيها الرموز المرتفعة، كما هو الحال في لغات البرمجة أو ملفات النصوص العادية ، يُمكن استخدام الرموز ( علامة الإقحام ) أو بدلاً منها . الصفة التي تُقابل التربيع هي "تربيعي" . x^2x**2x²

يُطلق على مربع عدد صحيح أيضًا اسم العدد المربع أو المربع الكامل . في الجبر ، غالبًا ما تُعمم عملية التربيع لتشمل كثيرات الحدود ، والتعبيرات الأخرى ، أو القيم في أنظمة القيم الرياضية غير الأعداد. على سبيل المثال، مربع كثيرة الحدود الخطية ( س + ١) هو كثيرة الحدود التربيعية ( س + ١) ^² = س² ⁺ ٢ س + ١ .

من أهم خصائص التربيع، سواءً للأعداد أو للعديد من الأنظمة الرياضية الأخرى، أن مربع العدد x (لجميع الأعداد x ) يساوي مربع معكوسه الجمعي −x . أي أن دالة التربيع تحقق المتطابقة x² ⁼ (−x ) ² ^. ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا بأن دالة التربيع دالة زوجية .

تُعرّف عملية التربيع دالة حقيقية تُسمىالدالة التربيعية أودالة التربيع .مجالهاخط الأعداد الحقيقيةبأكمله، وصورتهاهيمجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة.

تحافظ دالة التربيع على ترتيب الأعداد الموجبة: فالأعداد الأكبر لها مربعات أكبر. بعبارة أخرى، دالة التربيع دالة رتيبة على الفترة [ 0, +∞) . أما بالنسبة للأعداد السالبة، فالأعداد ذات القيمة المطلقة الأكبر لها مربعات أكبر، لذا فإن دالة التربيع دالة متناقصة رتيبة على الفترة ⁽ −∞, 0 ) . ومن ثم، فإن الصفر هو الحد الأدنى (العالمي) لدالة التربيع. مربع العدد x² يكون أصغر من x (أي x² < x ) إذا وفقط إذا كان ⁰ < x < 1 ، أي إذا كان x ينتمي إلى الفترة المفتوحة (0, 1) . وهذا يعني أن مربع أي عدد صحيح لا يكون أبدًا أصغر من العدد الأصلي x .

كل عدد حقيقي موجب هو مربع عددين فقط، أحدهما موجب والآخر سالب. الصفر هو مربع عدد واحد فقط، وهو نفسه. لهذا السبب، يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي ، التي تربط كل عدد حقيقي غير سالب بالعدد غير السالب الذي مربعه هو العدد الأصلي.

لا يمكن إيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب ضمن نظام الأعداد الحقيقية ، لأن مربعات جميع الأعداد الحقيقية غير سالبة . ويمكن استغلال عدم وجود جذور تربيعية حقيقية للأعداد السالبة لتوسيع نظام الأعداد الحقيقية ليشمل الأعداد المركبة ، وذلك بافتراض وجود الوحدة التخيلية i ، التي تُعدّ أحد الجذور التربيعية للعدد -1 . 

تم تعميم خاصية "كل عدد حقيقي غير سالب هو مربع" لتشمل مفهوم الحقل المغلق الحقيقي ، وهو حقل مرتب بحيث يكون كل عنصر غير سالب فيه مربعًا، ولكل متعددة حدود من الدرجة الفردية جذر. لا يمكن تمييز الحقول المغلقة الحقيقية عن حقل الأعداد الحقيقية من خلال خصائصها الجبرية: فكل خاصية من خصائص الأعداد الحقيقية، والتي يمكن التعبير عنها بمنطق الرتبة الأولى (أي بصيغة تمثل فيها المتغيرات المُكمّمة بـ ∀ أو ∃ عناصر، لا مجموعات)، صحيحة لكل حقل مغلق حقيقي، والعكس صحيح، فكل خاصية من خصائص منطق الرتبة الأولى، الصحيحة لحقل مغلق حقيقي محدد، صحيحة أيضًا للأعداد الحقيقية.

توجد عدة استخدامات رئيسية لدالة التربيع في الهندسة.

يدل اسم دالة التربيع على أهميتها في تعريف المساحة : فهي مشتقة من حقيقة أن مساحة مربع طول ضلعه l تساوي l² . وتعتمد المساحة تربيعيًا على الحجم: فمساحة شكل أكبر بمقدار n مرة تساوي n² ^مرة . وينطبق هذا على المساحات في ثلاثة أبعاد كما في المستوى: فعلى سبيل المثال، تتناسب مساحة سطح الكرة طرديًا مع مربع نصف قطرها، وهي حقيقة تتجلى فيزيائيًا من خلال قانون التربيع العكسي الذي يصف كيفية تغير قوة القوى الفيزيائية، مثل الجاذبية، تبعًا للمسافة ^.   

ترتبط دالة التربيع بالمسافة من خلال نظرية فيثاغورس وتعميمها، قانون متوازي الأضلاع . المسافة الإقليدية ليست دالة سلسة : فالرسم البياني ثلاثي الأبعاد للمسافة من نقطة ثابتة يشكل مخروطًا ، بنقطة غير سلسة عند رأسه. مع ذلك، فإن مربع المسافة (يرمز له ^{بـ d²} أو r² ) ، الذي يمثله قطع مكافئ ، هو دالة سلسة وتحليلية .

حاصل الضرب القياسي لمتجه إقليدي مع نفسه يساوي مربع طوله: v ⋅ v = v² ^. ويمكن تعميم ذلك ليشمل الصيغ التربيعية في الفضاءات الخطية عبر الضرب الداخلي . يُعد موتر القصور الذاتي في الميكانيكا مثالاً على الصيغة التربيعية، إذ يُظهر علاقة تربيعية بين عزم القصور الذاتي والطول .

يوجد عدد لا نهائي من الثلاثيات الفيثاغورية ، وهي مجموعات من ثلاثة أعداد صحيحة موجبة بحيث يكون مجموع مربعي العددين الأولين مساوياً لمربع العدد الثالث. كل ثلاثية من هذه الثلاثيات تمثل أضلاع المثلث القائم الزاوية.

تُعرَّف الدالة التربيعية في أي حقل أو حلقة . يُسمى العنصر الموجود في صورة هذه الدالة مربعًا ، وتُسمى الصور العكسية للمربع جذورًا تربيعية .

يُعدّ مفهوم التربيع ذا أهمية خاصة في الحقول المنتهية Z / pZ المُشكّلة من الأعداد بتردد عدد أولي فردي p . يُسمى العنصر غير الصفري في هذا الحقل باقيًا تربيعيًا إذا كان مربعًا في Z / pZ ، وإلا يُسمى باقيًا غير تربيعي. الصفر، مع كونه مربعًا، لا يُعتبر باقيًا تربيعيًا. يحتوي كل حقل منتهٍ من هذا النوع على ( p - 1)/2 من البواقي التربيعية و ( p - 1)/2 من البواقي غير التربيعية. تُشكّل البواقي التربيعية زمرةً تحت الضرب. تُستخدم خصائص البواقي التربيعية على نطاق واسع في نظرية الأعداد .

وبشكل عام، في الحلقات، قد يكون للدالة المربعة خصائص مختلفة تُستخدم أحيانًا لتصنيف الحلقات.

قد يكون الصفر مربعًا لبعض العناصر غير الصفرية. تُسمى الحلقة التبديلية التي لا يكون مربع أي عنصر غير صفري فيها صفرًا أبدًا حلقةً مختزلة . وبشكل أعم، في الحلقة التبديلية، يكون المثالي الجذري مثاليًا I بحيث ${\displaystyle x^{2}\in I}$يشير إلى${\displaystyle x\in I}$كلا المفهومين مهمان في الهندسة الجبرية ، بسبب نظرية هيلبرت للأصفار .

يُطلق على العنصر في الحلقة الذي يساوي مربعه اسم عنصر متساوي القوة . في أي حلقة، يُعتبر كل من 0 و1 عنصرين متساويي القوة.لا توجد عناصر متساوية القوة أخرى في الحقول، وبشكل أعم في المجالات التكاملية . مع ذلك، تحتوي حلقة الأعداد الصحيحة بتردد n على 2^ ^k عنصرًا متساوي القوة، حيث k هو عدد العوامل الأولية المختلفة للعدد n . تُسمى الحلقة التبديلية التي يكون فيها كل عنصر مساويًا لمربعه (أي أن كل عنصر متساوي القوة) حلقة منطقية ؛ ومن الأمثلة عليها في علوم الحاسوب الحلقة التي عناصرها أعداد ثنائية ، حيث تكون عملية الضرب هي AND على مستوى البت، وعملية الجمع هي XOR على مستوى البت.  

في حلقة مرتبة كليًا ، ^يكون x² ≥ 0 لأي قيمة لـ x . علاوة على ذلك، ^يكون x² = 0 إذا وفقط إذا كان x = 0 .

في الجبر التبادلي الفائق حيث يكون العدد 2 قابلاً للعكس، فإن مربع أي عنصر فردي يساوي صفرًا.

إذا كانت A شبه زمرة تبديلية ، فإن المرء لديه

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.}$

في لغة الأشكال التربيعية ، تُشير هذه المساواة إلى أن دالة التربيع هي "شكل يسمح بالتركيب". في الواقع، تُعدّ دالة التربيع الأساس الذي تُبنى عليه الأشكال التربيعية الأخرى التي تسمح أيضًا بالتركيب. وقد قدّم ل. إ. ديكسون هذه الطريقة لإنتاج الأوكتونيونات من الكواترنيونات عن طريق المضاعفة. ثمّ قام أ. أ. ألبرت بصياغة طريقة المضاعفة رسميًا، بدءًا من حقل الأعداد الحقيقية.${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم دالة التربيع، ومضاعفتها للحصول على حقل الأعداد المركبة ذي الصيغة التربيعية x² + y² ^، ثم مضاعفتها مرة أخرى للحصول على الكواترنيونات. تُسمى عملية المضاعفة هذه ^ببناء كايلي-ديكسون ، وقد عُممت لتكوين جبر ذي بُعد 2ⁿ ^على حقل F مع عملية الالتفاف.

الدالة المربعة z ² هي "معيار" جبر التركيب${\displaystyle \mathbb {C} }$، حيث تشكل دالة الهوية انعكاسًا تافهًا لبدء عمليات البناء Cayley–Dickson التي تؤدي إلى جبر التركيب الثنائي المركب، والرباعي الرباعي ، والثنائي الأكتونيون.

في الأعداد المركبة ، دالة التربيع${\displaystyle z\to z^{2}}$هو غطاء مزدوج بمعنى أن كل عدد مركب غير صفري له جذران تربيعيان بالضبط.

يُطلق على مربع القيمة المطلقة لعدد مركب اسم مربعه المطلق ، أو معياره التربيعي ، أو مقداره التربيعي . ^{[ 1 ]} وهو حاصل ضرب العدد المركب في مرافقه المركب ، ويساوي مجموع مربعي الجزأين الحقيقي والتخيلي للعدد المركب.

مربع العدد المركب المطلق هو دائمًا عدد حقيقي غير سالب، أي يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان العدد المركب يساوي صفرًا. يُعد حسابه أسهل من حساب القيمة المطلقة (لعدم وجود جذر تربيعي)، وهو دالة سلسة ذات قيم حقيقية . بسبب هاتين الخاصيتين، يُفضل استخدام مربع العدد المركب المطلق على القيمة المطلقة في الحسابات الصريحة وعند استخدام أساليب التحليل الرياضي (مثل التحسين أو التكامل ).

بالنسبة للمتجهات المعقدة ، يمكن تعريف الضرب النقطي باستخدام النقل المرافق ، مما يؤدي إلى المعيار التربيعي .

تُعد المربعات شائعة في الجبر، وبشكل عام، في كل فرع من فروع الرياضيات تقريبًا، وكذلك في الفيزياء حيث يتم تعريف العديد من الوحدات باستخدام المربعات والمربعات العكسية : انظر أدناه .

تُعد طريقة المربعات الصغرى الطريقة القياسية المستخدمة مع الأنظمة ذات التحديد الزائد .

يُستخدم التربيع في الإحصاء ونظرية الاحتمالات لتحديد الانحراف المعياري لمجموعة من القيم، أو متغير عشوائي . وهو انحراف كل قيمة xᵢ عن المتوسط _.  ${\displaystyle {\overline {x}}}$يُعرَّف جزء من المجموعة بأنه الفرق${\displaystyle x_{i}-{\overline {x}}}$تُربّع هذه الانحرافات، ثم يُحسب متوسط ​​المجموعة الجديدة من الأرقام (كل منها موجب). هذا المتوسط ​​هو التباين ، وجذره التربيعي هو الانحراف المعياري.

• المكعب (الجبر)
• المسافة الإقليدية
• الأسس بالتربيع
• المسألة السابعة عشرة لهيلبرت ، لتمثيل كثيرات الحدود الموجبة كمجموع مربعات الدوال الكسرية
• موتر متري
• حلقة متعددة الحدود
• مجموع مربعات كثيرات الحدود ، هو تمثيل لكثير حدود غير سالب على أنه مجموع مربعات كثيرات الحدود
• المعادلة التربيعية
• كثير الحدود الخالي من المربعات
• مجموع المربعات (صفحة توضيح مع روابط ذات صلة متنوعة)

• مارشال، موراي. كثيرات الحدود الموجبة ومجموع المربعات. دراسات وبحوث رياضية، 146. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 2008. 187 صفحة + 12 صفحة تمهيدية. ISBN 978-0-8218-4402-1، ISBN 0-8218-4402-4
• راجواد، أ. ر. (1993). المربعات . سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن. المجلد  171. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .