مساحة المنتج الداخلية

في الخصائص التالية، والتي تنتج مباشرة تقريبًا من تعريف الضرب الداخلي، فإن x و y و z هي متجهات اختيارية، و a و b هي كميات قياسية اختيارية.

• ${\displaystyle \langle \mathbf {0} ,x\rangle =\langle x,\mathbf {0} \rangle =0.}$^{[ ملاحظة 3 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$حقيقي وغير سالب. ^{[ ملاحظة 4 ]}
• ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x=\mathbf {0} .}$^{[ ملاحظة 5 ]}
• ${\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,y\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }$وهذا يعني أن الضرب الداخلي هو شكل خطي مترافق (للوسيط الثاني). وهذا يعني أن الضرب الداخلي هو شكل خطي مزدوج .
• ${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\operatorname {Re} (\langle x,y\rangle )+\langle y,y\rangle ,}$أين${\displaystyle \operatorname {Re} }$يشير إلى الجزء الحقيقي من وسيطه.

زيادة${\displaystyle \mathbb {R} }$يختزل التناظر المترافق إلى التناظر، ويختزل التناظر الخطي الثنائي إلى التناظر الخطي الثنائي . لذا، فإن الضرب الداخلي على فضاء متجهي حقيقي هو شكل ثنائي خطي متناظر موجب التحديد . يصبح مفكوك ذات الحدين للمربع $${\displaystyle \langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

تُستخدم عدة رموز للضرب الداخلي، بما في ذلك ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$، ${\displaystyle \left(\cdot ,\cdot \right)}$، ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$و ${\displaystyle \left(\cdot |\cdot \right)}$بالإضافة إلى الضرب النقطي المعتاد.

يفضل بعض المؤلفين، وخاصة في الفيزياء وجبر المصفوفات ، تعريف الضرب الداخلي والصيغ شبه الخطية بحيث تكون الخطية في الوسيط الثاني بدلاً من الأول. عندئذٍ يصبح الوسيط الأول خطيًا مترافقًا، بدلاً من الثاني. كما يستخدم ترميز برا-كيت في ميكانيكا الكم ترميزًا مختلفًا قليلاً، أي${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$، أين${\displaystyle \langle x|y\rangle$ :=\left(y,x\right)} .

من بين أبسط الأمثلة على فضاءات الضرب الداخلي ما يلي:${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} .}$ الأرقام الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$هي فضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {R} }$يصبح ذلك فضاءً للمنتج الداخلي مع الضرب الحسابي كمنتج داخلي له: $${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=xy\quad {\text{ لـ }}x,y\in \mathbb {R} .}

الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$هي فضاء متجهي على${\displaystyle \mathbb {C} }$يصبح ذلك مساحة منتج داخلي مع المنتج الداخلي $${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=x{\overline {y}}\quad {\text{ لـ }}x,y\in \mathbb {C} .} على عكس الأعداد الحقيقية، فإن التعيين${\displaystyle (x,y)\mapsto xy}$لا يُعرّف ضربًا داخليًا معقدًا على${\displaystyle \mathbb {C} .}$

وبشكل أعم، الحقيقي${\displaystyle n}$-فضاء${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع الضرب النقطي، يكون فضاء الضرب الداخلي، وهو مثال على فضاء متجه إقليدي . $${\displaystyle \left\langle {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}\right\rangle =x^{\operatorname {T} }y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},}$$ أين${\displaystyle x^{\operatorname {T} }}$هو منقول​${\displaystyle x.}$

وظيفة${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle$ } هو حاصل ضرب داخلي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا وفقط إذا وُجدت مصفوفة متناظرة موجبة التحديد${\displaystyle \mathbf {M} }$بحيث${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$للجميع${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$لو${\displaystyle \mathbf {M} }$هل هي مصفوفة الوحدة إذن${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y}$هو حاصل الضرب النقطي. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle n=2}$و${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}}$هي موجبة تمامًا (وهذا يحدث إذا وفقط إذا${\displaystyle \det \mathbf {M} =ad-b^{2}>0}$وإذا كان أحد أو كلا العنصرين القطريين موجبين، فإنه لأي${\displaystyle x:=\left[x_{1},x_{2}\right]^{\operatorname {T} },y:=\left[y_{1},y_{2}\right]^{\operatorname {T} }\in \mathbb {R} ^{2},}$$${\displaystyle \langle x,y\rangle$$ :=x^{\operatorname {T} }\mathbf {M} y=\left[x_{1},x_{2}\right]{\begin{bmatrix}a&b\\b&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}=ax_{1}y_{1}+bx_{1}y_{2}+bx_{2}y_{1}+dx_{2}y_{2}.} كما ذكرنا سابقًا، كل جداء داخلي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يكون على هذا الشكل (حيث${\displaystyle b\in \mathbb {R} ,a>0}$و${\displaystyle d>0}$مُرضٍ${\displaystyle ad>b^{2}}$).

الشكل العام للضرب الداخلي على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$يُعرف هذا الشكل باسم الشكل الهرميتي ، ويُعطى بواسطة $${\displaystyle \langle x,y\rangle =y^{\dagger }\mathbf {M} x={\overline {x^{\dagger }\mathbf {M} y}},}$$ أين${\displaystyle M}$هي أي مصفوفة هيرميتية موجبة التحديد و${\displaystyle y^{\dagger }}$هو المنقول المترافق لـ${\displaystyle y.}$في الحالة العملية، يُعادل هذا حاصل الضرب النقطي لنتائج تغيير مقياس المتجهين باتجاهين مختلفين، بمعاملات قياس موجبة واتجاهات قياس متعامدة. وهو صيغة مجموع مرجح لحاصل الضرب النقطي بأوزان موجبة، حتى التحويل المتعامد.

تتضمن المقالة المتعلقة بفضاءات هيلبرت عدة أمثلة على فضاءات الضرب الداخلي، حيث ينتج عن المقياس الناتج عن الضرب الداخلي فضاءً متريًا كاملًا . ومن الأمثلة على فضاء الضرب الداخلي الذي ينتج عنه مقياس غير كامل هو الفضاء${\displaystyle C([a,b])}$من الدوال ذات القيم المركبة المستمرة${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$في الفترة${\displaystyle [a,b].}$المنتج الداخلي هو $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} t.}$$ هذا الفضاء غير مكتمل؛ لنأخذ على سبيل المثال، بالنسبة للفترة [ −1، 1 ] ، سلسلة من الدوال "الخطوية" المتصلة،${\displaystyle \{f_{k}\}_{k},}$مُعرَّف بواسطة: $${\displaystyle f_{k}(t)={\begin{cases}0&t\in [-1,0]\\1&t\in \left[{\tfrac {1}{k}},1\right]\\kt&t\in \left(0,{\tfrac {1}{k}}\right)\end{cases}}}$$

هذه المتتالية هي متتالية كوشي للمعيار الناتج عن الضرب الداخلي السابق، والتي لا تتقارب إلى دالة متصلة .

بالنسبة للمتغيرات العشوائية الحقيقية${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y,}$القيمة المتوقعة لمنتجهم $${\displaystyle \langle X,Y\rangle =\mathbb {E} [XY]}$$ هو ناتج داخلي. ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} في هذه الحالة،${\displaystyle \langle X,X\rangle =0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbb {P} [X=0]=1}$(إنه،${\displaystyle X=0}$(بشكل شبه مؤكد )، حيث${\displaystyle \mathbb {P} }$يشير إلى احتمال وقوع الحدث. ويمكن تعميم هذا التعريف للتوقع باعتباره ضربًا داخليًا ليشمل المتجهات العشوائية أيضًا.

يُعرف الضرب الداخلي للمصفوفات المربعة المركبة ذات الحجم نفسه باسم الضرب الداخلي لفروبينيوس.${\displaystyle \langle A,B\rangle$ :=\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)} . بما أن الأثر والتبديل خطيان، والمرافق يقع على المصفوفة الثانية، فهو مؤثر خطي مزدوج. ونحصل كذلك على التناظر الهرميتي من خلال، $${\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} \left(AB^{\dagger }\right)={\overline {\operatorname {tr} \left(BA^{\dagger }\right)}}={\overline {\left\langle B,A\right\rangle }}}$$ وأخيراً، بما أن${\displaystyle A}$غير صفري،${\displaystyle \langle A,A\rangle =\sum _{ij}\left|A_{ij}\right|^{2}>0}$، نستنتج أن حاصل الضرب الداخلي لفروبينيوس موجب التحديد أيضًا، وكذلك حاصل الضرب الداخلي.

في فضاء الضرب الداخلي، أو بشكل أعم في فضاء متجهي ذي شكل غير منحل (وبالتالي تماثل).${\displaystyle V\to V^{*}}$يمكن إرسال المتجهات إلى المتجهات المرافقة (في الإحداثيات، عبر النقل)، بحيث يمكن للمرء أن يأخذ الضرب الداخلي والضرب الخارجي لمتجهين - وليس ببساطة لمتجه ومتجه مرافق.

كل فضاء ضرب داخلي يُنتج معيارًا ، يُسمى معيارهالمعيار الكنسي ، الذي يتم تحديده بواسطة $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$$ مع هذا المعيار، يصبح كل فضاء حاصل ضرب داخلي فضاء متجه معياري .

لذا، تنطبق جميع الخصائص العامة للفضاءات المتجهة المعيارية على فضاءات الضرب الداخلي. وعلى وجه الخصوص، تتمتع هذه الفضاءات بالخصائص التالية:

التجانس المطلق

$${\displaystyle \|ax\|=|a|\,\|x\|}$$ لكل${\displaystyle x\in V}$و${\displaystyle a\in F}$ (هذا ناتج عن${\displaystyle \langle ax,ax\rangle =a{\overline {a}}\langle x,x\rangle }$).

متباينة المثلث

$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$ ل${\displaystyle x,y\in V.}$ تُظهر هاتان الخاصيتان أن المرء يمتلك بالفعل معيارًا.

متباينة كوشي-شفارتز

$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|}$$ لكل${\displaystyle x,y\in V,}$ مع المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي مرتبطة خطيًا .

قانون متوازي الأضلاع

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}}$$ لكل${\displaystyle x,y\in V.}$ يُعد قانون متوازي الأضلاع شرطًا ضروريًا وكافيًا لتعريف معيار ما بواسطة الضرب الداخلي.

هوية الاستقطاب

$${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$$ لكل${\displaystyle x,y\in V.}$ يمكن استرجاع الضرب الداخلي من المعيار بواسطة متطابقة الاستقطاب، لأن الجزء التخيلي منه هو الجزء الحقيقي من${\displaystyle \langle x,iy\rangle .}$

عدم المساواة عند بطليموس

$${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|}$$ لكل${\displaystyle x,y,z\in V.}$ تُعدّ متباينة بطليموس شرطاً ضرورياً وكافياً لكي يكون شبه المعيار هو المعيار المحدد بواسطة الضرب الداخلي. ^{[ 11 ]}

التعامد

متجهان${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يقال إنهامتعامد ، غالبًا ما يُكتب${\displaystyle x\perp y,}$إذا كان حاصل ضربهما الداخلي يساوي صفرًا، أي إذا${\displaystyle \langle x,y\rangle =0.}$ يحدث هذا إذا وفقط إذا${\displaystyle \|x\|\leq \|x+sy\|}$لجميع الكميات القياسية${\displaystyle s,}$^{[ 12 ]} وإذا وفقط إذا كانت الدالة ذات القيم الحقيقية${\displaystyle f(s):=\|x+sy\|^{2}-\|x\|^{2}}$غير سالبة. (وهذا نتيجة لحقيقة أنه إذا${\displaystyle y\neq 0}$ثم الكمية القياسية${\displaystyle s_{0}=-{\tfrac {\overline {\langle x,y\rangle }}{\|y\|^{2}}}}$يقلل${\displaystyle f}$ذات قيمة${\displaystyle f\left(s_{0}\right)=-{\tfrac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\|y\|^{2}}},}$وهو دائمًا غير موجب). بالنسبة لفضاء الضرب الداخلي المعقد${\displaystyle H,}$مؤثر خطي${\displaystyle T:V\to V}$هو نفسه${\displaystyle 0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle x\perp Tx}$لكل${\displaystyle x\in V.}$^{[ 12 ]} هذا لا ينطبق عمومًا على فضاءات الضرب الداخلي الحقيقية، لأنه نتيجة لاختلاف التناظر المترافق عن التناظر في الضرب الداخلي المركب. ومن الأمثلة المضادة في فضاء الضرب الداخلي الحقيقي ما يلي:${\displaystyle T}$دوران 90 درجة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، الذي يرسم كل متجه إلى متجه متعامد ولكنه ليس متطابقًا تمامًا${\displaystyle 0}$.

المكمل المتعامد

المتمم المتعامد لمجموعة جزئية${\displaystyle C\subseteq V}$هي المجموعة${\displaystyle C^{\bot }}$من المتجهات المتعامدة مع جميع عناصر C ؛ أي $${\displaystyle C^{\bot }:=\{\,y\in V:\langle y,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\,\}.}$$ هذه المجموعة${\displaystyle C^{\bot }}$هي دائمًا فضاء متجهي مغلق من${\displaystyle V}$وإذا تم الإغلاق${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C}$ل${\displaystyle C}$في${\displaystyle V}$إذا كان فضاءً جزئياً متجهياً${\displaystyle \operatorname {cl} _{V}C=\left(C^{\bot }\right)^{\bot }.}$

نظرية فيثاغورس

لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كانت متعامدة، فإن $${\displaystyle \|x\|^{2}+\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}.}$$ يمكن إثبات ذلك بالتعبير عن المعايير المربعة بدلالة الضرب الداخلي، باستخدام خاصية الجمع لتوسيع الطرف الأيمن من المعادلة. وقد اشتق اسم نظرية فيثاغورس من التفسير الهندسي في الهندسة الإقليدية .

هوية بارسيفال

ينتج عن الاستقراء على نظرية فيثاغورس ما يلي: إذا${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$إذا كانت متعامدة ثنائياً، فإن $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|^{2}.}$$

زاوية

متى${\displaystyle \langle x,y\rangle }$إذا كان عددًا حقيقيًا، فإن متباينة كوشي-شفارتز تعني أن${\textstyle {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}}\in [-1,1],}$وبالتالي فإن $${\displaystyle \angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\,\|y\|}},}$$ هو عدد حقيقي. يسمح هذا بتحديد الزاوية (غير الموجهة) لمتجهين في التعريفات الحديثة للهندسة الإقليدية من حيث الجبر الخطي . يُستخدم هذا أيضًا في تحليل البيانات ، تحت مسمى " تشابه جيب التمام "، لمقارنة متجهين من البيانات. علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \langle x,y\rangle }$إذا كانت سالبة، فإن الزاوية${\displaystyle \angle (x,y)}$أكبر من 90 درجة. تُستخدم هذه الخاصية غالبًا في رسومات الحاسوب (على سبيل المثال، في عملية إزالة الوجوه الخلفية ) لتحليل اتجاه ما دون الحاجة إلى حساب الدوال المثلثية .

لنفترض أن${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$هو منتج داخلي على${\displaystyle V}$(لذا فهي مضادة للخطية في وسيطها الثاني). تُظهر متطابقة الاستقطاب أن الجزء الحقيقي من الضرب الداخلي هو $${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).}$$

لو${\displaystyle V}$إذا كان فضاءً متجهيًا حقيقيًا $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} \langle x,y\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right)}$$ والجزء التخيلي (ويسمى أيضًا الجزء المركب ) من${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$هو دائماً${\displaystyle 0.}$

افترض لبقية هذا القسم أن${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي معقد. تُظهر متطابقة الاستقطاب للفضاءات المتجهة المعقدة أن $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\ y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle +i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

الخريطة المحددة بواسطة${\displaystyle \langle x\mid y\rangle =\langle y,x\rangle }$للجميع${\displaystyle x,y\in V}$يُحقق هذا التعبير بديهيات الضرب الداخلي باستثناء أنه مضاد للخطية في وسيطه الأول ، وليس الثاني. الجزء الحقيقي من كليهما${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$و${\displaystyle \langle x,y\rangle }$يساوي${\displaystyle \operatorname {Re} \langle x,y\rangle }$لكن المنتجات الداخلية تختلف في جزءها المعقد: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\mid y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}-i\|x+iy\|^{2}+i\|x-iy\|^{2}\right)\\&=\operatorname {Re} \langle x,y\rangle -i\operatorname {Re} \langle x,iy\rangle .\\\end{alignedat}}}$$

المساواة الأخيرة تشبه الصيغة التي تعبر عن دالة خطية بدلالة الجزء الحقيقي منها.

تُظهر هذه الصيغ أن كل جداء داخلي معقد يتحدد تمامًا بجزئه الحقيقي. علاوة على ذلك، يُحدد هذا الجزء الحقيقي جداءً داخليًا على${\displaystyle V,}$باعتبارها فضاءً متجهيًا حقيقيًا. وبالتالي، توجد علاقة تناظرية بين الضرب الداخلي المركب على فضاء متجهي مركب.${\displaystyle V,}$ومنتجات داخلية حقيقية على${\displaystyle V.}$

على سبيل المثال، لنفترض أن${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$لبعض الأعداد الصحيحة${\displaystyle n>0.}$متى${\displaystyle V}$يُعتبر فضاءً متجهيًا حقيقيًا بالطريقة المعتادة (بمعنى أنه يُعرَّف بـ${\displaystyle 2n-}$فضاء متجهي حقيقي ذو أبعاد${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n},}$مع كل${\displaystyle \left(a_{1}+ib_{1},\ldots ,a_{n}+ib_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$تم تحديده مع${\displaystyle \left(a_{1},b_{1},\ldots ,a_{n},b_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{2n}}$ثم الضرب النقطي${\displaystyle x\,\cdot \,y=\left(x_{1},\ldots ,x_{2n}\right)\,\cdot \,\left(y_{1},\ldots ,y_{2n}\right):=x_{1}y_{1}+\cdots +x_{2n}y_{2n}}$يُعرّف هذا الفضاء منتجًا داخليًا حقيقيًا. المنتج الداخلي المعقد الفريد${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$على${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}}$الخريطة الناتجة عن الضرب النقطي هي الخريطة التي ترسل${\displaystyle c=\left(c_{1},\ldots ,c_{n}\right),d=\left(d_{1},\ldots ,d_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$ل${\displaystyle \langle c,d\rangle$ :=c_{1}{\overline {d_{1}}}+\cdots +c_{n}{\overline {d_{n}}}} (لأن الجزء الحقيقي من هذه الخريطة${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$يساوي حاصل الضرب النقطي).

لو${\displaystyle V}$هو فضاء متجهي و${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$إذا كان لدينا شكل شبه محدد ذو خطين متوازيين، فإن الدالة هي: $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$ يبدو منطقياً ويستوفي جميع خصائص المعيار باستثناء ذلك${\displaystyle \|x\|=0}$لا يعني ذلك${\displaystyle x=0}$(يُطلق على هذه الدالة حينها اسم شبه معيار ). يمكننا إنتاج فضاء الضرب الداخلي من خلال النظر في فضاء القسمة.${\displaystyle W=V/\{x:\|x\|=0\}.}$الشكل شبه المنحرف${\displaystyle \langle \,\cdot \,,\,\cdot \,\rangle }$العوامل من خلال${\displaystyle W.}$

يُستخدم هذا التركيب في سياقات عديدة. ويُعدّ تركيب جيلفاند-نايمارك-سيغال مثالًا بالغ الأهمية على استخدام هذه التقنية. ومن الأمثلة الأخرى تمثيل النوى شبه المحددة على مجموعات عشوائية.

بدلاً من ذلك، يمكن اشتراط أن يكون الاقتران شكلاً غير منحط ، بمعنى أنه بالنسبة لجميع القيم غير الصفرية${\displaystyle x\neq 0}$يوجد بعض${\displaystyle y}$بحيث${\displaystyle \langle x,y\rangle \neq 0,}$رغم ذلك${\displaystyle y}$لا يشترط أن تكون متساوية${\displaystyle x}$بمعنى آخر، الخريطة المستحثة إلى الفضاء الثنائي${\displaystyle V\to V^{*}}$هي دالة حقنية. هذا التعميم مهم في الهندسة التفاضلية : يُطلق على المتشعب الذي تحتوي فضاءاته المماسية على جداء داخلي اسم متشعب ريماني ، بينما إذا ارتبط هذا الجداء بصيغة متناظرة مترافقة غير منحطة، يُطلق على المتشعب اسم متشعب ريماني زائف . وبحسب قانون سيلفستر للقصور الذاتي ، فكما أن كل جداء داخلي يُشابه الجداء النقطي بأوزان موجبة على مجموعة من المتجهات، فإن كل صيغة متناظرة مترافقة غير منحطة تُشابه الجداء النقطي بأوزان غير صفرية على مجموعة من المتجهات، ويُطلق على عدد الأوزان الموجبة والسالبة على التوالي اسم المؤشر الموجب والمؤشر السالب. يُعد جداء المتجهات في فضاء مينكوفسكي مثالًا على الجداء الداخلي غير المحدد، على الرغم من أنه، من الناحية الفنية، ليس جداءً داخليًا وفقًا للتعريف القياسي المذكور أعلاه. يحتوي فضاء مينكوفسكي على أربعة أبعاد ومؤشرين 3 و1 (يختلف تعيين "+" و"−" لهما باختلاف الاصطلاحات ).

تعتمد العبارات الجبرية البحتة (التي لا تستخدم الإيجابية) عادةً على عدم الانحلال فقط (التشاكل الحقني).${\displaystyle V\to V^{*}}$وبالتالي ينطبق الأمر بشكل عام.