الجبر الخارجي

الفضاء المتجهي الإقليدي ثنائي الأبعاد${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$هو فضاء متجهي حقيقي مزود بأساس يتكون من زوج من متجهات الوحدة المتعامدة$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$$

لنفترض أن $${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\,\mathbf {e} _{1}+b\,\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\,\mathbf {e} _{1}+d\,\mathbf {e} _{2}}$$ هما زوج من المتجهات المعطاة في${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$، مكتوبة بالمكونات. يوجد متوازي أضلاع فريد يحتوي على${\displaystyle \mathbf {v} }$و${\displaystyle \mathbf {w} }$كضلعين من أضلاعه. تُعطى مساحة هذا المتوازي الأضلاع بصيغة المحدد القياسية : $${\displaystyle {\text{المساحة}}=\left|\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}$$

لننظر الآن إلى المنتج الخارجي لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$و​${\displaystyle \mathbf {w} }$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\,\mathbf {e} _{1}+b\,\mathbf {e} _{2})\wedge (c\,\mathbf {e} _{1}+d\,\mathbf {e} _{2})\\&=ac\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=ad\,\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\,\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\end{aligned}}}$$ حيث تستخدم الخطوة الأولى قانون التوزيع للضرب الخارجي . أما الخطوة الثانية فتستخدم حقيقة أن الضرب الخارجي عبارة عن دالة متناوبة ، أي ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0.}$ إن كون الشيء متناوباً يعني أيضاً أنه مضاد للتبديل .${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})}$وهذا ما يُعطي السطر الأخير. لاحظ أن المعامل في هذا التعبير الأخير هو تحديدًا مُحدِّد المصفوفة [ v w ] . وكونه قد يكون موجبًا أو سالبًا له دلالة بديهية، وهي أن v و w قد يكونان مُوجَّهين عكس اتجاه عقارب الساعة أو مع اتجاه عقارب الساعة، باعتبارهما رأسي متوازي الأضلاع الذي يُحدِّدانه. تُسمى هذه المساحة بالمساحة المُوَجَّهة لمتوازي الأضلاع: القيمة المطلقة للمساحة المُوَجَّهة هي المساحة العادية، وتُحدِّد الإشارة اتجاهها.

إن كون هذا المعامل هو المساحة الموجهة ليس من قبيل الصدفة. في الواقع، من السهل نسبيًا ملاحظة أن الضرب الخارجي يجب أن يرتبط بالمساحة الموجهة إذا حاولنا وضع هذه المساحة كبنية جبرية. بالتفصيل، إذا كانت A( v , w ) تُمثل المساحة الموجهة لمتوازي الأضلاع الذي يشكل فيه المتجهان v و w ضلعين متجاورين، فإن A يجب أن تُحقق الخصائص التالية:

1. A( r v , s w ) = rs A( v , w ) لأي أعداد حقيقية r و s ، لأن إعادة قياس أي من الجانبين يعيد قياس المساحة بنفس المقدار (وعكس اتجاه أحد الجانبين يعكس اتجاه متوازي الأضلاع).
2. A( v , v ) = 0 ، لأن مساحة متوازي الأضلاع المنحط المحدد بواسطة v (أي قطعة مستقيمة ) تساوي صفرًا.
3. A( w , v ) = −A( v , w ) ، لأن تبديل أدوار v و w يعكس اتجاه متوازي الأضلاع.
4. A( v + r w , w ) = A( v , w ) لأي عدد حقيقي r ، لأن إضافة مضاعف w إلى v لا يؤثر على قاعدة متوازي الأضلاع ولا على ارتفاعه وبالتالي يحافظ على مساحته.
5. A( e ₁ , e ₂ ) = 1 ، لأن مساحة المربع الواحد هي واحد.

باستثناء الخاصية الأخيرة، فإن الضرب الخارجي لمتجهين يحقق نفس خصائص المساحة. بمعنى ما، يعمم الضرب الخارجي الخاصية الأخيرة، إذ يسمح بمقارنة مساحة متوازي الأضلاع بمساحة أي متوازي أضلاع آخر في مستوى موازٍ (هنا، المتوازي ذو الضلعين e1 و e2 ) . _{بعبارة أخرى} ، يوفر الضرب الخارجي صيغةً للمساحة مستقلة عن الأساس . ^{[ 5 ]}

بالنسبة للمتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ترتبط الجبر الخارجي ارتباطًا وثيقًا بالضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي . باستخدام الأساس القياسي${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$، وهو حاصل الضرب الخارجي لزوج من المتجهات $${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}}$$ و $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}}$$ يكون $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \,&=(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})\\&+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})\\&+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\}}$وهو الأساس الطبيعي للفضاء ثلاثي الأبعاد${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!2}(\mathbb {R} ^{3})}$المعاملات المذكورة أعلاه هي نفسها الموجودة في التعريف المعتاد للضرب الاتجاهي للمتجهات في ثلاثة أبعاد، والفرق الوحيد هو أن الضرب الخارجي ليس متجهًا عاديًا، ولكنه بدلاً من ذلك متجه ثنائي .

إدخال متجه ثالث $${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},}$$ حاصل الضرب الخارجي لثلاثة متجهات هو $${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})}$$ أين${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$هو متجه الأساس للفضاء أحادي البعد${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!3}(\mathbb {R} ^{3})}$المعامل القياسي هو حاصل الضرب الثلاثي للمتجهات الثلاثة.

يُمكن تفسير كل من الضرب الاتجاهي والضرب الثلاثي في ​​ثلاثة أبعاد تفسيراً هندسياً وجبرياً.${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$يمكن تفسيرها على أنها متجه عمودي على كليهما${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$ومقداره يساوي مساحة متوازي الأضلاع المحدد بواسطة المتجهين. ويمكن تفسيره أيضًا على أنه المتجه المكون من المحددات الصغرى للمصفوفة ذات الأعمدة${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {v} }$الناتج الثلاثي لـ${\displaystyle \mathbf {u} }$،${\displaystyle \mathbf {v} }$، و${\displaystyle \mathbf {w} }$هو هندسيًا حجم (مُوَقَّع). جبريًا، هو مُحدِّد المصفوفة ذات الأعمدة${\displaystyle \mathbf {u} }$،${\displaystyle \mathbf {v} }$، و${\displaystyle \mathbf {w} }$يُتيح الضرب الخارجي في ثلاثة أبعاد تفسيرات مماثلة. في الواقع، في وجود أساس متعامد ذي اتجاه موجب ، يُعمم الضرب الخارجي هذه المفاهيم إلى أبعاد أعلى.

يتم بناء المنتج الخارجي بالتناوب على عناصر من${\displaystyle V}$، مما يعني أن${\displaystyle x\wedge x=0}$للجميع${\displaystyle x\in V,}$وبناءً على ما سبق، فإن الناتج يكون أيضًا مضادًا للتبديل على عناصر ⁠${\displaystyle V}$، لافتراض أن${\displaystyle x,y\in V}$،​

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x+y)\wedge (x+y)\\[2mu]&=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y\\[2mu]&=x\wedge y+y\wedge x\end{aligned}}}$

لذلك

${\displaystyle x\wedge y=-(y\wedge x).}$

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle \sigma }$هو تبديل للأعداد الصحيحة${\displaystyle [1,\dots ,k]}$و​​${\displaystyle x_{1}}$،​​${\displaystyle x_{2}}$...​​${\displaystyle x_{k}}$⁠ هي عناصر من ⁠${\displaystyle V}$وبالتالي ، فإن

${\displaystyle x_{\sigma (1)}\wedge x_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge x_{\sigma (k)}=\operatorname {sgn}(\sigma )x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},}$

أين${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$هي توقيع التبديل ⁠${\displaystyle \sigma }$. ^{[ 7 ]}​

على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle i\neq j}$إذاً ، ينطبق التعميم التالي لخاصية التناوب أيضاً:

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

إلى جانب خاصية التوزيع للمنتج الخارجي، هناك تعميم آخر يتمثل في أن الشرط الضروري والكافي لـ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\}}$أن تكون مجموعة من المتجهات مرتبطة خطيًا يعني أن

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k}=0.}$

القوة الخارجية رقم k لـ​${\displaystyle V}$، المشار إليه${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$، هو الفضاء المتجهي الجزئي من${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$تمتد بواسطة عناصر من الشكل

${\displaystyle x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.}$

إذا​${\displaystyle \textstyle \alpha \in \bigwedge ^{\!k}(V)}$ثم​${\displaystyle \alpha }$يُقال إنه متجه من الرتبة k . وإذا، علاوة على ذلك،${\displaystyle \alpha }$يمكن التعبير عنها كمنتج خارجي لـ${\displaystyle k}$عناصر من${\displaystyle V}$ثم​${\displaystyle \alpha }$يُقال إنه قابل للتحلل (أو  بسيط ، كما يقول بعض المؤلفين؛ أو  شفرة ، كما يقول آخرون). على الرغم من قابليته للتحلل${\displaystyle k}$-vectors span​${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$، ليس كل عنصر من${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$قابلة للتحليل. على سبيل المثال، بالنظر إلى${\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}$مع أساس​${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\}}$، المتجه الثنائي التالي غير قابل للتحليل:

${\displaystyle \alpha =e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}.}$

حاصل الضرب الخارجي لمتجه k- مع متجه p- هو${\displaystyle (k+p)}$-vector، مع الاستناد مرة أخرى إلى العلاقة الثنائية الخطية. ونتيجة لذلك، فإن تحليل المجموع المباشر للقسم السابق

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge ^{\!0}}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!1}}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!2}}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge ^{\!n}}(V)}$

يُضفي ذلك على الجبر الخارجي بنية إضافية للجبر المتدرج ، أي

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge ^{\!p}}(V)\subset {\textstyle \bigwedge ^{\!k+p}}(V).}$

علاوة على ذلك، إذا كان K هو الحقل الأساسي، فلدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \bigwedge ^{\!0}}(V)&=K,\\[2mu]{\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)&=V.\end{aligned}}}$

المنتج الخارجي مصنف على أنه مضاد للتبديل، مما يعني أنه إذا${\displaystyle \textstyle \alpha \in \bigwedge ^{\!k}(V)}$و​${\displaystyle \textstyle \beta \in \bigwedge ^{\!p}(V)}$ثم​

${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha .}$

بالإضافة إلى دراسة البنية المتدرجة على الجبر الخارجي، يدرس بورباكي (1989) هياكل متدرجة إضافية على الجبر الخارجي، مثل تلك الموجودة على الجبر الخارجي لوحدة متدرجة (وحدة تحمل بالفعل تدرجها الخاص).

يترك${\displaystyle V}$ليكن فضاء متجهي على الحقل${\displaystyle K}$بشكل غير رسمي، الضرب في${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$يتم ذلك عن طريق معالجة الرموز وفرض قانون التوزيع ، وقانون التجميع ، واستخدام الهوية${\displaystyle v\wedge v=0}$ل${\displaystyle v\in V}$رسميًا،${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$هو الجبر "الأكثر عمومية" الذي تنطبق فيه هذه القواعد على الضرب، بمعنى أن أي عملية تجميعية أحادية${\displaystyle K}$- الجبر الذي يحتوي${\displaystyle V}$مع الضرب المتناوب${\displaystyle V}$يجب أن تحتوي على صورة متماثلة لـ${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$وبعبارة أخرى، فإن الجبر الخارجي له الخاصية العامة التالية : ^{[ 8 ]}

لبناء الجبر الأكثر عمومية الذي يحتوي${\displaystyle V}$والتي يكون ضربها متناوبًا${\displaystyle V}$من الطبيعي أن نبدأ بالجبر الترابطي الأكثر عمومية الذي يحتوي على${\displaystyle V}$، جبر الموترات${\displaystyle T(V)}$ثم نفرض خاصية التناوب بأخذ خارج قسمة مناسب . وهكذا نأخذ المثالي ذو الجانبين${\displaystyle I}$في${\displaystyle T(V)}$يتم توليدها بواسطة جميع عناصر النموذج${\displaystyle v\otimes v}$ل${\displaystyle v}$في${\displaystyle V}$، وتحديد${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$كحاصل القسمة

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }(V)=T(V){\big /}I}$

(واستخدم)${\displaystyle \wedge }$كرمز للضرب في${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$ومن ثم، يصبح من السهل إثبات ذلك.${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$يتضمن${\displaystyle V}$ويحقق الخاصية العامة المذكورة أعلاه.

ونتيجةً لهذا البناء، فإن عملية التعيين إلى فضاء متجهي${\displaystyle V}$جبرها الخارجي${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$هو دالة من فئة الفضاءات المتجهة إلى فئة الجبر.

بدلاً من التعريف${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$أولاً، ثم تحديد القوى الخارجية${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$يمكن تعريف الفضاءات بدلاً من ذلك على أنها فضاءات فرعية معينة.${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$أولاً، ثم اجمعها لتكوين الجبر${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$. يُستخدم هذا النهج غالبًا في الهندسة التفاضلية وسيتم وصفه في القسم التالي.

بالنظر إلى حلقة تبديلية${\displaystyle R}$و${\displaystyle R}$- وحدة​${\displaystyle M}$، يمكننا تعريف الجبر الخارجي${\displaystyle \textstyle \bigwedge (M)}$كما سبق، كحاصل قسمة مناسب لجبر الموتر${\displaystyle \mathrm {T} (M)}$سيحقق ذلك الخاصية العامة المماثلة. العديد من خصائص${\displaystyle \textstyle \bigwedge (M)}$ويشترط أيضًا أن${\displaystyle M}$أن يكون وحدة إسقاطية . وعند استخدام الأبعاد المحدودة، تتطلب الخصائص كذلك أن${\displaystyle M}$أن تكون مولدة بشكل نهائي وإسقاطية. يمكن إيجاد تعميمات لأكثر الحالات شيوعًا في بورباكي (1989) .

تُدرس الجبريات الخارجية للحزم المتجهة بشكل متكرر في الهندسة والطوبولوجيا. وبحسب نظرية سير-سوان ، لا توجد فروق جوهرية بين الخصائص الجبرية للجبر الخارجي للحزم المتجهة ذات الأبعاد المحدودة وتلك الخاصة بالجبر الخارجي للوحدات الإسقاطية المولدة توليداً محدوداً . ويمكن تعريف جبريات خارجية أكثر عمومية لحزم الوحدات.

لنفترض أن V لها بُعد محدود n ، وأن هناك أساسًا معطى e ₁ , ..., e _n لـ V. عندئذٍ ^، يمكن كتابة أي موتر متناوب t ∈ Ar ⁽ V ) ⊂ tr ( V ) باستخدام ترميز الفهرس مع اصطلاح جمع أينشتاين كما يلي:

${\displaystyle t=t^{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}\,{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r}},}$

حيث أن t ^{i ₁ ⋅⋅⋅ i _r} متناظر تمامًا في مؤشراته.

يُعطى حاصل الضرب الخارجي لموترين متناوبين t و s من الرتبتين r و p بالصيغة التالية:

${\displaystyle t~{\widehat {\otimes }}~s={\frac {1}{(r+p)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r+p}}\operatorname {sgn} (\sigma )t^{i_{\sigma (1)}\cdots i_{\sigma (r)}}s^{i_{\sigma (r+1)}\cdots i_{\sigma (r+p)}}{\mathbf {e} }_{i_{1}}\otimes {\mathbf {e} }_{i_{2}}\otimes \cdots \otimes {\mathbf {e} }_{i_{r+p}}.}$

مكونات هذا الموتر هي بالضبط الجزء المنحرف من مكونات حاصل ضرب الموتر s ⊗ t ، المشار إليها بأقواس مربعة على المؤشرات:

${\displaystyle (t~{\widehat {\otimes }}~s)^{i_{1}\cdots i_{r+p}}=t^{[i_{1}\cdots i_{r}}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}.}$

يمكن أيضًا وصف الضرب الداخلي باستخدام ترميز المؤشر كما يلي . ليكن${\displaystyle t=t^{i_{0}i_{1}\cdots i_{r-1}}}$ليكن موترًا مضادًا للتناظر من الرتبة ⁠${\displaystyle r}$ثم ، بالنسبة لـ α ∈ V ^∗ ،${\displaystyle \iota _{\alpha }t}$⁠ هو موتر متناوب من الرتبة ⁠${\displaystyle r-1}$، مقدمة من

${\displaystyle (\iota _{\alpha }t)^{i_{1}\cdots i_{r-1}}=r\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}t^{ji_{1}\cdots i_{r-1}}.}$

حيث n هو بُعد V.

بفرض وجود فضاءين متجهيين V و X وعدد طبيعي k ، فإن المؤثر المتناوب من V ^k إلى X هو تطبيق متعدد الخطية

${\displaystyle f\colon V^{k}\to X}$

بحيث أنه كلما كانت _v1 ، ...، vk متجهات مرتبطة خطيًا في V _، فإن

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{k})=0.}$

الخريطة

${\displaystyle w\colon V^{k}\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V),}$

والذي يرتبط بـ${\displaystyle k}$متجهات من${\displaystyle V}$منتجهم الخارجي، أي ما يقابله${\displaystyle k}$المتجه ذو الرتبة n هو أيضًا متناوب. في الواقع، هذه الخريطة هي عامل التناوب "الأكثر عمومية" المعرف على${\displaystyle V^{k};}$مع أي عامل تشغيل متناوب آخر${\displaystyle f\colon V^{k}\to X,}$توجد خريطة خطية فريدة${\displaystyle \phi \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to X}$مع${\displaystyle f=\phi \circ w.}$ تُميز هذه الخاصية العامة فضاء المؤثرات المتناوبة على${\displaystyle V^{k}}$ويمكن أن يكون بمثابة تعريفها.

تتناول المناقشة أعلاه الحالة التي يكون فيها${\displaystyle X=K}$، الحقل الأساسي. في هذه الحالة، دالة متعددة الخطوط متناوبة

${\displaystyle f\colon V^{k}\to K}$

يُطلق عليه اسم الشكل الخطي المتعدد المتناوب . مجموعة جميع الأشكال الخطية المتعددة المتناوبة هي فضاء متجهي، لأن مجموع دالتين من هذا النوع، أو حاصل ضرب دالة من هذا النوع في عدد قياسي، يكون متناوبًا أيضًا. وبحسب الخاصية العامة للقوة الخارجية، فإن فضاء الأشكال المتناوبة من الدرجة${\displaystyle k}$على${\displaystyle V}$متماثل بشكل طبيعي مع فضاء المتجهات الثنائي ⁠${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\bigwedge ^{\!k}(V)}{\bigr )}^{*}}$إذا​${\displaystyle V}$إذا كان عدد عناصر المجموعة محدود الأبعاد، فإن المجموعة الأخيرة تكون متماثلة بشكل طبيعي مع ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V^{*})}$. على وجه الخصوص، إذا${\displaystyle V}$يكون${\displaystyle n}$-الأبعاد، بُعد فضاء الخرائط المتناوبة من${\displaystyle V^{k}}$ل${\displaystyle K}$معامل ذي الحدين${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$⁠ .

في ظل هذا التحديد، يتخذ الناتج الخارجي شكلاً ملموساً: فهو يُنتج خريطة جديدة مضادة للتناظر من خريطتين معطيتين. لنفترض ⁠${\displaystyle \textstyle \omega \colon V^{k}\to K}$و​​${\displaystyle \textstyle \eta \colon V^{m}\to K}$هما دالتان متناظرتان عكسيًا. وكما هو الحال في جداءات الموترات للدوال متعددة الخطية، فإن عدد متغيرات جداءهما الخارجي هو مجموع عدد متغيراتهما. وبناءً على اختيار تعريف عناصر القوة الخارجية بالأشكال متعددة الخطية، يُعرَّف الجداء الخارجي على النحو التالي:

${\displaystyle \omega \wedge \eta =\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta )}$

أو كما

${\displaystyle \omega {\dot {\wedge }}\eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}\operatorname {Alt} (\omega \otimes \eta ),}$

حيث، إذا كانت خاصية الحقل الأساسي${\displaystyle K}$إذا كانت قيمة 0، فإن التناوب Alt للخريطة متعددة الخطوط يُعرَّف بأنه متوسط ​​القيم المعدلة حسب الإشارة على جميع تباديل متغيراتها:

${\displaystyle \operatorname {Alt} (\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)}).}$

عندما يكون الحقل${\displaystyle K}$إذا كانت لها خاصية محدودة ، فإن الصيغة المكافئة للتعبير الثاني بدون أي مضروب أو أي ثوابت تكون محددة جيدًا:

${\displaystyle {\omega {\dot {\wedge }}\eta (x_{1},\ldots ,x_{k+m})}=\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{k,m}}\operatorname {sgn} (\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})\,\eta (x_{\sigma (k+1)},\ldots ,x_{\sigma (k+m)}),}$

حيث Sh _{k , m} ⊂ S _{k + m} هي مجموعة جزئية من ( k , m ) shuffles : التباديل σ للمجموعة {1, 2, ..., k + m } بحيث σ (1) < σ (2) < ⋯ < σ ( k ) ، و σ ( k + 1) < σ ( k + 2) < ... < σ ( k + m ) . ولأن هذا قد يبدو دقيقًا جدًا ومُحكمًا، فإن الصيغة الأولية المكافئة هي جمع التباديل في المجموعات المشاركة اليسرى لـ S _{k + m} / ( S _k × S _m ) في الصيغة أعلاه .

لنفترض أن${\displaystyle V}$ذات أبعاد محدودة. إذا${\displaystyle V^{*}}$يرمز إلى الفضاء الثنائي للفضاء المتجهي${\displaystyle V}$ثم لكل​${\displaystyle \alpha \in V^{*}}$، من الممكن تعريف اشتقاق عكسي على الجبر${\displaystyle \textstyle \bigwedge (V)}$،​ $${\displaystyle \iota _{\alpha }\colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k-1}}(V).}$$

يُطلق على هذا الاشتقاق اسم الضرب الداخلي مع${\displaystyle \alpha }$أو أحيانًا عامل الإدخال ، أو الانقباض بواسطة${\displaystyle \alpha }$⁠ .

لنفترض أن${\displaystyle \textstyle w\in \bigwedge ^{\!k}(V)}$ثم​${\displaystyle w}$هو رسم خرائط متعدد الخطوط لـ${\displaystyle V^{*}}$إلى​${\displaystyle K}$لذلك يتم تعريفها من خلال قيمها على${\displaystyle k}$حاصل الضرب الديكارتي المطوي${\displaystyle V^{*}\times V^{*}\times \dots \times V^{*}}$إذا​${\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}}$نكون${\displaystyle k-1}$عناصر من${\displaystyle V^{*}}$ثم حدد $${\displaystyle (\iota _{\alpha }w)(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1})=w(\alpha ,u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}).}$$

بالإضافة إلى ذلك، دع${\displaystyle \iota _{\alpha }f=0}$حينما${\displaystyle f}$هو كمية قياسية خالصة (أي، ينتمي إلى ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!0}(V)}$) .

لنفترض أن${\displaystyle V}$له أبعاد محدودة${\displaystyle n}$ثم يُحدث الضرب الداخلي تماثلًا قانونيًا للفضاءات المتجهة

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V^{*})\otimes {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V)}$

بحسب التعريف التكراري

${\displaystyle \iota _{\alpha \wedge \beta }=\iota _{\beta }\circ \iota _{\alpha }.}$

في الإطار الهندسي، عنصر غير صفري من القوة الخارجية العليا${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!n}}(V)}$يُطلق على الفضاء المتجهي أحادي البعد أحيانًا اسم " صيغة الحجم " (أو "صيغة التوجيه "، على الرغم من أن هذا المصطلح قد يُسبب بعض الالتباس). وتأتي تسمية "صيغة التوجيه" من حقيقة أن اختيار العنصر العلوي المُفضّل يُحدد توجيه الجبر الخارجي بأكمله، لأنه يُعادل تثبيت أساس مُرتب للفضاء المتجهي. بالنسبة إلى صيغة الحجم المُفضّلة${\displaystyle \sigma }$، يتم تحديد التشاكل بشكل صريح بواسطة

${\displaystyle {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V^{*})\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V)\colon \alpha \mapsto \iota _{\alpha }\sigma .}$

إذا كان الفضاء المتجهي V ، بالإضافة إلى شكله الحجمي، مزودًا بضرب داخلي يحدد${\displaystyle V}$مع​${\displaystyle V^{*}}$ثم يُطلق على التشاكل الناتج اسم عامل هودج النجمي ، الذي يرسم عنصرًا إلى نظيره الثنائي هودج :

${\displaystyle \star \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!n-k}}(V).}$

تكوين${\displaystyle \star }$مع الخرائط نفسها${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)\to \bigwedge ^{\!k}(V)}$وهو دائمًا مضاعف قياسي لخريطة التطابق. في معظم التطبيقات ، يكون شكل الحجم متوافقًا مع الضرب الداخلي بمعنى أنه ضرب خارجي لقاعدة متعامدة من${\displaystyle V}$في هذه الحالة ،

${\displaystyle \star \circ \star \colon {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)\to {\textstyle \bigwedge ^{\!k}}(V)=(-1)^{k(n-k)+q}\mathrm {id} }$

حيث id هو تعيين الهوية، ويكون للمنتج الداخلي توقيع متري ( p ، q ) - p زائد و q ناقص.

لـ​${\displaystyle V}$فضاء ذو ​​أبعاد منتهية، أو جداء داخلي (أوجداء داخلي شبه إقليدي ) على${\displaystyle V}$يُعرّف تماثلًا لـ${\displaystyle V}$مع​${\displaystyle V^{*}}$وبالتالي ، فإن التماثل لـ${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$مع​${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\bigwedge ^{\!k}(V)}{\bigr )}^{*}}$. يتخذ الاقتران بين هذين الفضاءين أيضًا شكل جداء داخلي. على فضاء قابل للتحليل${\displaystyle k}$المتجهات ،

${\displaystyle \left\langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\right\rangle =\det {\bigl (}\langle v_{i},w_{j}\rangle {\bigr )},}$

_محدد مصفوفة الضرب الداخلي. في الحالة الخاصة vᵢ = wᵢ _{، يكون الضرب الداخلي} هو المعيار التربيعي للمتجه k ، المعطى بواسطة محدد مصفوفة غراميان ( ⟨vᵢ , vⱼ⟩ ) . ثم يُمدد هذا ثنائيًا خطيًا (أو شبه خطيًا في الحالة المركبة ) _إلى ضرب داخلي غير منحل على${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$إذا كانت eᵢ _، حيث i = 1، 2، ...، n ، تشكلأساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle V}$ثم تكون المتجهات على الشكل

${\displaystyle e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}},\quad i_{1}<\cdots <i_{k},}$

تشكل أساسًا متعامدًا لـ ⁠${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\!k}(V)}$، وهو بيان مكافئ لصيغة كوشي-بينيه .

فيما يتعلق بالضرب الداخلي، فإن الضرب الخارجي والضرب الداخلي مترافقان. تحديدًا، بالنسبة لـ${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} \in \bigwedge ^{\!k-1}(V)}$،​​${\displaystyle \textstyle \mathbf {w} \in \bigwedge ^{\!k}(V)}$و​​${\displaystyle x\in V}$،​