الجبر البديل

في الجبر المجرد ، الجبر البديل هو جبر لا يشترط فيه أن تكون عملية الضرب تجميعية ، بل بديلة فقط . أي أنه يجب أن يكون

• ${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• ${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$

لكل x و y في الجبر.

كل جبر ترابطي هو بديل، لأن التناوبية هي ببساطة شكل ضعيف من الترابطية. ومع ذلك، فإن بعض الجبر غير الترابطي تمامًا، مثل الأوكتونيونات ، هي أيضًا بدائل .

تُسمى الجبر البديل بهذا الاسم لأنها الجبر التي يكون فيها المُرَكِّب متناوبًا . المُرَكِّب هو دالة ثلاثية الخطية مُعطاة بواسطة

${\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}$.

بحسب التعريف، تكون الدالة متعددة الخطية متناوبة إذا كانت تنعدم كلما تساوى اثنان من متغيراتها. المتطابقات البديلة اليسرى واليمنى للجبر مكافئة لـ ^{[ 1 ].}

${\displaystyle [x,x,y]=0}$

${\displaystyle [y,x,x]=0}$

تشير هاتان الهويتان معًا إلى ما يلي:

${\displaystyle [x,y,x]=[x,x,x]+[x,y,x]+}$

${\displaystyle -[x,x+y,x+y]=}$

${\displaystyle =[x,x+y,-y]=}$

${\displaystyle =[x,x,-y]-[x,y,y]=0}$

للجميع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$وهذا يعادل الهوية المرنة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

وبالتالي، فإنّ مُرَكِّب الجبر البديل يكون متناوبًا. وعلى العكس ، فإنّ أيّ جبر يكون مُرَكِّبه متناوبًا هو جبر بديل بوضوح. وبالتناظر، فإنّ أيّ جبر يحقق أيّ شرطين مما يلي:

• الهوية البديلة اليسرى:${\displaystyle x(xy)=(xx)y}$
• الهوية البديلة الصحيحة:${\displaystyle (yx)x=y(xx)}$
• هوية مرنة:${\displaystyle (xy)x=x(yx).}$

هو بديل وبالتالي يحقق جميع الهويات الثلاث.

يكون التجميع المتناوب متناظرًا تمامًا من حيث الانحراف. أي،

${\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}$

لأي تبديل${\displaystyle \sigma }$والعكس صحيح طالما أن خاصية الحقل الأساسي ليست 2.

• كل جبر ترابطي هو بديل.
• تشكل الأوكتونيونات جبرًا بديلًا غير ترابطي، وهو جبر قسمة معياري ذو بُعد 8 على الأعداد الحقيقية . ^{[ 3 ]}
• وبشكل عام، فإن أي جبر ثماني الأضلاع هو بديل.

تنص نظرية آرتين على أنه في الجبر البديل، يكون الجبر الفرعي الناتج عن أي عنصرين تجميعيًا . ^{[ 4 ]} وعلى العكس من ذلك، فإن أي جبر ينطبق عليه هذا هو جبر بديل بوضوح. ويترتب على ذلك أنه يمكن كتابة التعبيرات التي تتضمن متغيرين فقط بشكل لا لبس فيه دون أقواس في الجبر البديل. وينص تعميم لنظرية آرتين على أنه كلما كان هناك ثلاثة عناصر${\displaystyle x,y,z}$في جبر بديل مرتبط (أي،${\displaystyle [x,y,z]=0}$)، الجبر الفرعي الناتج عن تلك العناصر هو ترابطي.

من نتائج نظرية آرتين أن الجبر البديل يكون تجميعيًا من حيث القوة ، أي أن الجبر الفرعي الناتج عن عنصر واحد يكون تجميعيًا. ^{[ 5 ]} ولا يشترط أن يكون العكس صحيحًا: فالسيدنيونات تكون تجميعية من حيث القوة ولكنها ليست بديلة.

هويات الموفانغ

• ${\displaystyle a(x(ay))=(axa)y}$
• ${\displaystyle ((xa)y)a=x(aya)}$
• ${\displaystyle (ax)(ya)=a(xy)a}$

ينطبق في أي جبر بديل. ^{[ 2 ]}

في الجبر البديل الأحادي، تكون المعكوسات الضربية فريدة كلما وُجدت. علاوة على ذلك، لأي عنصر قابل للعكس${\displaystyle x}$وكل شيء${\displaystyle y}$يمتلك المرء

${\displaystyle y=x^{-1}(xy).}$

هذا يعادل قول الرابط${\displaystyle [x^{-1},x,y]}$يختفي من أجل كل ذلك${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$.

لو${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إذا كانت قابلة للعكس${\displaystyle xy}$وهي قابلة للعكس أيضًا باستخدام معكوسها${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$وبالتالي، فإن مجموعة جميع العناصر القابلة للعكس مغلقة تحت عملية الضرب، وتشكل حلقة موفانغ . هذه الحلقة من الوحدات في حلقة أو جبر بديل تُشابه مجموعة الوحدات في حلقة أو جبر ترابطي .

تنص نظرية كلاينفيلد على أن أي حلقة بديلة بسيطة غير ترابطية هي جبر ثماني معمّم فوق مركزها . [ ^{6 ] تُعرض} نظرية بنية الحلقات البديلة في كتاب " الحلقات شبه الترابطية" من تأليف زيفلاكوف، وسلينكو، وشيستاكوف، وشيرشوف. ^{[ 7 ]}

كل حلقة قسمة بديلة منتهية هي حقل منتهٍ وفقًا لنظرية أرتين-زورن .

المستوى الإسقاطي فوق أي حلقة تقسيم بديلة هو مستوى موفانغ .

كل جبر تركيبي هو جبر بديل. ^{[ 8 ]}

• الجبر على حقل
• جبر مالتسيف
• خاتم زورن

• شيفر، ريتشارد د. (1995). مقدمة في الجبر غير الترابطي . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 . 
• زيفلاكوف، كا؛ سلينكو، صباحا؛ شيستاكوف، IP. شيرشوف، منظمة العفو الدولية (1982) [1978]. الحلقات التي تكاد تكون ترابطية . الصحافة الأكاديمية . رقم ISBN 0-12-779850-1. السيد 0518614 . زبل 0487.17001 .  

• زيفلاكوف، ك. أ. (2001) [1994]، "الحلقات والجبر البديل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS