متعددة الحدود الموجبة

تكون كثيرة الحدود الحقيقية أحادية المتغير غير سالبة على${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا وفقط إذا كان مجموع مربعين لكثيرات حدود حقيقية أحادية المتغير . ^{[ 3 ]} لا يُعمم هذا التكافؤ على كثيرات الحدود متعددة المتغيرات، وهو ما أثبته هيلبرت في الأصل. لم يكن هناك مثال صريح لمثل هذه كثيرة الحدود معروفًا حتى أثبت ثيودور موتزكين في عام 1967 أن${\displaystyle X^{4}Y^{2}+X^{2}Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+1}$ليست مجموع مربعات كثيرات الحدود، ولكنها غير سالبة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، وهو ما يترتب على متباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي . ^{[ 4 ]}

في الأبعاد الأعلى، كثير الحدود الحقيقي في${\displaystyle n}$المتغيرات غير سالبة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إذا وفقط إذا كان مجموع مربعات الدوال الكسرية الحقيقية في${\displaystyle n}$المتغيرات. وقد طُرحت هذه المسألة في الأصل كمسألة هيلبرت السابعة عشرة في عام 1900، وحلها لاحقًا إميل أرتين في عام 1927. ^{[ 5 ]}

بالنسبة لكثيرات الحدود المتجانسة ، يمكن تحديد المزيد من المعلومات حول المقام. لنفترض أن${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$متجانسة من الدرجة 2k . إذا كانت موجبة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$إذن يوجد عدد صحيح${\displaystyle m}$بحيث${\displaystyle (X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2})^{m}p}$هو مجموع مربعات كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة${\displaystyle m+2k}$[ ^{6 ]​}

بالنسبة لكثيرات الحدود من الدرجة${\displaystyle {}\leq 1}$لدينا الصيغة التالية من معضلة فاركاس : إذا${\displaystyle f,g_{1},\dots ,g_{k}}$حاصل على درجة علمية${\displaystyle {}\leq 1}$و${\displaystyle f(x)\geq 0}$لكل${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$مُرضٍ${\displaystyle g_{1}(x)\geq 0,\dots ,g_{k}(x)\geq 0}$إذن، توجد أعداد حقيقية غير سالبة${\displaystyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{k}}$بحيث${\displaystyle f=c_{0}+c_{1}g_{1}+\cdots +c_{k}g_{k}}$.

بالنسبة لكثيرات الحدود ذات الدرجة الأعلى على البسيط، أثبت بوليا أنه إذا${\displaystyle p\in \mathbb {R} [X_{1},\dots ,X_{n}]}$متجانسة وموجبة على المجموعة${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}\geq 0,\dots ,x_{n}\geq 0,x_{1}+\cdots +x_{n}\neq 0\}}$إذن يوجد عدد صحيح${\displaystyle m}$بحيث${\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{n})^{m}p}$لها معاملات غير سالبة. ^{[ 7 ]}

بالنسبة لكثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى على متعددات الوجوه المدمجة العامة، لدينا نظرية هاندلمان: ^{[ 8 ]} إذا${\displaystyle K}$هو متعدد السطوح مضغوط في الفضاء الإقليدي${\displaystyle d}$الفضاء - المحدد بواسطة المتباينات الخطية${\displaystyle g_{i}\geq 0}$وإذا${\displaystyle f}$هي متعددة الحدود في${\displaystyle d}$المتغيرات التي تكون موجبة على${\displaystyle K}$، ثم${\displaystyle f}$يمكن التعبير عنها كتركيبة خطية بمعاملات غير سالبة لحاصل ضرب عناصر من${\displaystyle \{g_{i}\}}$.

بالنسبة للمجموعات شبه الجبرية العامة، فإن النتيجة الأكثر عمومية هي Positivstellensatz لـ Stengle .

بالنسبة للمجموعات شبه الجبرية المدمجة، لدينا نظرية شمودجن للمجموعات شبه الجبرية الموجبة ، ^{[ 9 ] [ 10 ]} ونظرية بوتينار للمجموعات شبه الجبرية الموجبة ^{[ 11 ] [ 12 ]} ونظرية فاسيلسكو للمجموعات شبه الجبرية الموجبة. ^{[ 13 ]} وعلى وجه الخصوص، لا حاجة إلى المقامات.

بالنسبة للمجموعات شبه الجبرية المدمجة ذات الأبعاد المنخفضة، يوجد نموذج nichtnegativstellensatz بدون مقامات. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

متعدد الحدود${\displaystyle p}$في المتغيرات المركبة${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ومقترناتها${\displaystyle z_{1}^{*},\dots ,z_{n}^{*}}$تكون هيرميتية إذا كانت تأخذ قيمًا حقيقية فقط لجميع خيارات${\displaystyle z}$يكون مجموع مربعات هيرميتي (HSOS) إذا أمكن كتابته على النحو التالي:$${\displaystyle p=\sum _{i=1}^{k}g_{i}^{*}g_{i}}$$بالنسبة لبعض كثيرات الحدود${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$في المتغيرات فقط${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$تنص إحدى نتائج كويلين على أن أي متعددة حدود هيرميتية متجانسة موجبة تمامًا هي مجموع مربعات هيرميتية لدوال كسرية مقامها هو المعيار التربيعي${\displaystyle z_{1}^{*}z_{1}+\dots +z_{n}^{*}z_{n}}$[ ^{17 ]} وقد عمّم بوتينار هذا لاحقًا ليشمل فئةً أوسع بكثير من الفضاءات، بما في ذلك جميع الأصناف الإسقاطية المعقدة. ^{[ 2 ] في حالة الفضاءات الهرميتية ،} يكون تمثيل مجموع المربعات الهرميتي فريدًا إن وُجد، ويمكن إيجاده عن طريق قطريّة مصفوفة هرميتية مُعطاة صراحةً ، وهو ما لاحظه بوتينار لأول مرة. ^{[ 2 ]}