الجبر التركيبي

في الرياضيات ، الجبر التركيبي A على حقل K هو جبر ليس بالضرورة ترابطيًا على K بالإضافة إلى شكل تربيعي غير منحل N يحقق

${\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)}$

لكل x و y في A.​

يتضمن الجبر التركيبي عملية انعكاس تسمى الاقتران :${\displaystyle x\mapsto x^{*}.}$الشكل التربيعي${\displaystyle N(x)=xx^{*}}$يُطلق عليه معيار الجبر.

الجبر التركيبي ( A , *, N ) هو إما جبر قسمة أو جبر انقسام ، وذلك اعتمادًا على وجود متجه غير صفري v في A بحيث يكون N ( v ) = 0، ويُسمى هذا المتجه بالمتجه الصفري . ^{[ 1 ]} عندما لا يكون x متجهًا صفريًا، فإن المعكوس الضربي لـ x هو${\textstyle {\frac {x^{*}}{N(x)}}}$عندما يكون هناك متجه صفري غير صفري، فإن N يكون شكلاً تربيعياً متساوي الخواص ، و"ينقسم الجبر".

يمكن الحصول على أي جبر تركيبي أحادي على حقل K من خلال تطبيق بناء كايلي-ديكسون بشكل متكرر بدءًا من K (إذا كانت خاصية K مختلفة عن 2 ) أو جبر تركيبي فرعي ثنائي الأبعاد (إذا كانت خاصية K تساوي 2 ). الأبعاد الممكنة للجبر التركيبي هي 1 ، 2 ، 4 ، و 8 . ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

• لا توجد جبريات التركيب أحادية البعد إلا عندما يكون char( K ) ≠ 2 .
• الجبر التركيبي ذو البعد 1 و 2 هو جبر تبادلي وتجميعي.
• جبر التركيب ذو البعد 2 إما أن يكون امتدادات حقل تربيعي لـ K أو متماثل مع K ⊕ K.
• تُسمى جبريات التركيب ذات البعد 4 بجبريات الكواترنيون . وهي تجميعية ولكنها ليست تبادلية.
• تُسمى جبريات التركيب ذات البعد 8 بجبريات الأوكتونيون . وهي ليست تجميعية ولا تبادلية.

من أجل توحيد المصطلحات، تُسمى الجبريات ذات البعد 1 بالجبريات الأحادية ، وتلك ذات البعد 2 بالجبريات الثنائية . ^{[ 5 ]}

كل جبر تركيبي هو جبر بديل . ^{[ 6 ]}

باستخدام الصيغة المضاعفة ( _  : _ ): A × A → K المعرفة بواسطة${\displaystyle (a:b)=N(a+b)-N(a)-N(b)=ab^{*}+ba^{*},}$إذن، يُعطى أثر a بواسطة${\displaystyle (a:1)=a+a^{*}}$والمرافق بواسطة​${\displaystyle a^{*}=(a:1)ea}$أين​​${\displaystyle e}$⁠ هو العنصر المحايد الضربي لـ ⁠${\displaystyle A}$⁠ . تثبت سلسلة من التمارين أن الجبر التركيبي هو دائماً جبر بديل. ^{[ 7 ]}

عندما يتم اعتبار الحقل K هو الأعداد المركبة C والشكل التربيعي z ² ، فإن أربعة جبر تركيب فوق C هي C نفسها ، والأعداد المركبة الثنائية ، والأعداد الرباعية الثنائية (المتماثلة مع حلقة المصفوفة المركبة 2 × 2 M(2, C ) ) ، والأعداد الثمانية المركبة C ⊗ O ، والتي تسمى أيضًا بالأعداد الثمانية المركبة.

لطالما كانت حلقة المصفوفة M(2, C ) موضع اهتمام، أولاً كأعداد رباعية ثنائية بواسطة هاميلتون (1853)، وفي وقت لاحق في شكل المصفوفة المتماثلة، وخاصة كجبر باولي .

تشكل دالة التربيع N ( x ⁾ = x² على حقل الأعداد الحقيقية جبر التركيب الأولي. عندما يُؤخذ الحقل K على أنه مجموعة الأعداد الحقيقية R ، فإنه لا يوجد سوى ستة جبر تركيب حقيقي أخرى. ^{[ 3 ] : 166} في بعدين، وأربعة، وثمانية أبعاد، يوجد كل من جبر القسمة وجبر الانقسام .

الأعداد الثنائية: أعداد مركبة ذات شكل ^{تربيعي x²} + y² وأعداد مركبة منقسمة ذات شكل تربيعي x² ^- y² ^،

الرباعيات والرباعيات المنقسمة ،

الأوكتونيونات والأوكتونيونات المنقسمة .

لكل جبر تركيب شكل ثنائي خطي مرتبط به B( x,y ) تم إنشاؤه باستخدام المعيار N وهوية الاستقطاب :

${\displaystyle B(x,y)\ =\ [N(x+y)-N(x)-N(y)]/2.}$^{[ 8 ]}

لاحظ العديد من المؤلفين الأوائل تركيب مجاميع المربعات. كان ديوفانتوس على دراية بالتطابق الذي يتضمن مجموع مربعين، والذي يُعرف الآن بتطابق براهمغوبتا-فيوناتشي ، والذي يُصاغ أيضًا كخاصية للمعايير الإقليدية للأعداد المركبة عند ضربها. ناقش ليونارد أويلر تطابق المربعات الأربعة في عام 1748، مما دفع دبليو آر هاميلتون إلى بناء جبره رباعي الأبعاد للأعداد الرباعية . [ ^{5 ] : 62 وفي} عام 1848، وُصفت الفيسارينات، مما أعطى الضوء لأول مرة على الأعداد المركبة الثنائية.

في حوالي عام 1818، عرض العالم الدنماركي فرديناند ديجين متطابقة ديجين ذات المربعات الثمانية ، والتي تم ربطها لاحقًا بمعايير عناصر جبر الأوكتونيون :

تاريخيًا، نشأت أول جبر غير ترابطي، وهي أعداد كايلي ... في سياق مشكلة نظرية الأعداد المتعلقة بالأشكال التربيعية التي تسمح بالتركيب... ويمكن تحويل هذه المسألة المتعلقة بنظرية الأعداد إلى مسألة تتعلق بأنظمة جبرية معينة، وهي جبر التركيب... ^{[ 5 ] : 61}

في عام 1919، طوّر ليونارد ديكسون دراسة مسألة هورويتز من خلال استعراض الجهود المبذولة حتى ذلك التاريخ، وعرض طريقة مضاعفة الكواترنيونات للحصول على أعداد كايلي . وقدّم وحدة تخيلية جديدة e ، وبالنسبة للكواترنيونات q و Q ، يكتب عدد كايلي q + Q e . وبرمز مرافق الكواترنيون بـ q ′ ، يكون حاصل ضرب عددي كايلي هو ^{[ 9 ].}

${\displaystyle (q+Qe)(r+Re)=(qr-R'Q)+(Rq+Qr')e.}$

المرافق لعدد كايلي هو q' – Q e ، والصيغة التربيعية هي qq ′ + QQ ′ ، والتي تُحسب بضرب العدد في مرافقه. وقد أصبحت طريقة المضاعفة تُعرف باسم بناء كايلي-ديكسون .

في عام 1923 تم تحديد حالة الجبر الحقيقي ذي الأشكال الموجبة المحددة بواسطة نظرية هورويتز (جبر التركيب) .

في عام 1931، أدخل ماكس زورن دالة غاما (γ) في قاعدة الضرب في بناء ديكسون لتوليد الأوكتونيونات المنقسمة . ^{[ 10 ]} كما استخدم أدريان ألبرت دالة غاما في عام 1942 عندما بيّن إمكانية تطبيق مضاعفة ديكسون على أي حقل ذي دالة تربيع لبناء جبر ثنائي، وجبر رباعي، وجبر ثماني مع صيغها التربيعية. ^{[ 11 ]} ووصف ناثان جاكوبسون التشاكلات الذاتية لجبر التركيب في عام 1958. ^{[ 2 ]}

تُعدّ جبريات التركيب الكلاسيكية على R و C جبريات أحادية . وقد اكتشف كلٌّ من إتش بي بيترسون ( جبريات بيترسون ) وسوسومو أوكوبو ( جبريات أوكوبو ) وآخرون جبريات تركيب بدون عنصر محايد ضربي . ^{[ 12 ] : 463-481}

• المربع السحري لفرويدنتال
• نموذج بفايستر
• تجربة

• فارو، جاك؛ كوراني، آدم (1994). التحليل على المخاريط المتناظرة . سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية. مطبعة كلارندون، مطبعة جامعة أكسفورد، نيويورك. الصفحات 81-86 . ISBN  0-19-853477-9. MR 1446489 . 
• لام، تسيت-يوين (2005). مقدمة في الأشكال التربيعية على الحقول . دراسات عليا في الرياضيات . المجلد  67. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 . 
• هارفي، ف. ريس (1990). السبينورات والمعايرات . وجهات نظر في الرياضيات. المجلد  9. سان دييغو: أكاديميك برس . ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002 .