فضاء المتجهات

جمع المتجهات: يظهر مجموع المتجهين v (الأزرق) و w (الأحمر) v + w (الأسود).

الضرب القياسي: يتم عرض المضاعفات − v و 2 w .

يتكون المثال الأول للفضاء المتجهي من أسهم في مستوى ثابت ، تبدأ من نقطة ثابتة واحدة. يُستخدم هذا في الفيزياء لوصف القوى أو السرعات . ^{[ 30 ]} إذا كان لدينا سهمان من هذا النوع، v و w ، فإن متوازي الأضلاع الذي يشكله هذان السهمان يحتوي على سهم قطري واحد يبدأ من نقطة الأصل أيضًا. يُسمى هذا السهم الجديد مجموع السهمين، ويُرمز له بـ v + w . في حالة وجود سهمين على نفس الخط، يكون مجموعهما هو السهم الموجود على هذا الخط والذي يكون طوله مساويًا لمجموع أو فرق طولي السهمين، وذلك بحسب اتجاههما. هناك عملية أخرى يمكن إجراؤها على الأسهم وهي تغيير الحجم: إذا كان لدينا أي عدد حقيقي موجب a ، فإن السهم الذي له نفس اتجاه v ، ولكنه يتمدد أو يتقلص بضرب طوله في a ، يُسمى ضرب v في a ، ويُرمز له بـ a v . عندما يكون a سالبًا، يُعرَّف a v على أنه السهم الذي يشير إلى الاتجاه المعاكس. ^{[ 31 ]}

يوضح الشكل التالي بعض الأمثلة: إذا كانت قيمة a تساوي 2 ، فإن المتجه الناتج a w له نفس اتجاه w ، ولكنه ممتد إلى ضعف طول w (الصورة الثانية). وبالمثل، فإن 2 w هو مجموع w + w . علاوة على ذلك، فإن (−1) v = − v له الاتجاه المعاكس ونفس طول v (المتجه الأزرق المتجه للأسفل في الصورة الثانية).

مثال رئيسي آخر للفضاء المتجهي هو أزواج الأعداد الحقيقية x و y . ترتيب عنصري x و y مهم، لذا يُسمى هذا الزوج أيضًا بالزوج المرتب . يُكتب هذا الزوج على الصورة ( x , y ) . يُعرَّف مجموع زوجين من هذه الأزواج وضرب زوج في عدد ما كما يلي: ^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})&=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),\\a(x,y)&=(ax,ay).\end{aligned}}}$$

يختزل المثال الأول أعلاه إلى هذا المثال إذا تم تمثيل السهم بزوج من الإحداثيات الديكارتية لنقطة نهايته.

أبسط مثال على فضاء متجهي فوق حقل F هو الحقل F نفسه، حيث يُنظر إلى عملية الجمع فيه على أنها جمع متجهي، وعملية الضرب فيه على أنها ضرب قياسي. وبشكل أعم، فإن جميع المتتاليات ذات الطول n ( n -tuples ) $${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$ تشكل العناصر aᵢ من _الحقل F فضاءً متجهيًا يُرمز إليه عادةً بـ ^Fₙ ويُسمى فضاءً إحداثيًا . ^{[ 33 ]} الحالة n = 1 هي أبسط مثال مذكور أعلاه، حيث يُعتبر الحقل F أيضًا فضاءً متجهيًا على نفسه. أما الحالة F = R و n = 2 (أي R² ⁾ فتُختزل إلى المثال السابق.

تُشكّل مجموعة الأعداد المركبة C ، وهي الأعداد التي يمكن كتابتها على الصورة x + iy للأعداد الحقيقية x و y حيث i هي الوحدة التخيلية ، فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية مع عمليتي الجمع والضرب المعتادتين: ( x + iy ) + ( a + ib ) = ( x + a ) + i ( y + b ) و c ⋅ ( x + iy ) = ( c ⋅ x ) + i ( c ⋅ y ) للأعداد الحقيقية x و y و a و b و c . وتنبثق بديهيات الفضاء المتجهي المختلفة من حقيقة أن القواعد نفسها تنطبق على حساب الأعداد المركبة. ويُعدّ مثال الأعداد المركبة مماثلاً جوهريًا (أي أنه متماثل مع) الفضاء المتجهي للأزواج المرتبة من الأعداد الحقيقية المذكور أعلاه: فإذا اعتبرنا العدد المركب x + iy ممثلاً للزوج المرتب ( x , y ) في المستوى المركب، فسنجد أن قواعد الجمع والضرب القياسي تتطابق تمامًا مع تلك الواردة في المثال السابق .

بشكلٍ أعم، تُقدّم امتدادات الحقول فئةً أخرى من أمثلة الفضاءات المتجهة، لا سيما في الجبر ونظرية الأعداد الجبرية : الحقل F الذي يحتوي على حقل أصغر E هو فضاء متجهي E ، وذلك بحسب عمليتي الضرب والجمع المعطيتين لـ F. ^{[ 34 ]} على سبيل المثال، الأعداد المركبة هي فضاء متجهي على R ، وامتداد الحقل${\displaystyle \mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})}$هو فضاء متجهي على Q.

تشكل الدوال من أي مجموعة ثابتة Ω إلى حقل F فضاءات متجهة أيضًا، وذلك بإجراء عمليات الجمع والضرب القياسي نقطة بنقطة. أي أن مجموع دالتين f و g هو الدالة${\displaystyle (f+g)}$مقدم من $${\displaystyle (f+g)(w)=f(w)+g(w),}$$ وينطبق الأمر نفسه على الضرب. تظهر فضاءات الدوال هذه في العديد من الحالات الهندسية، عندما يكون Ω خط الأعداد الحقيقية أو فترة، أو مجموعات جزئية أخرى من R. تتميز العديد من المفاهيم في الطوبولوجيا والتحليل، مثل الاستمرارية والتكاملية والتفاضلية ، بسلوك جيد فيما يتعلق بالخطية : فمجاميع ومضاعفات الدوال التي تمتلك هذه الخاصية لا تزال تحتفظ بها. ^{[ 35 ]} لذلك، فإن مجموعة هذه الدوال هي فضاءات متجهة، وتندرج دراستها ضمن التحليل الوظيفي .

ترتبط أنظمة المعادلات الخطية المتجانسة ارتباطًا وثيقًا بالفضاءات المتجهة. ^{[ 36 ]} على سبيل المثال، حلول $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}&&a\,&&+\,3b\,&\,+&\,&c&\,=0\\4&&a\,&&+\,2b\,&\,+&\,2&c&\,=0\\\end{alignedat}}}$$ يتم تحديدها بواسطة ثلاثيات ذات قيم عشوائية${\displaystyle a,}$${\displaystyle b=a/2,}$و${\displaystyle c=-5a/2.}$تشكل هذه المصفوفات فضاءً متجهيًا: فمجموع ومضاعفات هذه الثلاثيات العددية لا تزال تحقق النسب نفسها للمتغيرات الثلاثة؛ وبالتالي فهي حلول أيضًا. ويمكن استخدام المصفوفات لتكثيف المعادلات الخطية المتعددة كما سبق في معادلة متجهية واحدة، وهي:

$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} ,}$$

أين${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}}$هي المصفوفة التي تحتوي على معاملات المعادلات المعطاة،${\displaystyle \mathbf {x} }$هو المتجه${\displaystyle (a,b,c),}$${\displaystyle A\mathbf {x} }$يرمز إلى حاصل ضرب المصفوفات ، و${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0)}$هو المتجه الصفري. وبالمثل، تشكل حلول المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة فضاءات متجهة. على سبيل المثال،

$${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)+2f^{\prime }(x)+f(x)=0}$$

العائد${\displaystyle f(x)=ae^{-x}+bxe^{-x},}$أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي ثوابت اختيارية، و${\displaystyle e^{x}}$هي الدالة الأسية الطبيعية .

تُعدّ المصفوفات مفهومًا مفيدًا لترميز التحويلات الخطية. ^{[ 45 ]} تُكتب على شكل مصفوفة مستطيلة من القيم العددية كما في الصورة على اليمين. أي مصفوفة من الرتبة m × n${\displaystyle A}$ينتج عن ذلك تحويل خطي من F ⁿ إلى F ^m ، وذلك على النحو التالي $${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right),}$$ أين${\textstyle \sum }$يشير إلى الجمع ، أو باستخدام ضرب المصفوفة${\displaystyle A}$مع متجه الإحداثيات${\displaystyle \mathbf {x} }$:

$${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} .}$$

علاوة على ذلك، بعد اختيار أساسات V و W ، يتم تمثيل أي تطبيق خطي f  : V → W بشكل فريد بواسطة مصفوفة من خلال هذا التعيين. ^{[ 46 ]}

محدد المصفوفة المربعة A ، det( A )، هو قيمة عددية تحدد ما إذا كان التحويل المرتبط بها تماثلاً أم لا: ولكي يكون كذلك، يكفي ويلزم أن يكون المحدد غير صفري. ^{[ 47 ]} يكون التحويل الخطي لـ Rⁿ ^، الموافق لمصفوفة حقيقية من الرتبة n × n ، محافظًا على الاتجاه إذا وفقط إذا كان محدده موجبًا.

تُعدّ التحويلات الداخلية ، وهي دوال خطية f  : V → V ، ذات أهمية خاصة، إذ يُمكن في هذه الحالة مقارنة المتجهات v بصورتها تحت تأثير f، أي f(v). يُطلق على أي متجه غير صفري v يحقق λv = f(v)، حيث λ عدد قياسي ، اسم متجه ذاتي لـ f بقيمة ذاتية λ . [ 48 ] وبالمثل ، فإن v هو عنصر من نواة الفرق f − λ ^{· Id (} حيث Id هي دالة التطابق V → V ) . إذا كانت V ذات أبعاد محدودة ، يُمكن إعادة صياغة ذلك باستخدام المحددات: f ذات القيمة الذاتية λ تُكافئ ما يلي: $${\displaystyle \det(f-\lambda \cdot \operatorname {Id} )=0.}$$ بتحديد تعريف المحدد، يتضح أن التعبير الموجود على الجانب الأيسر هو دالة متعددة الحدود في λ ، تُسمى متعددة الحدود المميزة للدالة f . ^{[ 49 ]} إذا كان الحقل F كبيرًا بما يكفي لاحتواء جذر لهذه متعددة الحدود (وهو ما يحدث تلقائيًا عندما يكون F مغلقًا جبريًا ، مثل F = C )، فإن أي تطبيق خطي له متجه ذاتي واحد على الأقل. قد يمتلك الفضاء المتجهي V أساسًا ذاتيًا ، وهو أساس يتكون من المتجهات الذاتية، أو قد لا يمتلكه . تخضع هذه الظاهرة للصيغة القانونية لجوردان للتطبيق. ^{[ 50 ]} تشكل مجموعة جميع المتجهات الذاتية المناظرة لقيمة ذاتية معينة للدالة f فضاءً متجهيًا يُعرف بالفضاء الذاتي المناظر لتلك القيمة الذاتية (ولـ f ) المعنية.

مجموعة جزئية غير فارغة${\displaystyle W}$فضاء متجهي${\displaystyle V}$التي تكون مغلقة تحت عمليتي الجمع والضرب القياسي (وبالتالي تحتوي على${\displaystyle \mathbf {0} }$متجه من${\displaystyle V}$يُطلق عليه اسم الفضاء الفرعي الخطي لـ${\displaystyle V}$أو ببساطة فضاء فرعي من${\displaystyle V}$عندما يكون الفضاء المحيط فضاءً متجهيًا بشكل لا لبس فيه. ^{[ 51 ] [ ملاحظة 4 ]} الفضاءات الجزئية من${\displaystyle V}$هي فضاءات متجهة (على نفس الحقل) بحد ذاتها. تقاطع جميع الفضاءات الجزئية التي تحتوي على مجموعة معينة${\displaystyle S}$يُطلق على فضاء المتجهات اسم مداه ، وهو أصغر فضاء جزئي من${\displaystyle V}$تحتوي على المجموعة${\displaystyle S}$. يُعبَّر عن الامتداد بدلالة العناصر، وهو الفضاء الجزئي الذي يتكون من جميع التركيبات الخطية لعناصر${\displaystyle S}$[ ^{52 ]​}

يُشار إلى الفضاء الجزئي الخطي ذي البعد 1 و2 على التوالي بالخط (أو الخط المتجهي ) والمستوى . إذا كان W فضاءً متجهيًا ذا بُعد n ، فإن أي فضاء جزئي ذي بُعد أقل بواحد، أي ذي بُعد${\displaystyle n-1}$يُطلق عليه اسم المستوى الفائق . ^{[ 53 ]}

الفضاءات المتجهة الخارجة هي النظير للفضاءات الجزئية . ^{[ 54 ]} بالنظر إلى أي فضاء جزئي${\displaystyle W\subseteq V}$، فضاء القسمة${\displaystyle V/W}$(""${\displaystyle V}$modulo${\displaystyle W}$يُعرَّف ") على النحو التالي: كمجموعة، يتكون من $${\displaystyle \mathbf {v} +W=\{\mathbf {v} +\mathbf {w}$$ :\mathbf {w} \in W\},} حيث${\displaystyle \mathbf {v} }$هو متجه عشوائي في${\displaystyle V}$مجموع عنصرين من هذا القبيل${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{2}+W}$يكون${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}\right)+W}$والضرب القياسي يُعطى بواسطة${\displaystyle a\cdot (\mathbf {v} +W)=(a\cdot \mathbf {v} )+W}$النقطة الأساسية في هذا التعريف هي أن${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+W=\mathbf {v} _{2}+W}$إذا وفقط إذا كان الفرق${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$يكمن في${\displaystyle W}$^{[ ملاحظة 5 ]} بهذه الطريقة ، "ينسى" فضاء القسمة المعلومات الموجودة في الفضاء الجزئي${\displaystyle W}$.

النواة​${\displaystyle \ker(f)}$خريطة خطية${\displaystyle f:V\to W}$يتكون من متجهات${\displaystyle \mathbf {v} }$التي تم ربطها بـ${\displaystyle \mathbf {0} }$في${\displaystyle W}$[ ^{55 ]} النواة والصورة^​${\displaystyle \operatorname {im} (f)=\{f(\mathbf {v} ):\mathbf {v} \in V\}}$هي فضاءات جزئية من${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$[ ^{56 ]​}

ومن الأمثلة المهمة على ذلك نواة التحويل الخطي${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto A\mathbf {x} }$لبعض المصفوفات الثابتة${\displaystyle A}$نواة هذه الخريطة هي الفضاء الجزئي للمتجهات${\displaystyle \mathbf {x} }$بحيث${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$وهي تحديداً مجموعة حلول نظام المعادلات الخطية المتجانسة التي تنتمي إلى${\displaystyle A}$وينطبق هذا المفهوم أيضاً على المعادلات التفاضلية الخطية. $${\displaystyle a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0,}$$ حيث المعاملات${\displaystyle a_{i}}$وظائف في${\displaystyle x,}$أيضًا. في الخريطة المقابلة $${\displaystyle f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}},}$$ مشتقات الدالة​${\displaystyle f}$تظهر بشكل خطي (على عكس${\displaystyle f^{\prime \prime }(x)^{2}}$(على سبيل المثال). بما أن التفاضل عملية خطية (أي،${\displaystyle (f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }}$و${\displaystyle (c\cdot f)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }}$لثابت${\displaystyle c}$هذا التعيين خطي، ويُسمى مؤثرًا تفاضليًا خطيًا . على وجه الخصوص، حلول المعادلة التفاضلية${\displaystyle D(f)=0}$تشكيل فضاء متجهي (على R أو C ). ^{[ 57 ]}

يُعد وجود النوى والصور جزءًا من البيان القائل بأن فئة الفضاءات المتجهة (على حقل ثابت)${\displaystyle F}$) هي فئة تبديلية ، أي مجموعة من الكائنات الرياضية والخرائط التي تحافظ على البنية بينها ( فئة ) تتصرف بشكل مشابه لفئة الزمر التبديلية . ^{[ 58 ]} ولهذا السبب، فإن العديد من العبارات مثل نظرية التشاكل الأولى (وتسمى أيضًا نظرية الرتبة-العدم في المصطلحات المتعلقة بالمصفوفات) $${\displaystyle V/\ker(f)\;\equiv \;\operatorname {im} (f)}$$ ويمكن صياغة وإثبات نظرية التشاكل الثانية والثالثة بطريقة مشابهة جدًا للعبارات المقابلة للمجموعات .

يُعد الضرب المباشر للفضاءات المتجهة والمجموع المباشر للفضاءات المتجهة طريقتين لدمج عائلة مفهرسة من الفضاءات المتجهة في فضاء متجه جديد.

المنتج المباشر${\displaystyle \textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}}$من عائلة من الفضاءات المتجهة${\displaystyle V_{i}}$يتكون من مجموعة جميع الصفوف${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{i}\right)_{i\in I}}$والتي تحدد لكل فهرس${\displaystyle i}$في مجموعة فهارس معينة${\displaystyle I}$عنصر${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ل${\displaystyle V_{i}}$[ ^{59 ]} يتم إجراء الجمع والضرب القياسي عنصرًا عنصرًا. ومن أشكال هذا البناء الجمع المباشر ^.${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$(يُطلق عليه أيضًا اسم المنتج الثانوي ويُرمز إليه بـ)${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$حيث يُسمح فقط بالصفوف التي تحتوي على عدد محدود من المتجهات غير الصفرية. إذا كانت مجموعة الفهرس${\displaystyle I}$إذا كانت محدودة، فإن البنيتين تتفقان، لكنهما مختلفتان بشكل عام.

حاصل الضرب الموتري${\displaystyle V\otimes _{F}W,}$أو ببساطة${\displaystyle V\otimes W,}$من فضاءين متجهين${\displaystyle V}$و${\displaystyle W}$يُعدّ أحد المفاهيم الأساسية في الجبر متعدد الخطوط ، الذي يتناول توسيع مفاهيم مثل التحويلات الخطية لتشمل عدة متغيرات. التحويل الخطي هو تحويل خطي إلى متعدد المتغيرات.${\displaystyle g:V\times W\to X}$من المنتج الديكارتي${\displaystyle V\times W}$يُطلق عليه اسم ثنائي الخطية إذا${\displaystyle g}$هي علاقة خطية في كلا المتغيرين${\displaystyle \mathbf {v} }$و${\displaystyle \mathbf {w} .}$ أي بمعنى ثابت${\displaystyle \mathbf {w} }$الخريطة${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$خطي بالمعنى المذكور أعلاه، وكذلك بالنسبة للقيم الثابتة${\displaystyle \mathbf {v} .}$

يُعدّ حاصل الضرب الموتري فضاءً متجهيًا خاصًا يستقبل بشكل عام التحويلات الثنائية الخطية.${\displaystyle g,}$كما يلي. يُعرَّف بأنه فضاء متجهي يتكون من مجاميع (رسمية) محدودة من الرموز تسمى الموترات.$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} _{2}+\cdots +\mathbf {v} _{n}\otimes \mathbf {w} _{n},}$$ رهناً بالقواعد ^{[ 60 ]}$${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}a\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )~&=~(a\cdot \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} ~=~\mathbf {v} \otimes (a\cdot \mathbf {w} ),&&~~{\text{ where }}a{\text{ is a scalar}}\\(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\otimes \mathbf {w} ~&=~\mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {w} +\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {w} &&\\\mathbf {v} \otimes (\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})~&=~\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{1}+\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} _{2}.&&\\\end{alignedat}}}$$ تضمن هذه القواعد أن تكون الخريطة${\displaystyle f}$من${\displaystyle V\times W}$ل${\displaystyle V\otimes W}$هذا يربط بين صفين${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ل${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$هي ثنائية الخطية. تنص الخاصية العامة على أنه بالنظر إلى أي فضاء متجهي${\displaystyle X}$وأي خريطة ثنائية الخطية${\displaystyle g:V\times W\to X,}$توجد خريطة فريدة${\displaystyle u,}$موضح في الرسم التخطيطي بسهم منقط، والذي يتكون من${\displaystyle f}$يساوي${\displaystyle g}$:${\displaystyle u(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=g(\mathbf {v} ,\mathbf {w} ).}$^{[ 61 ]} وهذا ما يسمىالخاصية العالميةلضرب الموتر، وهو مثال على الطريقة - المستخدمة بكثرة في الجبر المجرد المتقدم - لتعريف الكائنات بشكل غير مباشر عن طريق تحديد الخرائط من أو إلى هذا الكائن.

يتم "قياس" المتجهات بتحديد معيار ، وهو مرجع يقيس أطوال المتجهات، أو باستخدام الضرب الداخلي ، الذي يقيس الزوايا بين المتجهات. ويُرمز إلى المعايير والضرب الداخلي بـ${\displaystyle |\mathbf {v} |}$و${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle ,}$على التوالي. إن معطى الضرب الداخلي يستلزم أنه يمكن تعريف أطوال المتجهات أيضًا، وذلك بتعريف المعيار المرتبط به.${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}.}$تُعرف الفضاءات المتجهة المزودة بهذه البيانات باسم الفضاءات المتجهة المعيارية وفضاءات الضرب الداخلي ، على التوالي. ^{[ 65 ]}

مساحة الإحداثيات${\displaystyle F^{n}}$يمكن تجهيزها بالمنتج النقطي القياسي : $${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$$ في${\displaystyle \mathbf {R} ^{2},}$وهذا يعكس المفهوم الشائع للزاوية بين متجهين${\displaystyle \mathbf {x} }$و${\displaystyle \mathbf {y} ,}$بحسب قانون جيب التمام : $${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.}$$ ولهذا السبب، فإن متجهين يحققان${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}$تُسمى هذه الفضاءات متعامدة . ويُستخدم أحد المتغيرات المهمة للضرب النقطي القياسي في فضاء مينكوفسكي :${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$مزود بضرب لورنتز ^{[ 66 ]}$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.}$$ على عكس الضرب النقطي القياسي، فهو ليس موجباً تماماً :${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle }$كما تأخذ قيمًا سالبة، على سبيل المثال، لـ${\displaystyle \mathbf {x} =(0,0,0,1).}$إن إبراز الإحداثي الرابع - الذي يُمثل الزمن ، بدلاً من ثلاثة أبعاد مكانية - يجعله مفيدًا للمعالجة الرياضية للنسبية الخاصة . تجدر الإشارة إلى أنه في اصطلاحات أخرى، غالبًا ما يُكتب الزمن على أنه المكون الأول، أو "الصفري"، بحيث يُكتب حاصل ضرب لورنتز على النحو التالي:$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}.}$$

تُعالج مسائل التقارب من خلال النظر في الفضاءات المتجهة.${\displaystyle V}$تحمل بنية متوافقة ، وهي بنية تسمح بالحديث عن العناصر القريبة من بعضها البعض . ^{[ 67 ]} التوافق هنا يعني أن الجمع والضرب القياسي يجب أن يكونا دالتين متصلتين . تقريبًا، إذا${\displaystyle \mathbf {x} }$و${\displaystyle \mathbf {y} }$في${\displaystyle V}$، و${\displaystyle a}$في${\displaystyle F}$إذا تفاوتت بمقدار محدد، فإن ذلك ينطبق أيضاً على${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$و${\displaystyle a\mathbf {x} .}$^{[ ملاحظة 6 ]} لفهم كيفية تحديد مقدار تغير قيمة عددية، الحقل${\displaystyle F}$يجب أن يحمل أيضًا بنية طوبولوجية في هذا السياق؛ والخيار الشائع هو الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة.

في مثل هذه الفضاءات المتجهة الطوبولوجية، يمكن للمرء أن ينظر في سلاسل من المتجهات. المجموع اللانهائي$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }f_{i}~=~\lim _{n\to \infty }f_{1}+\cdots +f_{n}}$$ يرمز إلى نهاية المجاميع الجزئية المحدودة المناظرة للمتتالية${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$من عناصر${\displaystyle V.}$على سبيل المثال، الـ${\displaystyle f_{i}}$قد تكون دوالًا (حقيقية أو مركبة) تنتمي إلى فضاء دوال معين${\displaystyle V,}$في هذه الحالة، تكون المتسلسلة متسلسلة دوال . يعتمد نمط تقارب المتسلسلة على الطوبولوجيا المفروضة على فضاء الدوال. في مثل هذه الحالات، يُعد التقارب النقطي والتقارب المنتظم مثالين بارزين. ^{[ 68 ]}

إحدى طرق ضمان وجود نهايات لبعض المتسلسلات اللانهائية هي حصر الاهتمام بالفضاءات التي تحتوي على أي متتالية كوشي ؛ يُسمى هذا الفضاء المتجهي فضاءً كاملاً . وبشكل عام، يكون الفضاء المتجهي كاملاً إذا احتوى على جميع النهايات اللازمة. على سبيل المثال، الفضاء المتجهي لكثيرات الحدود على الفترة [0, 1].${\displaystyle [0,1],}$إن تزويدها بطوبولوجيا التقارب المنتظم ليس كاملاً لأن أي دالة متصلة على${\displaystyle [0,1]}$يمكن تقريبها بشكل منتظم بواسطة متتالية من كثيرات الحدود، وفقًا لنظرية تقريب فايرشتراس . ^{[ 69 ]} في المقابل، فإن فضاء جميع الدوال المتصلة على${\displaystyle [0,1]}$تكون الطوبولوجيا التي لها نفس البنية كاملة. ^{[ 70 ]} يُنشئ المعيار طوبولوجيا من خلال تعريف أن سلسلة من المتجهات${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$يتقارب إلى${\displaystyle \mathbf {v} }$إذا وفقط إذا $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.}$$ فضاءات باناخ وهيلبرت هي فضاءات متجهة طوبولوجية كاملة، تُحدد طوبولوجياتها، على التوالي، بواسطة معيار وضرب داخلي. وتركز دراستها -وهي ركن أساسي في التحليل الوظيفي- على الفضاءات المتجهة اللانهائية الأبعاد، لأن جميع المعايير على الفضاءات المتجهة الطوبولوجية المحدودة الأبعاد تُنتج المفهوم نفسه للتقارب. ^{[ 71 ]} تُظهر الصورة على اليمين تكافؤ${\displaystyle 1}$-norm و${\displaystyle \infty }$-norm on${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}:}$عندما تُحيط الكرات الوحدوية ببعضها البعض، يتقارب تسلسل ما إلى الصفر في معيار واحد إذا وفقط إذا تقارب إلى الصفر في المعيار الآخر. أما في حالة الأبعاد اللانهائية، فستكون هناك عمومًا طوبولوجيات غير متكافئة، مما يجعل دراسة الفضاءات المتجهة الطوبولوجية أكثر ثراءً من دراسة الفضاءات المتجهة التي لا تحتوي على بيانات إضافية.

من وجهة نظر مفاهيمية، ينبغي أن تتطابق جميع المفاهيم المتعلقة بالفضاءات المتجهة الطوبولوجية مع الطوبولوجيا. على سبيل المثال، بدلاً من النظر في جميع التطبيقات الخطية (التي تسمى أيضًا الدوال الوظيفية )${\displaystyle V\to W,}$يشترط أن تكون التطبيقات بين فضاءات المتجهات الطوبولوجية متصلة. ^{[ 72 ]} وعلى وجه الخصوص، الفضاء الثنائي (الطوبولوجي)${\displaystyle V^{*}}$يتكون من دوال متصلة${\displaystyle V\to \mathbf {R} }$(أو إلى)${\displaystyle \mathbf {C} }$). تتعلق نظرية هان-باناخ الأساسية بفصل الفضاءات الجزئية للفضاءات المتجهة الطوبولوجية المناسبة بواسطة الدوال المستمرة. ^{[ 73 ]}

مساحات هيلبرت

تُعرف فضاءات الضرب الداخلي الكاملة باسم فضاءات هيلبرت ، تكريمًا لديفيد هيلبرت . ^{[ 77 ]} فضاء هيلبرت${\displaystyle L^{2}(\Omega ),}$مع حاصل الضرب الداخلي المعطى بواسطة $${\displaystyle \langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,}$$ أين${\displaystyle {\overline {g(x)}}}$يرمز إلى المرافق المعقد لـ${\displaystyle g(x),}$^{[ 78 ] [ nb 9 ]} هي قضية رئيسية.

بحسب التعريف، في فضاء هيلبرت، تتقارب أي متتالية كوشي إلى نهاية. وعلى العكس من ذلك، فإن إيجاد متتالية من الدوال${\displaystyle f_{n}}$إن امتلاك خصائص مرغوبة تُقارب دالة حدية معينة أمر بالغ الأهمية. وقد أرست التحليلات المبكرة، في صورة تقريب تايلور ، تقريبًا للدوال القابلة للتفاضل .${\displaystyle f}$بواسطة كثيرات الحدود. ^{[ 79 ]} وبحسب نظرية ستون-ويرستراس ، فإن كل دالة متصلة على${\displaystyle [a,b]}$يمكن تقريبها بدقة مطلوبة باستخدام متعددة حدود. ^{[ 80 ]} تُعرف تقنية تقريب مماثلة باستخدام الدوال المثلثية باسم توسيع فورييه ، وهي شائعة الاستخدام في الهندسة. وبشكل أعم وأكثر تجريدًا، تُقدم النظرية وصفًا بسيطًا لما يكفي من "الدوال الأساسية"، أو في فضاءات هيلبرت المجردة، ما يكفي من المتجهات الأساسية لتوليد فضاء هيلبرت.${\displaystyle H,}$بمعنى أن إغلاق امتدادها (أي التراكيب الخطية المنتهية ونهاياتها) هو الفضاء بأكمله. وتسمى هذه المجموعة من الدوال أساسًا لـ${\displaystyle H,}$يُعرف عدد عناصرها ببعد فضاء هيلبرت . ^{[ ملاحظة 10 ]} لا تُظهر النظرية فقط دوال الأساس المناسبة الكافية لأغراض التقريب، بل إنها تُمكّن أيضًا، بالاشتراك مع عملية غرام-شميدت ، من بناء أساس من المتجهات المتعامدة . ^{[ 81 ]} تُعد هذه الأسس المتعامدة تعميمًا لفضاء هيلبرت لمحاور الإحداثيات في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد المحدودة .

يمكن تفسير حلول المعادلات التفاضلية المختلفة باستخدام فضاءات هيلبرت. على سبيل المثال، تؤدي العديد من المجالات في الفيزياء والهندسة إلى مثل هذه المعادلات، وكثيرًا ما تُستخدم حلول ذات خصائص فيزيائية محددة كدوال أساسية، وغالبًا ما تكون متعامدة. ^{[ 82 ]} كمثال من الفيزياء، تصف معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن في ميكانيكا الكم تغير الخصائص الفيزيائية مع الزمن بواسطة معادلة تفاضلية جزئية ، تُسمى حلولها دوال الموجة . ^{[ 83 ]} تتوافق القيم المحددة للخصائص الفيزيائية، مثل الطاقة أو الزخم، مع القيم الذاتية لمؤثر تفاضلي (خطي) معين ، وتُسمى دوال الموجة المرتبطة بها بالحالات الذاتية . تُحلل نظرية الطيف مؤثرًا خطيًا مضغوطًا يعمل على الدوال بدلالة هذه الدوال الذاتية وقيمها الذاتية. ^{[ 84 ]}

لا تحتوي الفضاءات المتجهة العامة على عملية ضرب بين متجهين. الفضاء المتجه المزود بمؤثر ثنائي الخطية إضافي يُعرّف ضرب متجهين هو جبر على حقل (أو جبر F إذا تم تحديد الحقل F ). ^{[ 85 ]}

على سبيل المثال، مجموعة جميع كثيرات الحدود${\displaystyle p(t)}$تُشكّل هذه الحلقات جبرًا يُعرف بحلقة كثيرات الحدود : فباستخدام حقيقة أن مجموع كثيرتي حدود هو كثيرة حدود، تُشكّل هذه الحلقات فضاءً متجهيًا؛ كما تُشكّل جبرًا لأن حاصل ضرب كثيرتي حدود هو أيضًا كثيرة حدود. تُشكّل حلقات كثيرات الحدود (في عدة متغيرات) ونواتج قسمتها أساس الهندسة الجبرية ، لأنها حلقات دوال لأشكال هندسية جبرية . ^{[ 86 ]}

ومن الأمثلة الحاسمة الأخرى جبر لي ، الذي ليس تبادليًا ولا تجميعيًا، ولكن عدم كونه كذلك محدود بالقيود (${\displaystyle [x,y]}$يرمز إلى ناتج${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$):

• ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$( خاصية التبادلية العكسية )، و
• ${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$( هوية جاكوبي ). ^{[ 87 ]}

وتشمل الأمثلة فضاء المتجهات لـ${\displaystyle n}$-بواسطة-${\displaystyle n}$المصفوفات، مع${\displaystyle [x,y]=xy-yx,}$مبدل مصفوفتين ، و${\displaystyle \mathbf {R} ^{3},}$مزود بالضرب الاتجاهي .

جبر الموترات${\displaystyle \operatorname {T} (V)}$هي طريقة رسمية لإضافة المنتجات إلى أي فضاء متجهي${\displaystyle V}$للحصول على جبر. ^{[ 88 ]} وباعتباره فضاءً متجهيًا، فإنه يمتد بواسطة رموز تسمى الموترات البسيطة$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {v} _{n},}$$ حيث الدرجة${\displaystyle n}$يختلف. تُجرى عملية الضرب بربط هذه الرموز، مع تطبيق قانون التوزيع على الجمع، واشتراط أن يكون الضرب القياسي تبادليًا مع الضرب الموتري ⊗، تمامًا كما هو الحال مع الضرب الموتري لفضاءين متجهين كما ورد في القسم السابق حول الضرب الموتري . بشكل عام، لا توجد علاقات بين${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}}$و${\displaystyle \mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}.}$إن إجبار عنصرين من هذا النوع على أن يكونا متساويين يؤدي إلى الجبر المتناظر ، بينما يؤدي إجبار عنصرين آخرين على أن يكونا متساويين إلى الجبر المتناظر.${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\otimes \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {v} _{2}\otimes \mathbf {v} _{1}}$ينتج عنه الجبر الخارجي . ^{[ 89 ]}

الحزمة المتجهة هي عائلة من الفضاءات المتجهة المُعَلمة بشكل مستمر بواسطة فضاء طوبولوجي X. ^{[ 90 ]} وبشكل أدق، فإن الحزمة المتجهة فوق X هي فضاء طوبولوجي E مزود بتطبيق مستمر $${\displaystyle \pi :E\to X}$$ بحيث يكون لكل x في X ، يكون الليف π ⁻¹ ( x ) فضاءً متجهيًا. تُسمى الحالة dim V = 1 حزمة خطية . لأي فضاء متجهي V ، فإن الإسقاط X × V → X يجعل حاصل الضرب X × V حزمة متجهية "تافهة" . يجب أن تكون الحزم المتجهة فوق X حاصل ضرب محليًا بين X وفضاء متجهي (ثابت) V : لكل x في X ، توجد جوار U لـ x بحيث يكون تقييد π على π ⁻¹ ( U ) متماثلًا ^{[ nb 11 ]} مع الحزمة التافهة U × V → U. على الرغم من طابعها التافه محليًا، قد تكون الحزم المتجهة (اعتمادًا على شكل الفضاء الأساسي X ) "ملتوية" على نطاق واسع (أي أن الحزمة لا يلزم أن تكون (متماثلة عالميًا) مع الحزمة التافهة X × V ). على سبيل المثال، يمكن اعتبار شريط موبيوس حزمة خطية فوق الدائرة S1 (عن طريق تحديد الفترات المفتوحة مع خط الأعداد الحقيقية ). ومع ذلك، فهو يختلف عن الأسطوانة S1 ^× R ، لأن الأخيرة قابلة للتوجيه بينما الأولى غير قابلة ^{للتوجيه . [ 91 ]}

^{تُوفّر خصائص} بعض الحزم المتجهة معلوماتٍ حول الفضاء الطوبولوجي الأساسي. على سبيل المثال، ^تتألف الحزمة المماسية من مجموعة الفضاءات المماسية المُعَلمة بنقاط مشعب قابل للتفاضل. الحزمة المماسية للدائرة S1 متماثلة عالميًا مع S1 × R ، نظرًا لوجود حقل متجهي غير صفري عالمي على S1 ^{. [ ملاحظة 12 ]} في المقابل، وبحسب نظرية الكرة المشعرة ^، لا يوجد حقل متجهي (مماسي) على الكرة ثنائية الأبعاد S2 غير صفري في كل مكان. ^{[ 92 ]} تدرس نظرية K فئات التماثل لجميع الحزم المتجهة على فضاء طوبولوجي ما. ^{[ 93 ]} بالإضافة إلى تعميق الفهم الطوبولوجي والهندسي، فإن لها نتائج جبرية بحتة، مثل تصنيف جبر القسمة الحقيقي ذي الأبعاد المحدودة : R ، C ، الرباعيات H ، والأوكتونيات O.

تتألف حزمة المماس المشترك لمتشعب قابل للتفاضل، عند كل نقطة من المتشعب، من الفضاء المزدوج للمماس، أي فضاء المماس المشترك . وتُعرف مقاطع تلك الحزمة باسم الأشكال التفاضلية الأحادية .

تُشبه الوحدات النمطية بالنسبة للحلقات ما تُشبهه الفضاءات المتجهة بالنسبة للحقول: فالمسلمات نفسها، عند تطبيقها على حلقة R بدلاً من حقل F ، تُنتج وحدات نمطية. ^{[ 94 ]} إن نظرية الوحدات النمطية، مقارنةً بنظرية الفضاءات المتجهة، مُعقدة بسبب وجود عناصر حلقية لا تمتلك معكوسات ضربية . على سبيل المثال، لا يشترط أن تمتلك الوحدات النمطية قواعد، كما تُظهر وحدة Z النمطية (أي المجموعة الأبيلية ) Z /2Z ؛ وتُعرف تلك الوحدات النمطية التي تمتلك قواعد (بما في ذلك جميع الفضاءات المتجهة) بالوحدات النمطية الحرة . ومع ذلك، يُمكن تعريف الفضاء المتجهي بشكل مُختصر على أنه وحدة نمطية فوق حلقة تُمثل حقلاً ، وتُسمى عناصره متجهات. يستخدم بعض المؤلفين مصطلح الفضاء المتجهي للدلالة على الوحدات النمطية فوق حلقة القسمة . ^{[ 95 ]} يسمح التفسير الجبري الهندسي للحلقات التبديلية عبر طيفها بتطوير مفاهيم مثل الوحدات النمطية الحرة محليًا ، وهي النظير الجبري للحزم المتجهة.

بشكل عام، الفضاءات الأفينية هي فضاءات متجهة لم تُحدد أصولها. ^{[ 96 ]} وبشكل أدق، الفضاء الأفيني هو مجموعة ذات تأثير فضاء متجه حر ومتعدٍ . وعلى وجه الخصوص، يكون الفضاء المتجه فضاءً أفينيًا على نفسه، بواسطة التطبيق $${\displaystyle V\times V\to W,\;(\mathbf {v} ,\mathbf {a} )\mapsto \mathbf {a} +\mathbf {v} .}$$ إذا كان W فضاءً متجهيًا، فإن الفضاء الجزئي الأفيني هو مجموعة جزئية من W يتم الحصول عليها عن طريق إزاحة فضاء جزئي خطي V بواسطة متجه ثابت x ∈ W ؛ ويُرمز لهذا الفضاء بـ x + V (وهو مجموعة مشاركة لـ V في W ) ويتكون من جميع المتجهات من الشكل x + v حيث v ∈ V. ومن الأمثلة المهمة على ذلك فضاء حلول نظام المعادلات الخطية غير المتجانسة .$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {b} }$$ بتعميم الحالة المتجانسة التي نوقشت في القسم أعلاه حول المعادلات الخطية، والتي يمكن إيجادها عن طريق وضع${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }$في هذه المعادلة. ^{[ 97 ]} فضاء الحلول هو الفضاء الجزئي الأفيني x + V حيث x هو حل خاص للمعادلة، و V هو فضاء حلول المعادلة المتجانسة (الفضاء الصفري لـ A ).

تُعرف مجموعة الفضاءات الجزئية أحادية البعد لفضاء متجهي V ثابت ذي أبعاد محدودة بالفضاء الإسقاطي ؛ ويمكن استخدامها لصياغة فكرة الخطوط المتوازية المتقاطعة عند اللانهاية. ^{[ 98 ]} تُعمم فضاءات غراسمان وفضاءات الأعلام هذا المفهوم من خلال تحديد معلمات للفضاءات الجزئية الخطية ذات البعد الثابت k وأعلام الفضاءات الجزئية، على التوالي.